专题5.7 喷水问题——二次函数的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题5.7 喷水问题——二次函数的应用 · 典例分析 【典例1】某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． （1）如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．    （2）如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．    （3）如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．    【思路点拨】 （1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可； （2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解； （3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解题过程】 （1）解：把代入，得， 解得， 点的坐标为， 抛物线的顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得， 拋物线与轴正半轴的交点坐标为． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 它经过点， ， ， 当时，． 要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外， ， 解得， 的取值范围为． 设抛物线的函数表达式为，把点A坐标代入，求出 （3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为． 设所在直线的函数表达式为， ，解得 ． 拋物线正好经过墙角， 抛物线的函数表达式为． 设点的横坐标为． 轴，点的横坐标为． ． ， 当时，取最大值， 即长度的最大值为米． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【解题过程】 解：根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，    根据题意，，，， 将点坐标代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，即， 解得：，或（舍去）， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是， 故选：A． 2．（2024·河北石家庄·一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（　　） A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1 B．水流喷射的最远水平距离是40米 C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米 D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌 【思路点拨】 A、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案； B、把y=0代入函数y＝﹣x2+x+1即可水流喷射的最远水平距离， C、坡度为1：10的坡地解析式为，设抛物线上点P（x, ）,过P作PQ∥y轴，交OA于Q，点Q（x, ）,PQ=，当x=18时喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度； D、向后平移后的解析式为，把x=30代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断． 【解题过程】 解：A、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y=a（x-20）2+11， 把（0，1）代入解析式得：400a+11=1， 解得：， ∴解析式为； 故A不符合题意； B、当y=0时，； 解得x= 2 +20， ∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米； 故B不符合题意； C、坡度为1：10的坡地解析式为， 设抛物线上点P（x, ）,过P作PQ∥y轴，交OA于Q，点Q（x, ）, ∴PQ=， 当x=18时喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米， 故C符合题意； D、向后7米平移后的解析式为， 当x=30时，y=3.775， 3.775-3=0.775＜2.3， ∴不可以避开对这棵石榴树的喷灌， 故选项D不正确； 故选：C． 3．（2024·吉林长春·一模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 ．    【思路点拨】 本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出． 【解题过程】 解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和一次项系数不会发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出， 整理得①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得②， 联立①②可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， 此时的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴喷头高应调整为。 故答案为：． 4．（2024·吉林长春·二模）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米． 【思路点拨】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键. 依据题意，由表格数据即可作图；结合图象，设函数的解析式为再将代入求出后即可得解，依据题意,令 即: 从而解得后，即可判断原抛物线的落水点，然后求出新抛物线的落水点，再设喷水管需要向下平移米，故新抛物线的表达式为 又将代入得求后即可得解. 【解题过程】 解：建立平面直角坐标系为： 设与之间的函数表达式为 观察图象可知，顶点坐标为， 代入得， 将代入得， ∴解得: ， ∴抛物线的表达式为， 由题意，抛物线与轴相交，令 即， 解之得：(不合题意，舍去)。 ∴原抛物线的落水点为. ∴新抛物线的落水点为即. 设喷水管需要向下平移米， ∴新抛物线的表达式为 ， 将代入得, ， ∴解得: ， 答：喷水管需要向下平移米， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，灌溉系统从点处喷出水来给右侧矩形花坛浇水，水流的形状为抛物线，某一时刻抛物线经过点，分别交，于点，.测量得，，，，则 .过一段时间，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点，则 . 【思路点拨】 本题考查了二次函数的实际应用、二次函数的平移、矩形的性质，以为坐标原点，建立直角坐标系，则，，，设抛物线的解析式为：，待定系数法求出解析式为，令，则，求出点的坐标，得出，再求出的长，即可得解；求出点的坐标，设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为，将点的坐标代入进行计算，求出的值即可，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解题过程】 解：四边形是矩形，， ， 如图，以为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， ，， 设抛物线的解析式为：， 将，，代入解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化， 设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为， 灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点， ， 解得：, ， 故答案为：10，． 6．（2024·浙江温州·一模）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了 米． 【思路点拨】 以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为，即可知D点坐标．由点A和点C坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量． 