专题5.1 任意角与弧度制（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第一册）

专题5.1任意角与弧度制 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知角的集合，则在内的角有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若角为第二象限角，则角为（    ）象限角 A．第一 B．第一或第二 C．第二 D．第一或第三 4．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）小明出国旅游，当地时间比中国时间快一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·全国·专题练习）如果是第三象限的角，则下列结论中错误的是（   ） A．为第二象限角 B．为第二象限角 C．为第一象限角 D．为第四象限角 6．（23-24高一下·广东揭阳·期末）下列各命题中，假命题的是（ ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 7．（24-25高一·全国·单元测试）如果第一象限角，锐角，小于的角，那么三者之间的关系是（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．9 B．10 C．24 D．25 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·湖北孝感·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．第一象限的角都是锐角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．钝角是第二象限角 10．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各说法中，正确的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 11．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）一扇形的周长为7，面积为3，则这扇形的弧所对的圆心角为 ． 13．（23-24高一上·上海·期末）设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 14．（23-24高一上·江苏苏州·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为 rad，此时扇面面积为 cm2． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·湖南·课后作业）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判断它是第几象限角： (1)； (2)1390°； (3)． 16．（24-25高一·全国·课后作业）把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到0.01°）： （1）； （2）； （3）； （4）. 17．（24-25高一·全国·课后作业）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合； (2)写出在内与角终边相同的角. 18．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为． (1)若，求该扇形的周长和面积； (2)若扇形的周长为20，面积为9，求． 19．（24-25高一·全国·课后作业）已知扇形的圆心角为，半径为． （1）若扇形的周长是定值（），求扇形的最大面积及此时的值； （2）若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1任意角与弧度制 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的概念判断即可. 【详解】与角终边相同的角可以表示为，， 当时为，当时为，时为. 故选：D 2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知角的集合，则在内的角有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据给定条件，解不等式，求出k的值即可作答. 【详解】依题意，解不等式，得，而，因此， 所以在内的角有3个. 故选：B 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若角为第二象限角，则角为（    ）象限角 A．第一 B．第一或第二 C．第二 D．第一或第三 【答案】D 【解析】根据的范围，求出的范围即可. 【详解】因为角为第二象限角， 所以， 所以， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第三象限角； 所以是第一或第三象限角， 故选：D 【点睛】本题主要考查了象限角的范围，属于基础题. 4．（24-25高一上·湖南益阳·阶段练习）小明出国旅游，当地时间比中国时间快一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，需要将表顺时针旋转，结合任意角、弧度制的概念，即可求转过的角的弧度数. 【详解】由题意知：时针需要顺时针旋转，即转过的角的弧度数. 故选：D. 5．（2024高一下·全国·专题练习）如果是第三象限的角，则下列结论中错误的是（   ） A．为第二象限角 B．为第二象限角 C．为第一象限角 D．为第四象限角 【答案】B 【分析】根据的范围，求出、、、的范围，即可判断. 【详解】解：由是第三象限角得，，， 对于A：，，令， 有，，所以的终边在第二象限，故A正确； 对于B：由A得， 则，，所以是第四象限的角，故B不正确； 对于C：，， 即，，所以是第一象限的角，故C正确； 对于D：，， 所以是第四象限的角，故D正确． 故选：B． 6．（23-24高一下·广东揭阳·期末）下列各命题中，假命题的是（ ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 【答案】D 【分析】根据弧度制的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，正确； B选项，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正确； C选项，根据弧度的定义，一定等于弧度，正确； D选项，用角度制度量角，与圆的半径长短无关，故D错. 故选：D. 【点睛】本题主要考查弧度制的相关判定，熟记概念即可，属于基础题型. 7．（24-25高一·全国·单元测试）如果第一象限角，锐角，小于的角，那么三者之间的关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举特例可判断ACD选项，由可判断B选项 【详解】因为第一象限角，锐角，小于的角， 所以对于A，因为，，所以，但，故，所以A错误； 对于B，，，故B正确， 对于C，∵，∴，但，所以，故C错误， 对于D，∵，，，故，，故D选项错误， 故选：B 8．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．9 B．10 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一下·湖北孝感·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．第一象限的角都是锐角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．