压轴题04 函数的基本性质四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（沪教版2020必修第一册）

压轴题04 函数的基本性质四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、函数的单调性 3 类型二、函数的最值 12 类型三、函数的奇偶性 25 类型四、函数的新定义 33 压轴能力测评（9题） 44 知识必备01.函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 知识必备02.函数的最大值、最小值 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； 知识必备03 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 2.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 类型一、函数的单调性 1．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数. (1)若，求证：函数是C函数； (2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由. 3．（23-24高一上·上海静安·期中）如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 4．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 5．（24-25高一上·上海杨浦·期中）设，则称为的“域反函数”. (1)若，若是幂函数，求：的“域反函数”的定义域与值域； (2)若，试判断的“域反函数”的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）； (3)是否存在整数a使得 (其中a，c为常数，b为素数)的“域反函数”在R上为偶函数，且满足恒成立，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． (1)若，，对进行变换后得到函数，解方程． (2)若，对进行变换后得到函数，解不等式． (3)若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 类型二、函数的最值 1．（24-25高一上·上海·期中）已知. (1)若，证明：，并指出等号成立的条件; (2)已知，设关于的方程的两个非零实数根为，问是否存在，使得对任意以及恒成立，若存在请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 3．（24-25高一上·上海徐汇·期中）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径. (1)已知函数,若对任意，恒成立，求：实数的取值范围. (2)设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围. ①对于任意，的值为或； ②关于的方程无实数解． (3)已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. (1)判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； (2)若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； (3)若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 5．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高一上·上海·期中）若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； (1)若为区间的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； (3)设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，使得均为上的方正函数． 7．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 类型三、函数的奇偶性 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． (1)动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； (2)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值； (3)动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 3．（23-24高一上·上海嘉定·期末）对于定义域为R的函数，定义，设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，总有，则称是的“函数”. (1)判断函数，是否存在“函数”，并说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得; (3)若函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①；②； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数； (3)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示） 5．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中a，m为实数，且. (1)当时，求实数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)试求满足的所有的实数的值. 类型四、函数的新定义 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 2．（23-24高一上·上海·期中）设在二维平面上有两个点，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离． (1)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？ (2)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由． 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (2)求函数在内的“区间”； (3)设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，若同时满足以下条件： ①在上是严格增函数或严格减函数； ②存在区间，使函数在上的值域是，则称函数为闭函数. (1)求闭函数符合条件②的区间； (2)函数是闭函数吗？若是，说明理由，写出区间，若不是，说明理由； (3)若函数是闭函数，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·上海·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． (1)求证：函数是“局部奇函数”； (2)若函数是定义域为上的“局部奇函数”，求实数取值范围； (3)类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由． 1．