第十七章 勾股定理 单元测试卷 2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版数学八下 第十七章　勾股定理 时间 60分钟　满分 100分 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的(　　) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 2.(2023·山东潍坊潍城区期中)第27届LG杯世界围棋棋王赛决赛于2023年1月30日在北京落子.如图是一个围棋棋盘的局部,若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的,则黑、白两棋子之间的距离为(　　) A. B. C.2 D.5 　　　　 (第2题) (第3题) (第4题) 3.(2023·福建福州鼓楼区期中)如图,A(8,0),C(-2,0),以点A为圆心,AC长为半径画弧,交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为(　　) A.(0,5) B.(5,0) C.(6,0) D.(0,6) 4.(2023·天津和平区期中)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是(　　) A.8 B.16 C.20 D.25 5.(2023·湖北武汉武昌区期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列条件中,能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.a∶b∶c=12∶22∶32 B.a=k,b=2k,c=k(k>0) C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.a2=(c-b)(c+b) 6.(2023·河南南阳期末)在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点A,B,C均在正方形网格的格点上,则下列结论错误的是(　　) A.AB2=20 B.∠BAC=90° C.=10 D.点A到直线BC的距离是2 　　　　 (第6题) (第7题) (第8题) 7.(2023·陕西西安段考)如图,某超市为吸引顾客,在超市门口离地高4.5 m的墙上装有一个由传感器控制的门铃A,人只要移至该门周围5 m及5 m以内,门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个身高为1.5 m的学生要走到离门多远的地方,门铃恰好自动响起?(　　) A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m 8.(2023·重庆铜梁区期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以AB,AC,BC为直径向外作半圆,面积分别记作S1,S2,S3,若S1=9π,S2=4π,则S3=(　　) A.π B.3π C.5π D.13π 9.(2023·山东烟台期中)在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中,则当a=24时,b+c的值为(　　) a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A.250 B.288 C.300 D.574 10.(2023·湖南娄底模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是(　　) A.3.8 B.4.8或3.8 C.4.8 D.5 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(2023·江苏南京鼓楼区期中)在△ABC中,∠C=90°,若AB=,则AB2+BC2+ AC2=　　　 .  12.(2023·河南新乡期末)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系+ |a-b|=0,则△ABC的形状为　　　　　　　.  13.(2023·河南洛阳期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形的三条线段是 　　　　　.  　　　　 (第13题) (第14题) 14.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是说:如图,推开两扇门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离均为1尺(1尺=10寸),两扇门间的缝隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 　寸.  15.(2023·山东枣庄二模)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为证明勾股定理,创制了一幅如图(1)所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图(2)是由弦图变化得到的,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=24,则正方形EFGH的边长为　　　　.  　　 图(1)　　　　　图(2) (第16题) (第15题) 16.(2023·云南大学附中期中)如图,圆柱形杯子的高为18 cm,底面周长为24 cm,在杯内壁(杯子的厚度忽略不计)离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.(假设蜂蜜不会下滑)  三、解答题(共6小题,共52分) 17.(6分)(2023·江西南昌东湖区期中)某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示,学校计划在空地上种植草皮.经测量,∠ABC=90°,BC=6 m,AB=8 m,AD=26 m,CD=24 m. (1)求这块空地的面积. (2)如果每种植1 m2草皮需要花费100元,那么总共需花费多少元? 18.(7分)(2023·江西抚州期末)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝的最佳时节,松松在学习了“勾股定理”之后,为了计算如图所示的风筝的垂直高度CE,他测得以下数据: ①水平距离BD的长为8米; ②由手中剩余线的长度得出风筝线BC的长为17米; ③牵线放风筝的松松的身高为1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE. (2)若松松想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米? 19.(7分)(2023·湖南长沙期中)如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC.由于某些原因,由C到A的路现在已经不通了,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.　 (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路,请通过计算加以说明; (2)求新路CH比原路CA少多少千米. 20.