19.2.1正比例函数第1课时教案2024-2025学年人教版数学八年级下册

课程基本信息 课题 第19章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数（第1课时） 教材 人教版八年级下册 教学目标 1.经历正比例函数概念的形成过程，理解正比例函数的概念 2.能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数建模思想 3.经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力 教学重点 正比例函数的概念 教学难点 对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程 教学过程 一、复习引入 问题：函数的概念是什么? 教师分析：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值y都有一个唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数 问题：函数的常用表示方法有哪些? 教师分析：解析式法、列表法、图象法 如我们上节课研究的一个正方形的边长为x，那么这个正方形的面积为多少? 教师分析：我们可以利用解析式法表示，如果正方形的面积用S来表示，那么S=x2(x>0)，因为是实际问题所以取值范围是大于0的 我们也可以用列表法 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ... S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 我们还可以用图像法表示 师：从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数，一次函数，本节课先研究特殊的一次函数，正比例函数 设计意图：前面问题是对函数定义及表示方法的复习，使学生对函数有较深刻的理解，也为后面对比旧知学习新知莫定基础 二、探究新知 请同学们来看下列实际问题 问题：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km。设列车的平均均速度为300km/h，考虑以下问题 (1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时?(结果保留小数点后一位) 教师分析：根据时间=路程÷速度，路程全长为1318km，速度为300km/h，京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h) 追问：在京沪高速铁路上以平均速度300 km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内?因为全程需要4.4h，又是实际问题所以运行时间 0~4.4h范围内 设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明 (2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间(单位:h)之间有何数量关系? 教师分析：根据路程=时间×速度,容易写出300t，此时y是t的函数吗?在这个问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应，所以y是t的函数，y与t之间的函数解析式是y= 300t，对于实际问题我们需根据题意写出函数t的取值范围(0≤t≤4.4). 函数解析式为y=300t(0≤t≤4.4) 设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生的探究兴趣 (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经经过了距始发站 1100km的南京南站? 教师分析：京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后的行程，就是求t=2.5 时函数y的值，把t=2.5时代入y= 300t可得y=300×2.5=750(km)，因为750km<1100km，所以这时列车尚未到达距始发站1100 km的南京南站 设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法 教师分析：以上我们用函数y=300(0≤t≤4.4)对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论，尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律 三、类比思考，概括共性 问题：请同学们思考下列问题中变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是，请写出函数解析式，并根据结果归纳出这些解析式的共同特征 (1)圆的周长l随半径r大小变化而变化 教师分析：根据圆的周长公式写出解析式为l=2Πr 我们又发现在这个变化过程中有两个变量，分别是周长l和半径r，其中当r取一个定值时，l都有唯一确定的值与其对应，所以周长1和半径r之间是函数关系 (2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位g)随它的体积v的大小(单位cm3)变化而变化 教师分析：根据质量=体积×密度写出解析式为m=7.8v 我们又发现在这个变化过程中有两个变量分别是铁块的质量m和铁块的体积v，其中当v取一个定值时，m都有唯一确定的值与其对应，所以铁块质量m和体积v之间是函数关系 (3)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在起的总厚度h(单位 cm)随这些练习本的本数n的变化而变化 教师分析：根据总厚度等于每本厚度×个数写出解析式为h=0.5n 我们又发现在这个变化过程中有两个变量，分别是练习本的总厚度h和练习本的个数n，其中当取一个定值时，h都有唯一确定的值与其对应，所以练习本个数和总厚度之间是函数关系 (4)冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降 2℃，物体温度T随时间t的变化而变化 教师分析：根据物体的温度与时间的关系，写出解析式为T=-2t 我们又发现在这个变化过程中有两个变量，分别是物体的温度T和时间t，其中当时间t取一个定值时，温度T都有唯一确定的值与其对应，所以温度 T和时间t之间是函数关系 根据分析我们可以确定上述四个式子表示出了两个函数的数量关系它们是函数解析式 请同学们认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是常量哪些是自变量?并填出下表 函数解析式 常量 自变量 l=2Πr 2Π r m=7.8v 7.8 v h=0.5n 0.5 n T=-2t -2 t 教师分析：我们发现这些函数解析式和y=300t一样，都是常数与自变量的乘积的形式 我们通常用y表示函数，k表示常数，x表示变量 一般地，形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力。通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备。 四、课堂练习 1.下列函数中，哪些表示y是x的正比例函数，说出理由，并指出比例系数 (1)y=3-0.5x (2)y=8x2 (3)y=15x (4)y=-5x 解： (1)y=3-0.5x不是表示y是x的正比例函数，因为它不是常量与自变量积的形式 (2)y=8x2不是表示y是x的正比例函数，它表示y是x的正比例函数，与题意不符 (3)y=15x是表示y是x的正比例函数，它符合正比例函数的定义，比例系数是15 (4)y=-5x是表示y是x的正比例函数，它符合正比例函数的定义，比例系数是-5 2.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数 (1)正方形的边长为xcm，周长为ycm (y=4x是正比例函数) (2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年(12个月)的总收入为y元(y=12x是正比例函数) (3)一个长方体的长为2cm，宽为 1.5cm，高为xcm，体积为ycm3 (y=3x是正比例函数) 五、课堂小结 请同学们回顾一下我们今天学的内容，我们学了 1.正比例函数的概念：一般地，形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 2.利用正比例函数解决简单的实际问题 今天的课就到这里感谢感谢各位同学的聆听，期待我们下一次再会! 五、课后作业，加深理解 1.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割 (1)求收割的面积y(单位:公顷)与收割时间x(单位:时)之间的函数关系式 (2)求收割完这块麦田需用的时间 课后反思 本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法，由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力 学科网（北京）股份有限公司 $$