（24-25高一上·上海·期中）已知函数在R上连续，且恒成立，则在上至少有几个不同的解？ 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·上海·期末）若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有， (1)比较与的大小关系； (2)判断是否为上的增函数，并说明理由； (3)证明：当时，． 5．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函数对任意的均有，则称函数具有性质. (1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由； (2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质； (3)若函数具有性质，且，求证：对任意，，均有. 6．（23-24高一上·上海·期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质. (1)分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） (2)若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； (3)已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值. 8．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质 (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点. 9．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知． (1)若，求a的取值范围； (2)若关于方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围． (3)设，区间，求证： ①存在无数个区间，满足：当时，函数值中至少存在一个正整数； ②存在无数个区间，满足：当时，函数值中至多存在一个正整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题04 函数的基本性质四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、函数的单调性 3 类型二、函数的最值 12 类型三、函数的奇偶性 25 类型四、函数的新定义 33 压轴能力测评（9题） 44 知识必备01.函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 知识必备02.函数的最大值、最小值 函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围． 【解题方法点拨】 求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种： ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； 知识必备03 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义 【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 解题方法点拨： ①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x 那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 解题方法点拨： ①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？ ②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点． 2.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【解题方法点拨】 由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值． 解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数， 那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 类型一、函数的单调性 1．（23-24高一上·上海·期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. (1)若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，，，求实数a的取值范围； (3)若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性求参数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【详解】（1）因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2）当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； （3）不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便. 2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数. (1)若，求证：函数是C函数； (2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为C函数，证明见解析 【知识点】函数新定义、比较函数值的大小关系、对数的运算 【分析】（1）利用对数式的运算，证明即可； （2）由单调性可得，整理变形后有，可得. 【详解】（1）证明： ，， 则有 ， ， 所以函数是C函数. （2）一定为C函数,证明如下： 函数是上的严格减函数，任取，有， 则，即， 变形为， 两式相加得， 由，则，所以为C函数. 【点睛】方法点睛： 函数新定义问题，要紧紧围绕所给定义，由定义中的规则和运算性质对各种结论进行判断. 3．（23-24高一上·上海静安·期中）如果函数的定义域为，且恒成立，则函数的图像关于直线对称．已知函数 (1)若，求的值； (2)证明：函数的图像关于对称； (3)若关于的不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、由对称性研究单调性、判断或证明函数的对称性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用条件代入解方程即得； （2）计算再与比较得即得证； （3）先运用函数的单调性定义推导函数的单调性，再运用单调性和对称性求解抽象不等式，最后分离变量，利用基本不等式即得参数范围. 【详解】（1）因，由解得； （2）因， 则， 故函数的图像关于对称. （3）任取，由 因，则，即；因，则，即； ，，故，即，故在上单调递增， 因的图象关于对称，故在上单调递减. 由可得，，即（*）， 当时，不等式显然成立；时，由（*）可得， 因，，当且仅当时等号成立， 故得，解得，，即m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于求解抽象不等式时，需判断函数的单调性，在求解含参的不等式恒成立问题，一般首选参变分离，将问题转化成求函数的最值，其次是数形结合讨论函数的方法. 4．