专题5.5 销售利润问题——二次函数的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.5 销售利润问题——二次函数的应用 · 典例分析 【典例1】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． （1）小强第几天生产的产品数量为200件？ （2）设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； （3）设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【思路点拨】 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可． 【解题过程】 （1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·天津河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双． 4．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 5．（2024·四川南充·一模）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． （1）求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； （3）小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 6．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为万元/吨，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格为万元/吨．乙类草莓深加工总费用（单位：万元）与加工数量（单位：吨）之间的函数关系为，平均销售价格为万元/吨． （1）某次该公司收购了吨的草莓，其中甲类草莓有吨，经营这批草莓所获得的总利润为万元； ①求与之间的函数关系式； ②若该公司获得了万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？ （2）在某次收购中，该公司准备投入万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润． 7．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， （1）当时，写出与的关系式； （2）当为何值时日销售额最大，最大为多少？ （3）若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 8．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： （1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ （2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？ （3）甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 9．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）某超市拟端午节前50天销售某品牌食品，该食品进价为18，设第天的销售价格 ，销售量为千克．销售价格（）当时，与满足一次函数关系： 销售价格（） 40 37 33 第天 36 44 第天销售量 （1）求时，与的函数关系式； （2）求为多少时，当天销售利润最大？ （3）若超市希望31天至35天日销售利润W随的增大而增大，则在当天的销售价格上涨 ，求整数的最小值． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年月份是大棚蓝莓成熟的季节．某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓陆续向市场供应．已知第x天的销售单价y（元/ ）与第x（天）的函数关系如图，每天销售量为． （1）直接写出y与x的函数解析式； （2）求第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式； （3）第几天种植户的销售额w的最大，最大值是多少元？ 11．（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    （1）求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； （2）每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ （3）根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件． （1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______； ②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______； （2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______． 13．（2023·山东临沂·二模）某农作物的生长率P与温度t有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画，当时可近似用函数刻画．    （1）求h的值． （2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率P满足函数关系： 生长率P 0.2 0.3 0.4 0.5 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 ①请运用记学的知识，求m关于P的函数表达式； ②请用含t的代数式表示m； （3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大恒温时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t之间的关系如图2，提前上市增加的利润和节省的成本为M，问当时，提前上市多少天时M最大?并求此时M最大值（农作物上市售出后大棚暂停使用）． 14．（22-23九年级下·湖北黄冈·期中）周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价（元/千克）与时间第天（为整数）的数量关系如图所示，日销量（千克）与时间第天（为整数）的部分对应值如表所示： 时间第天 1 3 5 7 9 10 11 12 15 日销量（千克） 320 360 400 440 480 500 400 300 0    （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画随的变化规律，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）在这15天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元． 15．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． （1）求，的值． （2）若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ （3）若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 16．（2023·湖北咸宁·模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：，任务完成后，统计发现工人小王第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元． （1）直接写出P与x之间的函数关系； （2）求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？ （3）最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？ 17．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … （1）求y与x以及z与x之间的函数解析式； （2）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； （3）受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 18．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． （1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． （3）若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.5 销售利润问题——二次函数的应用 · 典例分析 【典例1】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． （1）小强第几天生产的产品数量为200件？ （2）设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； （3）设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【思路点拨】 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可． 【解题过程】 （1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·天津河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件列出算式计算即可判断①；设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可判断②；设商场每天的盈利为元，根据题意得出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【解题过程】 解：每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， 降价8元时，每天售出的件数为：（件），故①正确，符合题意； 设每件衬衫应降价元，则每天多销售件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽快减少库存， ， 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②错误，不符合题意； 设商场每天的盈利为元， 由题意得：， ， 当时，最大为元，故③正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：C． 2．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【解题过程】 解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买 双． 【思路点拨】 本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．根据题意，写出与的函数关系式，分别根据一次函数和二次函数的性质得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小即可． 【解题过程】 解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，与的函数关系式为； 当时，，， ∴y随x的增大而增大， 当时，取得最大值1200， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值1210， ， 当时，该鞋店获利最多， 答：当顾客一次性购买11双时，该网店从中获利最多． 故答案为：11． 4．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 【解题过程】 解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 5．（2024·四川南充·一模）电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． （1）求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； （3）小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 【思路点拨】 （1）设销售单价为x元，则每件涨价元，则销量减少件，由此可得y与x之间的关系式为，整理即可． （2）根据总利润=每件利润销售量，可得方程，求出方程的解，再根据题意选择合适的x的值即可． （3）根据总利润=（售价进价m）销售量，得，求出其对称轴，再根据二次函数的性质及增减性可得当时，，由此得，求出m的值即可． 【解题过程】 （1）由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为25元． （3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得： ， 其对称轴为直线为：． ∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下， ∴w随x的增大而增大． 当时，． ∴， 解得． 答：m的值为5． 6．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为万元/吨，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格为万元/吨．乙类草莓深加工总费用（单位：万元）与加工数量（单位：吨）之间的函数关系为，平均销售价格为万元/吨． （1）某次该公司收购了吨的草莓，其中甲类草莓有吨，经营这批草莓所获得的总利润为万元； ①求与之间的函数关系式； ②若该公司获得了万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？ （2）在某次收购中，该公司准备投入万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润． 【思路点拨】 本题考查了是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大，解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系，涉及到分段函数时，注意要分类讨论． （1）①当时及当时，分别求出关于的表达式．注意销售总收入经营总成本；②若该公司获得了万元毛利润，将万元代入①中求得的表达式，求出甲类草梅的数量； （2）本问是方案设计问题，总投入为万元，这笔万元包括购买草莓的费用甲类草莓加工成本乙类草莓加工成本．其中设甲类草莓为吨，乙类草莓为吨，即总投入为，再分别求出当时及当时关于的表达式，并分别求出其最大值． 【解题过程】 （1）解：①设销售甲类草莓吨，则销售乙类草莓吨． 当时，， ， ∴； 当时，， ， ∴． ∴关于的函数关系式为：． ②当时，，解得，，均不合题意； 当时，，解得． ∴当该公司获得了万元的总利润时，直接销售的甲类草莓有吨． （2）解：设投入资金后甲类分到收购的草莓为吨，乙类为吨，总投入为，即：， 当时总利润为， 当时，取到最大值； 当时，总利润为常数， 故方案为收购吨，甲类分配吨，乙类分配吨，总收益为万元． 7．（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， （1）当时，写出与的关系式； （2）当为何值时日销售额最大，最大为多少？ （3）若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【思路点拨】 （1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系； （2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论； （3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 8．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： （1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ （2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？ （3）甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可； （3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围． 【解题过程】 （1）解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 而， 两公司的月利润相等可得：， 解得：或舍， 当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； （2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， ， 当甲公司的利润大于乙公司时，， ， ∴当时，函数有最大值18050， ∴甲公司最多比乙公司利润多18050元； （3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：． 9．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）某超市拟端午节前50天销售某品牌食品，该食品进价为18，设第天的销售价格 ，销售量为千克．销售价格（）当时，与满足一次函数关系： 销售价格（） 40 37 33 第天 36 44 第天销售量 （1）求时，与的函数关系式； （2）求为多少时，当天销售利润最大？ （3）若超市希望31天至35天日销售利润W随的增大而增大，则在当天的销售价格上涨 ，求整数的最小值． 