(10分)[中考创新题型|新概念类阅读理解题](2022·陕西渭南华州区期末)阅读下面的材料,然后解答问题:我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形. (1)理解并填空: ①根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定　　　　奇异三角形.(填“是”或“不是”)  ②若某三角形的三边长分别为1,,2,则该三角形　　　　(填“是”或“不是”)奇异三角形.  (2)探究:若Rt△ABC的三边长分别是a,b,c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是奇异三角形吗?请说明理由. 21.(10分)[中考创新题型|类比探究题]勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小明利用图(1)证明勾股定理的过程. 如图(1),△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2. 证明:连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a,则=S△ACD+S△ABC=b2+ab. 又=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a), ∴b2+ab=c2+a(b-a), ∴a2+b2=c2. 请参照上述证法,利用图(2)进行证明. 将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.求证:a2+b2=c2. 　　　图(1)　　　　　　　　　图(2) 22.(12分)(2023·河南南阳宛城区期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s. (1)求BC边的长; (2)当△ABP为直角三角形时,求t的值; (3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值. 第十七章　勾股定理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D C D C A C B C 11.6 12.等腰直角三角形 13.AB,CD,GH 14.101 15.2 16.20 17.【参考答案】(1)如图,连接AC. 在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,BC=6,AB=8, ∴AC==10. 在△ACD中,∵AC2+CD2=102+242=676=AD2, ∴∠ACD=90°, ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×6×8+×10×24=144. 答:这块空地的面积是144 m2.(4分) (2)144×100=14 400(元). 答:总共需花费14 400元.(6分) 18.【参考答案】(1)在Rt△CDB中, 由勾股定理得,CD2=BC2-BD2=172-82=225. ∵CD>0,∴CD=15, ∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6. 答:风筝的垂直高度CE为16.6米.(3分) (2)如图,在线段CD上找一点M,使CM=9,∴DM=6,连接BM. 在Rt△BDM中,BM===10, ∴BC-BM=7, ∴他应该往回收线7米.(7分) 19.【参考答案】(1)是.(1分) 理由:在△CHB中,∵CH2+BH2=2.42+1.82=9,BC2=9, ∴CH2+BH2=BC2, ∴CH⊥AB, ∴CH是从村庄C到河边的最近路.(3分) (2)设AC=x千米,则AH=(x-1.8)千米. 由(1)及勾股定理得AC2=AH2+CH2, ∴x2=(x-1.8)2+2.42,解得x=2.5, ∴AC-CH=2.5-2.4=0.1(千米), ∴新路CH比原路CA少0.1千米.(7分) 20.【参考答案】(1)①是 (2分) ②是(4分) 解法提示:∵12+()2=8,2×22=8,∴12+()2=2×22,∴该三角形是奇异三角形. (2)当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形; 当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形.(6分) 理由:当c为斜边长时,则b2=c2-a2=100-50=50, 则a2+b2≠2c2,a2+c2≠2b2, ∴Rt△ABC不是奇异三角形. 当b为斜边长时,b2=a2+c2=150, 则有a2+b2=50+150=200=2c2, ∴Rt△ABC是奇异三角形. 综上所述,当c为斜边长时,Rt△ABC不是奇异三角形;当b为斜边长时,Rt△ABC是奇异三角形.(10分) 21.【参考答案】证明:如图,连接BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则BF=b-a.(2分) ∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=b2+ab, S四边形ABED=S△ABD+S△BDE=c2+a(b-a),(6分) ∴b2+ab=c2+a(b-a),(9分) ∴a2+b2=c2.(10分) 证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,可得BF=b-a,(2分) ∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,(4分) 且S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),(6分) ∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),(9分) ∴a2+b2=c2.(10分) 22. 【参考答案】(1)在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16, ∴BC=4 cm.(3分) (2)由题意知BP=t cm, ①如图(1),当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm, ∴t=4.(5分) 图(1)　　　　　　图(2) ②如图(2),当∠BAP为直角时,CP=(t-4) cm, 在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2, 在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2, 即52+[32+(t-4)2]=t2, 解得t=. 综上所述,当△ABP为直角三角形时,t=4或t=.(8分) (3)①如图(3),当BP=AB时,t=5; ②如图(4),当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,  ∴t=8; ③如图(5),当BP=AP时,AP=BP=t cm,CP=(4-t)cm, 在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,即t2=32+(4-t)2, 解得t=. 综上所述,当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=.(12分) 　 图(3)　　　　　　图(4)　　　　　图(5) 学科网（北京）股份有限公司 $$