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，峰点为 (2) (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、函数新定义 【分析】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决； （2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决； （3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围. 【详解】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线， 则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 故是上的“含峰函数”，峰点为. （2）记函数，，， 则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则， 且有，得到， 则， 当时，的最小值为，则， 又，故， 当时，的最小值为，解得， 综上，实数的取值范围是. （3）记，设任意，且， 则 当时，由，且， 可知，， 则，即， 则为上严格减函数，不符合题目要求； 当时，由，且， 可知，， 则，即 则为上严格增函数，不符合题目要求； 当时， 设任意，且，此时，， 则，即，为上严格增函数； 设任意，且，此时， 则，即，为上严格减函数； 故是上峰点为的“含峰函数”. 综上，t的取值范围为. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 5．（24-25高一上·上海杨浦·期中）设，则称为的“域反函数”. (1)若，若是幂函数，求：的“域反函数”的定义域与值域； (2)若，试判断的“域反函数”的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）； (3)是否存在整数a使得 (其中a，c为常数，b为素数)的“域反函数”在R上为偶函数，且满足恒成立，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)函数为奇函数，猜想：为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数，为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. (3)不存在，理由见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数是幂函数求参数值、根据函数的单调性解不等式、函数新定义 【分析】（1）根据函数是幂函数可得实数的值，根据域反函数的定义以及常见幂函数的定义域和值域可求函数的定义域和值域； （2）根据函数奇偶性的定义判断，再据此给出猜想即可； （3）根据（2）可得函数为偶函数，则，利用二次函数的图象与性质列不等式，解得，进而判断. 【详解】（1）由函数是幂函数，得，解得，则， 因此函数，由域反函数的定义得： 当时，，此时自变量应满足； 当时，，此时自变量应满足，解得； 综上，的域反函数的定义域为，且， 当时，由幂函数的性质可知； 当时，幂函数单调递增，则； 因此函数的值域为，即函数的域反函数的值域为. （2）由，得， 根据定义得，化简得， 故函数的定义域为，又，则函数为奇函数； 又函数的定义域为，且，则函数为奇函数； 猜想：为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数，为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. 证明如下： 若是奇函数，所以当时，有，即. 同理，当时，有，即. 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，由于是奇函数，所以， 那么，也满足， 所以对于所有在其定义域内的x，都有，所以是奇函数. 类似地，可证明当是奇函数时，是奇函数， 所以为奇函数的充要条件是其“域反函数”为奇函数， 同理可证：为偶函数的充要条件是其“域反函数”为偶函数. （3）不存在整数满足题意，理由如下： 由（2）可知是偶函数，又为素数，则，故， 又由恒成立，得，解得， 故不存在整数满足条件. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． (1)若，，对进行变换后得到函数，解方程． (2)若，对进行变换后得到函数，解不等式． (3)若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数， 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、指数幂的运算、解含有参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】（1）根据函数的变换可得函数解析式，解方程即可； （2）根据函数的变换可得函数解析式，即可得不等式，分情况解不等式即可； （3）根据函数变化可得函数解析式，由可得，由，可知且，结合函数在上是严格增函数，可知当时，，即可得，再利用定义法证明函数单调性. 【详解】（1）由已知可得， 又， 即，解得； （2）由已知， 又，即， 由已知， 则当，即时，， 解得或，即或； 当，即时，，即，不等式恒成立，即； 综上所述，或； （3）由题意对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 所以对任意，， 当时，，又函数在上是严格增函数， 则，即， 由于，可知且，若其中，则， 即当时，， 任取，令， 存在，使， 由函数在上是严格增函数，可知，则， 依此类推可得，即， 即函数在上是严格增函数. 类型二、函数的最值 1．（24-25高一上·上海·期中）已知. (1)若，证明：，并指出等号成立的条件; (2)已知，设关于的方程的两个非零实数根为，问是否存在，使得对任意以及恒成立，若存在请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）利用换元法，代入后利用基本不等式即可证明； （2）由题意可转化为有两个非零实数根为，结合韦达定理表示并求出，进而得到，令，利用恒成立得到不等式组,解出即可. 【详解】（1）因为， 当时，， 令，则， 所以， 当且仅当时，即时,等号成立. 由，得当时等号成立，所以. （2）由可得：， 化简得， 所以关于的方程的两个非零实数根为， 可以转化为有两个非零实数根为， 所以， 所以， 因为，所以当时，， 若使恒成立，则， 所以得，对任意，都有成立. 设，， 若使对任意，都有成立， 则， 解得或. 2．（24-25高一上·上海徐汇·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 【答案】(1)不是伪奇函数；不是伪偶函数，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出即可判断是否为“伪奇函数”；求解方程即可判断是否为“伪偶函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，然后利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围；同时根据是“伪偶函数”求出范围，进而可得到答案； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可． 【详解】（1）因为，其定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得， 所以不是“伪奇函数”． 