钝角是第二象限角 【答案】CD 【分析】A.举例说明；B.举例说明；C.利用终边相同的角判断；D.利用钝角的范围判断. 【详解】对于A，如是第一象限的角，不是锐角，故A错误； 对于B，如小于，不是锐角，故B错误； 对于C，由，所以与终边相同，是第三象限的角，故C正确； 对于D，钝角为的角，是第二象限角，故D正确. 故选：CD. 10．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各说法中，正确的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 【答案】ABC 【分析】根据角度制与弧度制的定义即可得出答案. 【详解】“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故A正确； 1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，故B正确； 根据弧度的定义，一定等于弧度，故C正确； 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制， 角的大小均与圆的半径长短无关，而是跟弧长与半径的比值有关，故D错误的. 故选：ABC. 11．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 【答案】ACD 【分析】根据已知可作出顶点的运动轨迹，可知轨迹为两个圆，结合图象可知A正确，B错误；结合圆的周长和面积求法可求得轨迹长度和围成区域面积，知CD正确. 【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示， 对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确； 对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误； 对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确； 对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和， 即所求面积为，D正确. 故选：ACD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）一扇形的周长为7，面积为3，则这扇形的弧所对的圆心角为 ． 【答案】或 【分析】根据扇形的面积计算公式，周长列出方程组，解之可求得扇形的半径和弧长，再根据弧度数公式求得答案. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，因为扇形的周长为7，面积为3，所以 ，解得或，又，所以或， 故答案为：或. 13．（23-24高一上·上海·期末）设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】画出函数的图像，由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线不是一个函数的图像，由此求出答案. 【详解】画出函数的图像，如图，在轴正半轴上取一点，则， 由图可知，当函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，旋转所得的图像与垂直于轴的直线就有两个交点，曲线不是一个函数的图像， 故的最大值是 故答案为：. 14．（23-24高一上·江苏苏州·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为 rad，此时扇面面积为 cm2． 【答案】 704 【解析】设，，由题意可得：，解得和，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设，， 由题意可得：， 解得：，. 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 结论点睛：（1）扇形的面积公式：； （2）扇形弧长公式：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一·湖南·课后作业）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判断它是第几象限角： (1)； (2)1390°； (3)． 【答案】(1)195°，第三象限角； (2)310°，第四象限角； (3)，第二象限角. 【分析】与角终边相同的角可以表示为＋360°k，k∈Z，据此即可作答. 【详解】（1）与终边相同的角为＋360°k，k∈Z， 当k＝1时，为195°， ∴在内，与终边相同的角是，它是第三象限角； （2）与1390°终边相同的角可以表示为1390°＋360°k，k∈Z， 当k＝－3时，为310°， 在内，与终边相同的角是，它是第四象限角； （3）与终边相同的角为＋360°k，k∈Z， 当k＝2时，为， 在内，与终边相同的角是，它是第二象限角. 16．（24-25高一·全国·课后作业）把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到0.01°）： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】直接由化弧度制为角度制得答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查弧度与角度的互化，角度化为弧度用度数乘以，弧度化为角度用度数乘以，正确做对本题关键是熟练记忆转化的规则，属于基础题． 17．（24-25高一·全国·课后作业）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合； (2)写出在内与角终边相同的角. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案. （2）由（1）结论，可得，解出的值，即可得到答案. 【详解】（1）与角终边相同的角的集合为. （2）令，得. 又，∴k=-2，-1，0， ∴在内与角终边相同的角是，，. 18．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为． (1)若，求该扇形的周长和面积； (2)若扇形的周长为20，面积为9，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）确定，再计算周长和面积得到答案. （2）确定方程组，解得答案，再验证即可. 【详解】（1），所以，所以扇形的周长为． ． （2）扇形的周长为20，面积为9，所以，解得或． 当时，，此时（不合题意，舍去）； 当时，，此时． 综上所述：． 19．（24-25高一·全国·课后作业）已知扇形的圆心角为，半径为． （1）若扇形的周长是定值（），求扇形的最大面积及此时的值； （2）若扇形的面积是定值（），求扇形的最小周长及此时的值． 【答案】（1），面积最大值为； （2），周长的最大值为. 【分析】（1）由扇形的周长是定值，求得，再由扇形的面积公式，结合二次函数的性质和弧长公式，即可求解. （2）由扇形的面积是定值，求得，再由扇形的弧长公式和本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，扇形的圆心角为，半径为，设扇形的弧长弧长为， 若扇形的周长是定值（），则，即， 又由扇形的面积为， 当时，扇形的面积取得最大值，此时最大值为， 此时，又由扇形的弧长公式，可得，解得. （2）由扇形的圆心角为，半径为，设扇形的弧长弧长为， 若扇形的面积是定值（），则，即， 又由扇形的弧长公式，可得扇形的周长为， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，由弧长公式，可得，解得. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$