【解题过程】 解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系． 根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）． 由题意可知C点坐标为(-4，0)． ∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高， 故该抛物线的对称轴为． ∴设该抛物线解析式为， 又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米， ∴该抛物线又经过点(9，0)． ∴，即， ∴该抛物线解析式为． 当x=0时， 故点A坐标为(0，-27a)． 由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5． ∴平移后的抛物线为． ∴点D坐标为(3，)． 设经过点A、C的直线解析式为， ∴，解得． 即经过点A、C的直线解析式为． 又∵该直线经过点D． ∴． 解得：． 故平移后的抛物线解析式为， 整理得：． 当时，即， 解得：（舍）． ∴移动后最远落点到中心M的距离为米， ∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）． 故答案为：． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）某村为了响应国家关于农田灌溉高效节水的号召，引入了现代灌溉技术，已知喷灌机从喷水口A点向四周旋转喷洒，喷出的水流近似为抛物线的一部分，且形状相同，建立如图所示的平面直角坐标系，测得喷水口OA的竖直高度为1m，喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离OB为8m，喷出水流竖直高度的最高处位置距离喷灌机底座O的水平距离OC为3m． （1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离喷灌机底座O的水平距离x（m）之间的关系式： （2）为了能喷洒到更多的农作物，保证水资源的充分利用，村民决定对喷灌机做如下设计改进：在喷水口高度和喷出水流形状不变的前提下，要让喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离扩大为12米，请探究改进后喷出水流的最大高度为多少米？ 【思路点拨】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键 （）根据题意得出相关点坐标，再用待定系数法即可求得函数解析式； （）根据待定系数法即可求得平移后的函数解析式，再化为顶点式即可求解． 【解题过程】 （1）解：由题意，点坐标为，点坐标为，顶点横坐标为3． 设抛物线的解析式为， ∴． ∴． ∴． ∴时，． ∴水流喷出的最大高度为． （2）解：由题意，∵在喷水口高度和喷出水流形状不变, ∴可设抛物线为．此时抛物线经过，； ∴．解得： ∴抛物线为． 当时，，此时水流的最大高度为米． 答：改进后喷出水流的最大高度为米． 8．（2024·河南商丘·二模）小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． （1）求该抛物线的表达式． （2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ （3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围． 【思路点拨】 本题考查抛物线的应用，掌握用待定系数法求抛物线解析式与二次函数图象性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把，代入抛物线解析式，求出y值，再与2比较，即可得出结论； （3）先求得抛物线的对称轴为．再分两种情况：①当，即时，②当，即时，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：设该抛物线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：当时，． ∵， ∴水流能越过该障碍物． （3）解：∵抛物线的对称轴为． ①当，即时， 将代入，得，解得， ∴a的取值范围为． ②当，即时， 将代入，得，解得， ∴a的取值范围为． 综上所述，a的取值范围为． 9．（2024·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线的解析式，并求E点坐标； （2）求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； （3）由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） （4）在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据点A、C得坐标运用待定法求出直线的解析式，再根据，令，求出y，即可得出结论； （2）设抛物线为，分别将B、C、E坐标代入即可得出解析式，然后化为顶点式即可判断得解； （3）由抛物线形状不变，消防员后退，设出新的抛物线，根据过点E，求出k，可得解析式，然后令即可解答； （4）令代入新的抛物线求出y，比较即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，旗杆离消防员的水平距离是，高度是， ，． 设直线为， ， ， 直线AC为， 又 ， 令，则． ． （2）解：由题意知抛物线过，，， 设抛物线为， ， ．， 抛物线为， 当时，y取最大值为． 水喷出的最大高度． （3）由题意，∵抛物线形状保持不变，消防员后退， 可设新抛物线为， 又过， ， ， 新抛物线为， 令，则， 又， 消防员应升高4米． （4）解：∵新抛物线为， 令，则． 水流能顺利越过旗杆． 10．（2024·河南濮阳·三模）如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． （1）出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ （2）水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 【思路点拨】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）依据题意得二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 再结合函数经过原点，求出的值，得到二次函数的解析式为： 从而可得当时， ，进而可以判断得解； （2）依据题意，可得， 再求得B的坐标为再设的解析式为建立方程组可得进而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【解题过程】 （1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为：， ∵函数经过原点， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， ∴当 时， ∴护栏的最大高度为米． （2）解：设点的横坐标为，则， ∵米，坝面的坡比为， ∴， ∴点B的坐标为， 又由题意可知，， 设的解析式为， ， ， ， ， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，， ∴河水降至离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上， ∴河水水深为米时，水柱刚好落在水面上． 11．（2024·河北邯郸·二模）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． （1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式． （2）若着火点A高出地面， ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值． 【思路点拨】 题目主要考查二次函数的实际应用，理解题意，结合图形，综合运用二次函数的性质及一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点B的坐标为，然后代入二次函数解析式即可得出结果； （2）①根据题意确定，结合（1）结论代入求解即可确定函数解析式，再求对称轴即可； ②根据题意分两种情况分析：当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，即可确定b的取值范围；再由c与b的函数解析式，利用一次函数的性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线L的解析式为经过点， ∴， 整理得：； （2）①∵着火点A距离点B的水平距离为，着火点A高出地面，点B的坐标为， ∴， ∴， 由（1）得， ∴抛物线的解析式为：， ∵水流恰好经过着火点A， ∴代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：； ②∵消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，， ∴当抛物线经过点时， ，解得：； 当抛物线经过点时， ，解得：； 综上可得：， ∵，， ∴c随b的增大而增大， ∴当时，c取得最小值为， ∴c的最小值为． 