若，则， 则，且，解得， 故在函数定义域内不存在非零实数满足， 所以不是“伪偶函数”． （2）因是幂函数， 则，所以，， 所以，， 因为在上是“伪奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，则，且， 令，且， ， 当且时，，则， 当且时，，则， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即，故， 因为是“伪偶函数”， 所以存在非零实数解， 即存在非零实数解，显然， 综上，实数的取值范围为． （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， ∵，当且仅当，即时取等号， 又，∴， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即， 故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为． 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“伪奇函数”“伪偶函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 3．（24-25高一上·上海徐汇·期中）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径. (1)已知函数,若对任意，恒成立，求：实数的取值范围. (2)设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围. ①对于任意，的值为或； ②关于的方程无实数解． (3)已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数. 【答案】(1) (2) (3)2或4 【分析】（1）根据绝对值的定义化简函数，再根据函数恒成立，分离参数进行讨论即可； （2）根据函数的定义，在函数中给定的自变量，只有唯一确定的与之对应，即可解答； （3）根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可解答. 【详解】（1）①当时，，则， 此时恒成立，故； ②当时，，则， 若，即 令为对勾函数，在上单调递减，所以， 故； ③当时，若，则，同②符合题意成立； 若，则，同①符合题意成立. 综上所述，的取值范围为. （2）由条件①得，，解得或， 所以当时，；当时，， 又因为关于的方程无实数解，所以且, 所以. （3）①若函数有两个相等的实数根， 则，得，实数根， 令，则， 当时，，此时，有2个解； ②若函数有两个不相等的实数根， 则，得，此时两个实数根分别是， 而， 即在时成立， 此时，有4个解； 综上所述，集合有2个或4个元素. 【点睛】（1）考查绝对值不等式中对参数进行分类讨论；（2）考查函数自变量与应变量一一对应的关系；（3）考查一元二次方程的根与判别式的关系. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. (1)判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； (2)若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； (3)若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)是“2-严格利普希茨”函数，不是“2-严格利普希茨”函数，理由见解析； (2) (3)不存在，，使得成立，理由见解析 【分析】（1）对于，有，满足要求，对于，举出反例； （2）任取，分子有理化，得到，求出，得到； （3）不妨设，分和两种情况，得到，从而得到结论. 【详解】（1）是“2-严格利普希茨”函数， 不是“2-严格利普希茨”函数，理由如下： 定义域为R，任取， ， 故是“2-严格利普希茨”函数； 的定义域为R，任取， ， 当，此时， 故不是“2-严格利普希茨”函数； （2）任取， ， 由于，故， 故，， 要想恒成立，则， 故常数k的取值范围是； （3）不存在，，使得成立，理由如下： 是上的“1-严格利普希茨”函数， 故对任意的，，且，有， 不妨设，当时，， 当时，由于，，故， 故 ， 综上，恒成立， 不存在，，使得成立. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 5．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，使得结论成立，理由见解析 【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集； （2）利用换元法，可化为在上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解； （3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立． 【详解】（1）由已知得， 即，因为是增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由题意令，因为，所以， 所以不等式在上恒成立， 可化为在上恒成立， 分离参数得，因为，当且仅当时取等号， 则要使原式恒成立，只需即可，即实数的取值范围为； （3）首先要使函数在上有意义，需，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或4，由②得，故无解，舍去； 由④得或，由③得，故无解，舍去； 综上可知，不存在a使结论成立． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 6．（24-25高一上·上海·期中）若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； (1)若为区间的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； (3)设，，求非负实数的取值范围，满足：存在实数，使得均为上的方正函数． 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析 (3) 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. （3）根据对称轴与区间的关系，分类讨论函数在上的单调性与最值.结合方正函数的定义，先由两个函数的相同最值，建立方程组并求解，再结合对称轴范围分析的存在情况. 【详解】（1）因为， 函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间的方正函数，则实数的值为. （2）对函数， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，， 所以函数在上单调递减， 由图象对称性可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. （3）当时，. 若，则在上单调递增，在上单调递减， 由函数是上的方正函数， 则，解得. 此时，也为上的方正函数； 若，则，，不满足题意； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 由函数是上的方正函数， 则，解得. 此时，也为上的方正函数； 故当时，存在实数，使得均为上的方正函数； 当时，函数图象开口向上，且对称轴为. ①若即，函数在上单调递增， 由方正函数的概念，可知，即， 解得，所以由，解得. 此时，图象开口向下，对称轴为， 由，则函数在上单调递减， 且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数. 即当时，存在实数，使得均为上的方正函数． ②若，即， 由，则由方正函数概念， ，且. 又由，， 可知，且也是方正函数， 则，且， 故. 