【思路点拨】 本题考查了二次函数的应用． （1）依据题意利用待定系数法，易得出当时，与的关系式为：． （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润（元与销售价（）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． （3）要使第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大，则对称轴即可． 最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 【解题过程】 （1）解：依题意，当时，；时，， 当时，设， 则有， 解得， 与的关系式为：． （2）解：依题意， ， ， 整理得，， 当时， 随增大而增大， 时，取最大值， 当时， ， ， 时，取得最大值，此时， 综上所述，为32时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元． （3）解：依题意，得， ， 第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大， 对称轴，得， 故整数的最小值为． 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）蓝莓被世界卫生组织列为十大健康食品之一，被人们视为“超级水果”，每年月份是大棚蓝莓成熟的季节．某大棚蓝莓种植户计划在开始销售的40天内将种植的蓝莓陆续向市场供应．已知第x天的销售单价y（元/ ）与第x（天）的函数关系如图，每天销售量为． （1）直接写出y与x的函数解析式； （2）求第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式； （3）第几天种植户的销售额w的最大，最大值是多少元？ 【思路点拨】 （1）分当时，当时，用待定系数法求解即可； （2）分当时，当时，分别列出二次函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质，分别求出当时，当时的函数最大值，再比较即可求解． 【解题过程】 （1）解：当时，设， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴； 当时，设， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴， 综上，y与x的函数解析式为． （2）解：当时，； 当时，； ∴第x天的种植户销售额w（元）与x的函数关系式为：． （3）解：当时，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w取得最大值，最大值为8100元； 当时，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w取得最大值，最大值为8450元； ∵， ∴第35天种植户的销售额w的最大，最大值是8450元． 11．（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    （1）求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； （2）每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ （3）根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【思路点拨】 （1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可； （2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可； （3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，，则抛物线的对称轴为直线，由，可知当时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，可得，计算求解然后作答即可． 【解题过程】 （1）解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； （2）解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元； （3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元）， 依题意得，， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，Q随x的增大而增大． ∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元， ∴， 解得， 又∵， ∴． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件． （1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______； ②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______； （2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______． 【思路点拨】 （1）根据题意分别列出当售价上涨和售价下降时的一次函数解析式，再根据实际问题含义写出自变量的取值范围； （2）根据利润=（售价-进价）销量分类讨论列出二次函数关系式，求顶点坐标即为本题答案； （3）根据题意写出关于利润的二次函数表达式，求出对称轴利用二次函数增减性求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件， 又∵售价每上涨1元，则每月少卖10件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件， ∴上涨了元，少卖出了件， ∴， 整理得：， ∵每件售价不能高于65元，x为正整数， ∴； ∵如果售价每下降1元，则每月多卖12件， ∴下降了元，多卖出了件， ∴， 整理得：， ∵每件售价不低于48元，x为正整数， ∴， 故答案为：；；；． （2）解：∵由（1）得和， ∴对价格上涨和下降分情况讨论利润问题： 设：利润为， ①当价格上涨时，售价为x，此时销量为， ∴， 整理得：， ∵且为正整数，，开口向下利润有最大值， ∴售价元时利润最大，最大利润为：元， ②当价格下降时，售价为x，此时销量为， ∴， 整理得：， ∵且为正整数，，开口向下利润有最大值， ∴对称轴，当元时，利润最大为：元， ∵， ∴综上所述：当售价为55元时，利润最大，最大利润为2250元， 故答案为：； （3）解：∵售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除， 由（1）得，， ∴， 整理得：， ∴对称轴为：， ∵当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（2023·山东临沂·二模）某农作物的生长率P与温度t有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画，当时可近似用函数刻画．    （1）求h的值． （2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率P满足函数关系： 生长率P 0.2 0.3 0.4 0.5 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 ①请运用记学的知识，求m关于P的函数表达式； ②请用含t的代数式表示m； （3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大恒温时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t之间的关系如图2，提前上市增加的利润和节省的成本为M，问当时，提前上市多少天时M最大?并求此时M最大值（农作物上市售出后大棚暂停使用）． 【思路点拨】 （1）把代入，得到一次函数与抛物线的交点坐标，再将交点坐标代入，即可解答； （2）①由表格可知m关于P的函数表达式为一次函数，设，将表格中数据代入，根据待定系数法，即可解答； ②分段代入计算，即可解答； （3）将加温后每天成本w（元）与大棚温度t之间的关系解析式解出，再根据根据提前上市天数原计划成本提前上市需要成本，即可解答． 【解题过程】 （1）解：把代入，得， 把的坐标代入得， 解得或， ∵， ∴； （2）①由表格可知m关于P的函数表达式为一次函数，设，将和代入，得，解得， ∴； ②当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，； （3）解：设， 当时，将代入，得， 解得， ， 根据提前上市天数原计划成本提前上市需要成本， ∴， ∴当时，M最大值为1500元．（天） 综上所述，当时，提前上市5天，增加利润的最大值为1500元． 14．（22-23九年级下·湖北黄冈·期中）周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价（元/千克）与时间第天（为整数）的数量关系如图所示，日销量（千克）与时间第天（为整数）的部分对应值如表所示： 时间第天 1 3 5 7 9 10 11 12 15 日销量（千克） 320 360 400 440 480 500 400 300 0    （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画随的变化规律，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）在这15天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元． 