12．（2024·贵州毕节·三模）毕节市某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面的点A处和的点B处各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，把水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大竖直高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； （2）待A处火熄灭后，消防员前进到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流能否到达点B处，并说明理由； （3）如图2，若消防员从点C前进到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【思路点拨】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【解题过程】 （1）解：依题意，消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ，解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为 ； （2）解：水流能到达点B处． 理由：依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是由第一次的抛物线向左平移2个单位长度得到， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为 ， 令，则， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线过点， ∴水流能到达点B处； （3）解：依题意，消防员从点C前进到点T处，消防员到点T处时水流所在抛物线是由第一次的抛物线向左平移t个单位长度得到， ∴抛物线的函数表达式为． ∵水流未达到最高点且恰好到达点A处， ∴过点，且对称轴， ∴． 将点代入，得， 解得或（含去）， ∴． 13．（2024·贵州·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形，此时草坪边缘处恰好能喷洒到水．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，得到部分数据如下： 0 0.5 1 1.5 2 … 1 1.15 1.2 1.5 1 … 根据以上数据，完成下列问题． （1）测量数据中，哪一组是错误的？ A．B．C． D．E． （2）以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ①以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点改正过来重新在图上标出，并用平滑的曲线画出函数图象； ②求图象所在抛物线的函数表达式． （3）经调查，该自动浇水装置的推力不变（抛物线的形状不变），喷水口可以从现有位置向上移动，移动范围是．若植物园计划在圆形草坪外围种一圈宽度相等的花卉，请对花卉的宽度提出合理建议． 【思路点拨】 本题考查了二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）由表格中的数据可得对称轴为，当时，有最大值1.2，再进行判断即可； （2）①画出图形即可；②用待定系数法求解即可； （3）当时，，求得草坪的半径是，可得自动浇水装置达到最大喷洒半径时，对应的抛物线为．令，解得，此时自动浇水装置的最大喷洒半径是．所以为使花卉都能被浇水，其宽度应不超过． 【解题过程】 （1）由及可得对称轴为， 可得当时，有最大值1.2， 所以是错误的， 故选：D； （2）①如解图； ②由表格数据可知此函数图象的顶点坐标为， 设函数表达式为， 把代入，解得， ∴， 故图象所在抛物线的函数表达式为； （3）当时，， 解得，（舍去）， ∴草坪的半径是． ∵在向上平移的过程中抛物线的形状不变，且向上移动的范围是， ∴自动浇水装置达到最大喷洒半径时， 对应的抛物线为． 令， 解得（负值已舍去），此时自动浇水装置的最大喷洒半径是． ∵圆形草坪的半径为， ， ∴为使花卉都能被浇水，其宽度应不超过． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 /米 （1）根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围； （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值； （3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？ 【思路点拨】 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，灵活运用二次函数的性质解题是关键． （1）依据题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴，得顶点为，可得最大高度；由题意可设抛物线的关系式为，结合过，即可求解； （2）依据题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上，可得此时解析式为，又过点，求出后得出解析式，然后令即可； （3）依据题意，设喷泉口升高的最大值为米时，解析式为，又过点，从而可得解析式，再令，求出，然后与喷水池半径比较即可得解． 【解题过程】 （1）解：由题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴是直线， 顶点为， 水流喷出的最大高度为2米， 故答案为：2； 由题意可设抛物线的关系式为：， 又抛物线过， ， ， 函数关系式为； （2）解：由题意，设抛物线向上平移米恰好洒到花卉上， 此时解析式为， 由题意此时抛物线过点， ， ， 此时解析式为， 令， ， 喷水口升高的最小值为（米； （3）解：由题意，喷泉口升高的最大值为米时，此时， 设抛物线解析式为， 又过点， ， ， 解析式为， 令， ， 或（不合题意，舍去）， 花卉的种植宽度至少为：（米． 花卉的种植宽度至少要为米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外． 15．（2024·山东枣庄·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 （1）任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． （2）任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． （3）任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 【思路点拨】 （1）根据题意得到，，，，设抛弧线的解析式为：，利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式； （2）根据这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，结合农民最高点坐标为，以及二次函数性质求解，即可解题； （3）根据薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为，当抛物线与薄膜所在平面相切时（即只有一个交点），有，即，求出的值，得到薄膜所在平面的直线解析式，根据喷出的水与薄膜的距离至少是厘米，推出薄膜所在的直线应向右平移米，利用平移的规律得到平移后的解析式，即可解题． 【解题过程】 （1）解：由题可知：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为， 将其代入得： ， 整理得， 解得：，，要农民不会被水淋到， 则， 综上：p的取值范围为； （3）解：由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为， 当抛物线与薄膜所在平面相切时，有， 整理得， 有， 解得， 薄膜所在平面的直线解析式为， 喷出的水与薄膜的距离至少是厘米， 即薄膜所在的直线应向右平移米， 平移后的直线解析式为， 当时，，解得， 薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米． 16．