所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解； ③若，即， 由，则由方正函数概念， ，且. 与②同理可得， ， 所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解； ④若即，函数在上单调递减， 由方正函数的概念，可知，即， 解得，所以，解得. 此时，，抛物线的对称轴为， 由可知函数在上单调递增， 且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数. 即当时，还存在实数，使得均为上的方正函数． 综上所述，当非负实数的取值范围为时， 存在实数，使得均为上的方正函数． 【点睛】方法点睛：函数定义域与值域相同的问题，一般处理方法是：通过函数单调性的分析，确定函数的最大（小）值在何处取到，从而建立方程组，以方程组的求解为突破口，再加以验证条件是否满足即可. 7．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)函数在R上不具有性质，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出指数函数的定义域，根据特例，判断函数在R上是否具有性质； （2）根据函数在区间上具有性质得到和的关系，求出的取值范围； （3）设，求出的表达式，求出的范围，分和两种情况求解. 【详解】（1）指数函数在R上不具有性质， 理由如下：指数函数的定义域为R， 对于，，因为，， 所以不存在，满足， 因此函数在R上不具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对于任意，都存在， 使得，即， 因为，所以， 得； （3）设， 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在，使得， 即，因为， 所以，所以， ①当时，， 因为，所以且， 即，因为m唯一， 所以，得 ②当时， 因为，所以且， 即，因为m唯一，所以， 得，综上，t的值为或 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于，求出的表达式，求出的范围. 类型三、函数的奇偶性 1．（23-24高一上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为． (1)动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围； (2)动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值； (3)动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，点 【分析】（1）利用“曼哈顿距离”的定义，分类讨论去绝对值解不等式即可； （2）设出动点，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可； （3）先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可． 【详解】（1）由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得 ，， 当时，成立，解得； 当时，，解得； 当时，，解得 综上所述点的横坐标的取值范围是； （2）设出动点，则， 又，所以， 当时，， 此时， 当时，， 此时 当时，， 此时 又 所以 综合得，当时取等号. 即的最小值为 （3）设点，则， 若存在实数使得，则对任意成立， 取，有，取,有， 得， 所以 取，是上是偶函数， 当时，若，， 若，，当且仅当时取等． 所以存在实数且，使得最小值为，点 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”． (1)已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式； (2)已知函数是“型函数”，求p和b的值； (3)已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解. （2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解. （3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意奇函数是“型函数”，所以，且， 联立解得函数的解析式. （2）由题意函数是“型函数”， 所以， 而， 所以恒成立，当且仅当，解得， 即满足题意的p和b的值分别为. （3）由题意函数是“型函数”， 所以， 而 ， 所以恒成立， 当且仅当恒成立， 当且仅当恒成立或恒成立（舍去）， 所以，解得， 即满足条件的k、a和b的一组值分别为. 【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解. 3．（23-24高一上·上海嘉定·期末）对于定义域为R的函数，定义，设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，总有，则称是的“函数”. (1)判断函数，是否存在“函数”，并说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得; (3)若函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在“函数” (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意由判断 （2）由“函数”的定义，分别验证充分性和必要性 （3）先判断和函数为奇函数和“函数”，结合（2）可得结果 【详解】（1）因为， 当；当， 故，则该函数不存在“函数”； （2）充分性：若，则 任取时，总有，所以存在“函数； 必要性：因为，是奇函数，则，任取， 因为存在“函数，所以则， 当,，所以， 所以可得，从而有， 即是一个常数，设为k，则， 综上命题得证； （3）设函数与函数的定义域都是，且均存在“函数”，则， 则 则存在“函数”，因为此函数定义域为R，关于原点对称，且， 则是奇函数，由（2）知存在k使得恒成立， 则，又时均为“函数”符合题意， 综上可知，. 【点睛】理解函数新定义是解决问题的关键，并注意（2）的结论在（3）的应用 4．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①；②； (2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数； (3)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示） 【答案】(1)①是，②不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案； （2）性质的定义列不等式，假设若不为偶函数，即，得出与题意矛盾，进而可得出是偶函数； （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围. 【详解】（1）对任意，得， 所以具有性质； 对任意，得， 取时，有， 所以不具有性质； （2）设二次函数满足性质， 则对任意，满足， 若不为偶函数，即，即， 即，取， 则，矛盾， 所以，此时， 满足，即为偶函数； （3）由于，函数的定义域为， ， 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即， 即， 由于函数在上递增，得， 即， 当时，得，对任意实数恒成立， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点睛：求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解，求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 5．