【思路点拨】 （1）是分段函数，利用待定系数法可得与的函数关系式； （2）从表格中的数据上看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得与的函数关系式； （3）根据销售额销量销售单价，列函数关系式，并配方可得结论． 【解题过程】 （1）解：当时，设与的函数关系式为：， 把和代入得：，解得：， ； 当时，， 综上所述，与为整数）的函数关系式为； （2）解：由表格规律可知：与的函数关系是一次函数， 当时，设解析式为， 把和代入得，解得， ； 当时，设解析式为， 把和代入得，解得， ； 综上所述，与的函数关系式为：； （3）解：设销售额为元， 当时，， 是整数， 当时，有最大值为：， 当时，， 是整数，， 当时，随的增大而减大， 当时，有最大值为：； 当时，， ， 随的增大而减小， 时，有最大值为：， 综合所述，在这15天中，第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元． 15．（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格(元/)与周次(是正整数，)的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格(元/)从第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，与周次()的关系可近似用函数刻画． （1）求，的值． （2）若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格元之间的关系可近似地用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同： ①求与的函数表达式； ②在前六周中，哪一周的销售额元最大？最大销售额是多少？ （3）若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值． 【思路点拨】 本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）①利用待定系数法即可求解； ②分和两种情况讨论，利用销售额=销售量销售价格，再运用二次函数的性质求解即可； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【解题过程】 （1）把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：，； （2）①设函数关系式为： 把，代入得：， 解得：， 与的函数表达式为：； ②当时， ，， ， ， 是正整数， 当或时，有最大值； 当时，，， 当时， ，， ， 是正整数，， 当时，有最大值； 综上所得：第周或第周销售额最大，最大销售额是元； （3）由题意得： ， 解得：或(舍去)， ∵， ∴． 16．（2023·湖北咸宁·模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（）每件产品的成本价是y元，y与x之间关系为：，任务完成后，统计发现工人小王第x天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x天创造的产品利润为W元． （1）直接写出P与x之间的函数关系； （2）求W与x之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？ （3）最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288元，于是，工厂制定如下奖励方案：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王能获得多少元的奖金？ 【思路点拨】 （1）结合图象，分段计算，当时，，当时，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意有：，结合（1）的结果和，即可求解，再分别求出当时和当时， W的最大值，二者比较即可作答； （3）根据题意可知：当时，即可获得奖励，当时，令，即有，解得或者，可得当时可以获得奖励；当时，，即有：，解得：，去除第10天重复计算的奖励，问题得解． 【解题过程】 （1）解：结合图象，分段计算， 当时，， 当时，设P与x之间的函数关系为：， ∵，， ∴，解得， 即此时， 综上：； （2）根据题意有：， ∵，， ∴， 整理得：， 当时，， 即当时，W有最大值，最大值为， 当时，， 即W随着x的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴小王第8天创造的利润最大，最大利润是元； （3）根据题意可知：当时，即可获得奖励， 当时，令，即有， 解得或者， ∵，函数开口朝下， ∴当时，有， 即此时可以获得奖励为：（元）， 当时，， 即有：， 解得：， 即此时可以获得奖励为：（元）， ∵第10天重复计算， ∴总计获得的奖励为：（元）． 17．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分；该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用） 年销售量x（万件） … 20 40 … 总销售额z（万元） … 560 1040 … （1）求y与x以及z与x之间的函数解析式； （2）若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围； （3）受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元． 【思路点拨】 本题考查了二次函数、一次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，结合函数图象求出x的取值范围即可； （3）设下调m元，则w、z与x的函数关系也随之变化，求出w关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【解题过程】 （1）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 设预售总额为（万元），每件产品的预售额为（元），则， 设波动总额为（万元）， ∵波动总额与年销售量x的平方成正比， ∴设， ∴， 把，；，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：毛利润 ， 令，则， 解得，， 画出草图如下： 由图知：当时，， ∴要使该产品的年毛利润不低于1000万元，该产品年销售量的变化范围是； （3）解：设下调m元， 则， ∴， ∵2025年的最高毛利润为720万元， ∴w的最大值为720， ∴， 解得（不符合题意，舍去），， 故下调了6元． 18．（2023·山东青岛·三模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 …… 10 市场需求量q（百千克） 12 10 …… 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克． （1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，解答下列问题： ①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围； ②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ③求厂家每天获得的最大利润y是多少？并求出取到最大利润时x的值． （3）若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为_________元/千克． 【思路点拨】 （1）设q与x的函数关系式为：，将表格中数据代入，即可求解； （2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有，得出不等式，解不等式，即可求解；②由①可知，当时，，当时，，即可求解；③分别求出当，时的最值，进行比较，取最大值，即可求解； （3）由，即可求解． 【解题过程】 （1）解：由表格的数据，设q与x的函数关系式为：， 根据表格的数据得：， 解得：， ∴q与x的函数关系式为：（）； （2）解：①当每天的半成品食材能全部售出时，有， ， 解得：， ， ； ②由①可知，当时， ； 当时， ； ； ③当时， 的对称轴为 直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值， 最大值为， 当时， ， ，， 当时，y取最大值，最大值为， ∵， 厂家每天获得的最大利润y是百元，取到最大利润时x的值为； （3）解：要使每天的利润不低于24百元， 当时，由（2）知y最大为20，故不存在这种情况； 令，解得：， 由于函数图象开口向下， ∴当时，每天的利润不低于24（百元）， ∴当时，能保证不低于24百元，并尽可能地减少半成品食材的浪费， 故答案为：5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$