（2024·广东深圳·二模）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． （3）【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 【思路点拨】 （1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可； ②根据平移的特点求出点B的坐标即可； （2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可； （3）设点，，求出，求出，得出答案即可． 【解题过程】 （1）解：①由题意得：，， ∵是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∵平移后仍过点， ∴y2是由y1向左平移得到的， ∵，点B是由点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴点F的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为， ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， ∴的取值范围为； （3）解：设， 由（1）②可知， 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上， 设点，， 则有， 解得， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴h的最小值为． 故答案为：． 17．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 【思路点拨】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论； 任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解． 任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论． 【解题过程】 解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ∵， ∴． ∵水柱距水池中心处到达最高，高度为， ∴左侧抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ∴即． 任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系 ∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线． 设的最高高度为． ∴设图3中抛物线解析式为 由（1）可得图2中的抛物线解析式为: 令，得， 解得（舍去），， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G的坐标为． 将代入 解得： ∴的最高高度为米 任务3：如图． 设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 ∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为， 又∵抛物线形状相同， ∴抛物线表达式为， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴， ∵喷出的水柱高度不低于， ∴ ∴ 又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面． 由（2）可得 代入 即 解得： ∴ ∴喷水装置高度的变化范围为． 18．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：数学眼光仪式设计 项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计． 任务一 测量建模 （1）如图1，研习小组测得表演场地宽度米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务二 方案设计 （2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距． 任务三 创意设计 （3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______． 【思路点拨】 （1）根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、，分别求出点、的坐标，即可求解． （3）过T点作于点S，根据光线与水柱之间的最小距离为米，可得，设，，设直线的解析式为：，即有，可得直线的解析式为：；根据平移的性质可得右侧的抛物线的解析式为：，结合两水线新的交点相较于原交点C下降了1米，可得，即可得，右侧的抛物线的解析式为：，联立，得：，根据相切可得，可得，即直线的解析式为：，问题随之得解． 【解题过程】 解：（1）由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系， 设所求抛物线的函数表达式为， 由题可知，，，，， 点N的坐标为，点C的坐标为， 将、代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、， 由题意可知，（米）， 点、的纵坐标均为4， 当时，， 解得， 点、的坐标分别为和， 最外侧两列彩旗队之间的距离为（米）， 即（米）， 答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米； （3）如图，右侧射灯的光线所在直线用表示，交x轴于点Q，交y轴于点P，将直线向左平移至与右边抛物线相切，平移后的直线交x轴于点T，交y轴于点W，过T点作于点S， 即有， ∵光线与水柱之间的最小距离为米， ∴与之间的距离为， ∵，， ∴， 结合题意有：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴结合，有是等腰直角三角形， ∴， ∴设，， 设直线的解析式为：， 即有，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵右侧的抛物线是由原抛物线向右平移m个单位所得， ∴右侧的抛物线的解析式为：， ∵两水线新的交点相较于原交点C下降了1米， ∴， 将代入，有， 解得：(负值舍去），即m的值为4； ∴右侧的抛物线的解析式为：， 联立， 得：， ∵直线与抛物线相切， ∴有两个相等的解， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵平移之前，右侧喷头所在点N的坐标为， ∴向右平移4米之后，现在点N的坐标为， ∴此时点B的坐标为：，即， ∴右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为， 故答案为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 喷水问题——二次函数的应用 · 典例分析 【典例1】某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方． （1）如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．    （2）如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．    （3）如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．    【思路点拨】 （1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线的函数表达式为，把点A的坐标代入，求出抛物线的函数表达式，最后令，求出对的x的值即可； （2），则可求当时，，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外得出，即可求解； （3）先求直线的表达式为，抛物线的表达式为，设点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解题过程】 （1）解：把代入，得， 解得， 点的坐标为， 抛物线的顶点的坐标为． 设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得， 拋物线与轴正半轴的交点坐标为． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 它经过点， ， ， 当时，． 要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外， ， 解得， 的取值范围为． 设抛物线的函数表达式为，把点A坐标代入，求出 （3）解：由题意知，点的坐标为，点的坐标为． 设所在直线的函数表达式为， ，解得 ． 拋物线正好经过墙角， 抛物线的函数表达式为． 设点的横坐标为． 轴，点的横坐标为． ． ， 当时，取最大值， 即长度的最大值为米． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（　　） A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1 B．水流喷射的最远水平距离是40米 C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米 D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌 3．（2024·吉林长春·一模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 ．    4．（2024·吉林长春·二模）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 米． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，灌溉系统从点处喷出水来给右侧矩形花坛浇水，水流的形状为抛物线，某一时刻抛物线经过点，分别交，于点，.测量得，，，，则 .过一段时间，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点，则 . 6．（2024·浙江温州·一模）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了 米． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）某村为了响应国家关于农田灌溉高效节水的号召，引入了现代灌溉技术，已知喷灌机从喷水口A点向四周旋转喷洒，喷出的水流近似为抛物线的一部分，且形状相同，建立如图所示的平面直角坐标系，测得喷水口OA的竖直高度为1m，喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离OB为8m，喷出水流竖直高度的最高处位置距离喷灌机底座O的水平距离OC为3m． （1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离喷灌机底座O的水平距离x（m）之间的关系式： （2）为了能喷洒到更多的农作物，保证水资源的充分利用，村民决定对喷灌机做如下设计改进：在喷水口高度和喷出水流形状不变的前提下，要让喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离扩大为12米，请探究改进后喷出水流的最大高度为多少米？ 8．（2024·河南商丘·二模）小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． （1）求该抛物线的表达式． （2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ （3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围． 9．（2024·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线的解析式，并求E点坐标； （2）求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； （3）由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） （4）在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 10．（2024·河南濮阳·三模）如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． （1）出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ （2）水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 11．（2024·河北邯郸·二模）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． （1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式． （2）若着火点A高出地面， ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值． 12．（2024·贵州毕节·三模）毕节市某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面的点A处和的点B处各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，把水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大竖直高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； （2）待A处火熄灭后，消防员前进到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流能否到达点B处，并说明理由； （3）如图2，若消防员从点C前进到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 13．（2024·贵州·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形，此时草坪边缘处恰好能喷洒到水．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为，到地面的竖直高度记为，得到部分数据如下： 0 0.5 1 1.5 2 … 1 1.15 1.2 1.5 1 … 根据以上数据，完成下列问题． （1）测量数据中，哪一组是错误的？ A．B．C． D．E． （2）以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ①以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点改正过来重新在图上标出，并用平滑的曲线画出函数图象； ②求图象所在抛物线的函数表达式． （3）经调查，该自动浇水装置的推力不变（抛物线的形状不变），喷水口可以从现有位置向上移动，移动范围是．若植物园计划在圆形草坪外围种一圈宽度相等的花卉，请对花卉的宽度提出合理建议． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底的高度为（单位：米），距喷水装置的水平距离为（单位：米）．如图所示，以喷水装置所在直线为轴，以池底水平线为轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口最低时水流高度和水平距离之间的几组数据： /米 /米 （1）根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围； （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口升高的最小值； （3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？ 15．（2024·山东枣庄·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 （1）任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． （2）任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． （3）任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 16．（2024·广东深圳·二模）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． （3）【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 17．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 18．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：数学眼光仪式设计 项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计． 任务一 测量建模 （1）如图1，研习小组测得表演场地宽度米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务二 方案设计 （2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距． 任务三 创意设计 （3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$