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中a，m为实数，且. (1)当时，求实数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)试求满足的所有的实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)或. 【分析】（1）根据得到； （2）求出，画出的图象，数形结合，要想恒成立，只需，求出答案； （3）数形结合，结合函数对称性得到不等式或方程，检验后，舍去不合要求的解，求出答案. 【详解】（1）时，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， （2），由题意得， 解得， 当时，， 画出上的函数的图象， 令得，， 令得，， 结合图象，要想恒成立，只需， 解得， 又，故； （3）当时，，，满足要求， 令，解得，令，解得， 若，无解， 若，解得， 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， 而，分别在上面两个区间内，满足要求， 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， 而，均不在上面的两个区间内，不合要求，舍去； 若分别位于两区间时， ，解得， 此时两区间为， ，均不在上面两区间内，不合要求，舍去； 故的解为或. 【点睛】求函数的零点或解，可用方程法，也可转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解. 类型四、函数的新定义 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)1； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 2．（23-24高一上·上海·期中）设在二维平面上有两个点，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离． (1)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？ (2)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)1，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案. （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案. （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【详解】（1）因为，故， 由曼哈顿距离不大于3可得，即， 则，解得，故的取值范围是. （2）因为，故， 由题意可得:恒成立， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， ，则或，解得或. 故的取值范围是或. （3）点在函数图象上且，点的坐标为， 故，， 当时，，函数在上单调递增， 故， 当时，； 令，由于，故， ，， 故，即此时最小值为1，此时时取到. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号， 综合以上可知，的最小值为1. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”．设． (1)试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； (2)求函数在内的“区间”； (3)设函数在区间上的所有“区间”的并集记为．是否存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解．若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不是函数的一个“区间”,理由见解析； (2); (3)不存在,理由见解析. 【分析】（1）利用二次函数知识,求出在上的值域，进而判断即可; （2）设的 “区间”为,借助二次函数的性质确定的值域为，建立方程组计算即可； （3）求出函数在区间上的所有“区间”的并集，分离参数，转化为求二次函数的值域问题计算即可. 【详解】（1）结合题意可得：， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，， 当或时，， 故此时函数的值域为，而此时 所以区间不是函数的一个“区间”. （2）设的 “区间”为,则的值域为， 此时在单调递减， 则，解得， 所以的 “区间”为. （3）由（2）知在上的 “区间”为, 当时，则， 而函数在上的值域为， 所以在上不存在这样的区间， 所以在上满足条件的区间为， 由，可得函数为奇函数， 同理易得：当，的“区间”为， 所以， 要使关于的方程在上恰有2个不同的实数解, 则当，，即 且在单调递减; 当，，即. 因为, 所以不存在实数，使关于的方程在上恰有2个不同的实数解. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于利用函数的定义域和值域及单调性求出“区间”，以及如何求解二次函数在闭区间的值域，综合性很强，属于难题. 4．（23-24高一上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意代入整理得，取系数为0 即可得解； （2）根据题意代入整理得，取值解即可判断； （3）根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知与在内有2个不同的交点，数形结合处理问题. 【详解】（1）函数具有“性质”， 因为，且， 则，整理得， 可得，解得， 所以函数是否具有“性质”，此时. （2）假设函数（且）具有“性质”， 则，则，解得， 整理得，则， 取，可得，解得； 取，可得，解得； 显然，即对任意，不存在实数、使得恒成立， 假设不成立，所以函数（且）不具有“性质”. （3）具有“性质”，则，可知关于点对称， 可得，即 又因为为定义域为的奇函数，则， 可得，即函数的周期为2， 令，则， 由题意可得：与在内有5个不同的交点， 注意到为奇函数，可知为与的一个交点， 由对称性可知：与在内有2个不同的交点， 作出在内的图象， 当过时，可得； 当过时，可得； 当过时，可得； 结合图象可知：实数的取值范围为. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解； 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 5．（23-24高一上·上海·期末）对于定义域为的函数，若同时满足以下条件： ①在上是严格增函数或严格减函数； ②存在区间，使函数在上的值域是，则称函数为闭函数. (1)求闭函数符合条件②的区间； (2)函数是闭函数吗？若是，说明理由，写出区间，若不是，说明理由； (3)若函数是闭函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不是闭函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据的单调性，列出方程组即可求解； （2）取特殊值判断函数的单调性即可； （3）根据函数为闭函数，从而得到，为方程的两个实根，从而利用二次函数的图象与性质求得实数的取值范围． 【详解】（1）在单调递增， 区间满足解得； （2），， 取，则， 取，则， 取，则， 在上不是单调函数，不满足条件①， 不是闭函数； （3）在单调递增， 设满足条件②的区间为， 则有解， 即方程至少有两个不相同的实数根， 这等价于方程有两个大于等于的不相等的实数根， 解得. 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及函数单调性的应用，解题的关键是掌握“闭函数”的定义与性质，并进行灵活应用. 6．（24-25高一上·上海·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． (1)求证：函数是“局部奇函数”； (2)若函数是定义域为上的“局部奇函数”，求实数取值范围； (3)类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数是这两种函数吗？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部偶函数”；是“局部偶函数”，不是“局部奇函数”，理由见解析 【分析】（1）根据题意分析方程，即的解的情况，即可得证； （2）根据题意分析可得在上有解，根据条件得，，从而转化成在上有解，或在上有解，即可求解； （3）由“局部奇函数”的定义类比可得“局部偶函数”的定义，再分析，的解得情况，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 若，即，整理可得：，解得：， 所以方程有解，则函数是“局部奇函数”. （2）因为函数是定义域为上的“局部奇函数”， 则在上有解， 当时，，，当时，，， 又时，，所以， 又，易知，，即不是的解， 当时，由，得到， 当且仅当时取等号，所以， 当时，由，得到，当且仅当时取等号， 综上，实数取值范围. （3）根据题意“局部偶函数”的定义为：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部偶函数”． 对于函数，， 当时，成立，即为“局部偶函数”， 若为局部奇函数，因为，， 则，， 设，则，即， 整理得到，解得，不合题意， 设，则，解得，不合题意， 设，则，解得，即，不合题意， ∴不是局部奇函数， 故是“局部偶函数”不是“局部奇函数”. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解“局部奇函数”的定义，在定义域内存在实数，满足，将函数问题转化为方程有解问题，即可求解. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知函数在R上连续，且恒成立，则在上至少有几个不同的解？ 【答案】666 【分析】利用求出的周期为3，然后利用不等式的性质求出在上至少有一个解，然后结合函数的周期求解即可. 【详解】 故 两式作差得： 即 所以或者 当时，， 此时，因为方程组无解，故， 所以即周期为3， ， 故， 所以， ， 故， ， 则，， 且函数在R上连续，故在上至少有一个解， 且周期为3，故在一个周期内至少有2个解， 在上共有333个周期， 则在上至少有666个不同的解. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据求出函数的周期为3，再利用不等式的性质和在R上连续进行求解. 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. (1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； (2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有. 【答案】(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可； （2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可； （3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可. 【详解】（1）对任意的，且， . 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”； （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得； （3）对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以. 此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可. 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知（），函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的单调性及取值情况列方程求解即可得的值； （2）将不等式，转化为在上恒成立，利用函数取值即可求得实数k的取值范围； （3）原方程化为，令，得到方程，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，即可求得的范围． 【详解】（1）函数， 因为，对称轴为，所以在区间上是增函数， 所以，即，解得. 故. （2）由（1）得， 则不等式为在上恒成立， 即在上恒成立， 又时，，则， 所以，则. 故实数k的取值范围. （3）方程，代入， 得，， 化简整理得， 令，则， 则方程有两个不相等的实数根等价于关于的一元二次方程有两个大于且不相等的实数根， 所以，即或， 解得或. 所以的取值范围是． 4．（23-24高一上·上海·期末）若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有， (1)比较与的大小关系； (2)判断是否为上的增函数，并说明理由； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)函数在上不为增函数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得分，，两种情况讨论，得出矛盾，从而得到，进而得到； （2）令函数，其中，结合单调性的定义，即可得到结论； （3）由（1）知，恒成立，结合时，得到，再分和，分别证得和，进而证得结论. 【详解】（1）解：当时， 都有， 若， 可得， 则， 此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）； 若， 可得， 则， 此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）； 所以，当时，有， 此时函数在区间上有最小值和最大值， 因为时，函数无最小值， 所以，当，有，即， 若，则，可得， 此时函数时，函数存在最小值，矛盾， 综上可得，. （2）解：函数在上不为增函数， 例如：函数，其中， 显然函数满足题设，例如，如图所示， 所以，任取，且时，不恒满足， 故在不为增函数. （3）证明：由（1）知，当时，恒成立， 又由 所以，当时，可得，即， 所以当时，则存在正整数使得， 则， 所以当时，，同理可证：当时，， 所以，当时，必然存在正整数，使得，所以， 当时，，显然成立； 综上可得：当时，. 【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解： 1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化； 2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解. 5．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若函数对任意的均有，则称函数具有性质. (1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由； (2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质； (3)若函数具有性质，且，求证：对任意，，均有. 【答案】(1)函数①具有性质；函数②不具有性质 (2)函数具有性质，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用题中定义以及所给的函数，结合基本不等式，可以检验函数①是否具有性质，代入特殊值，即可检验函数②是否具有性质； （2）分别讨论为有理数和无理数，根据题中所给的定义以及函数，检验计算，即可判断； （3）利用反证法，结合所给的定义进行推理，即可证明． 【详解】（1）函数①，且， 则， 所以， 故， 所以函数①具有性质； ②不具有性质， 比如当时，， 不满足定义， 故函数②不具有性质； （2）函数具有性质，理由如下： 当为有理数时， ， 所以此时函数具有性质； 当为无理数时， ， 所以此时函数具有性质， 综上所述，函数具有性质； （3）证明：假设为，，，中第一个大于0的值， 则， 因为具有性质， 则， 所以， 则（1）， 这与，矛盾， 故假设不成立， 则原命题成立， 所以对任意，均有． 6．（23-24高一上·上海·期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】(1)是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【详解】（1）对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质. (1)分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） (2)若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； (3)已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值. 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）将问题转化为，再对进行分类讨论，求得的值域，结合的唯一性求得的值，从而得解. 【详解】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为指数函数的定义域为， 对于，，恒成立， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质； 因为一次函数的定义域为， 对于，，取， 则，因此具有性质. （2）当时，由于函数具有性质， 取，则存在，使得， 所以，因此函数存在零点，即充分性成立； 当函数存在零点时， 设，，则， 因为对于任意，取，则， 且满足， 所以函数具有性质，但，即必要性不成立； 因此“”是“函数存在零点”的充分非必要条件. （3）依题意，存在唯一的实数，使得函数，具有性质， 即存在唯一的实数，对任意，都存在满足，即， 因为，则，故， 记的值域为，则， 当时，，，即， 所以，得，显然不唯一，不符合题意； 当时，的对称轴为，， 当，即时，在上递增，所以， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，则，得， 由于唯一，所以，解得，符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得（舍去），满足题意； 综上，的值为或. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 8．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质 (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在存在零点. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对任意，都有，代入即可得出答案； （2）设，利用零点存在性定理即可证得结论； （3）令，可知函数具有性质，分三种情况，结合零点存在性定理证得结论. 【详解】（1）函数具有性质， 所以对任意，都有， 令，则，所以． （2）函数具有性质的可知： 存在，使得，即，   设， 因为，， 所以在区间上函数存在零点，        取，则，此时函数具有性质． （3）令，可知的图像是一条连续不断的曲线， 因为函数具有性质，则，即， 可得，即函数具有性质， 若，则1即为零点； 因为，若，则，矛盾，故， 若，则，，， 可得. 取，即可使得， 又因为的图像连续不断， 所以，当时，函数在上存在零点， 当时，函数在上存在零点， 若，则由，可得， 由，可得， 由，可得. 取，即可使得， 又因为的图像连续不断， 所以，当时，函数在上存在零点， 当时，函数在上存在零点， 综上所述：函数在内存在零点，即函数在存在零点. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 9．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知． (1)若，求a的取值范围； (2)若关于方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围． (3)设，区间，求证： ①存在无数个区间，满足：当时，函数值中至少存在一个正整数； ②存在无数个区间，满足：当时，函数值中至多存在一个正整数． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）化简不等式，利用对数函数定义域单调性求解不等式组； （2）由对数运算化简方程，将问题转化为双勾函数与直线的交点个数问题求解可得； （3）①对于任意给定的，结合方程（为正整数），结合范围构造满足题意的区间，再结合函数单调性与正整数有无限多个证明可得；②对于任意给定的，通过两个相邻正整数对应的区间，结合范围构造两区间之间满足题意的区间，再结合函数单调性与正整数有无限多个证明可得. 【详解】（1）由题意得， 因为，所以， 则不等式可化为 即， 则解得. 故a的取值范围为. （2）由题意得，方程恰有一个实数解， 方程可转化为，且. 设, 设任意实数，且， 则， 由，则， 所以，即. 故在上单调递减. 同理可证，在单调递增， 又当，；当，； 如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象与直线， 要使方程在恰有一个实数解，即两图象有且只有一个交点. 由图形可知，或，解得或或. 故m的取值范围为. （3）①对于任意给定的实数，在内存在无数个正整数. 在区间内任取正整数，即满足， 令，解得，即函数值是正整数. 由，即，因为，所以， 取，其中表示不大于的最小整数. 则，且， 即 则，函数值是正整数. 故对内任意正整数，存在区间（）， 有，函数值是正整数. 由单调递增，又正整数有无限多个可知， 存在无数个区间，满足：当时，函数值中至少存在一个正整数； ②对于任意给定的正数，在内存在无数个正整数. 在区间内任取两个相邻正整数，则. 由①知，存在区间（）， 满足，且是正整数， 且是正整数，且， 则， 则， 所以任意时，即， 因为函数单调递增，所以， 即，由函数值为两相邻正整数， 故存在区间，当时，函数值不存在正整数. 即存在区间（），当时，函数值中至多存在一个正整数． 由函数单调递增，且正整数有无限多个可知， 存在无数个区间，满足：当时，函数值中至多存在一个正整数． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用函数的单调性求解对数不等式，借助取整函数寻找满足题意的区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$