专题5.2 三角函数的概念（5类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题5.2 三角函数的概念 【考点1：三角函数的定义】 1 【考点2：各象限角的三角函数符号】 2 【考点3：三角函数线及其应用】 3 【考点4：同角三角函数的基本关系】 4 【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 5 【考点1：三角函数的定义】 【知识点：三角函数的定义】 三角 函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α [方法技巧] 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法 (1)已知角α终边上一点P的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可． (2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解． [提醒]　认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．　　 1．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知角的终边经过点，则（   ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 2．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．和 B． C． D． 【考点2：各象限角的三角函数符号】 【知识点：各象限角的三角函数符号】 三角 函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 1．（24-25高一上·广东东莞·期中）点落在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 3．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在直线上，则 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且有意义． (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边上一点，且(O为坐标原点)，求的值及的值． 【考点3：三角函数线及其应用】 【知识点：三角函数线及其应用】 三角 函数 正弦 余弦 正切 三 角 函 数 线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 1．（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则. 2．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【考点4：同角三角函数的基本关系】 【知识点：同角三角函数的基本关系】 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. 1．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）是三角形的一个内角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若角α的终边不在坐标轴上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是第一象限角，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）若，则 . 8．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则 . 9．（多选）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 【知识点：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 1．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，则 . 2．（24-25高一上·天津东丽·阶段练习）已知 ， 则 . 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数，其中为第三象限角，且 (1)求的值： (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 三角函数的概念 【考点1：三角函数的定义】 1 【考点2：各象限角的三角函数符号】 3 【考点3：三角函数线及其应用】 5 【考点4：同角三角函数的基本关系】 7 【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 12 【考点1：三角函数的定义】 【知识点：三角函数的定义】 三角 函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α [方法技巧] 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法 (1)已知角α终边上一点P的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可． (2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解． [提醒]　认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．　　 1．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知角的终边经过点，则（   ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由正切函数的定义计算即可. 【详解】由题意，得. 故选：B. 2．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案为：． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位圆及正弦函数的定义得解. 【详解】由题意，，解得， 所以， 故选：D 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义计算，逐项判断即可. 【详解】由题意，，为坐标原点， 则，，， 又，则， 故选：C 5．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（   ） A．和 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，由三角函数的定义可得出关于的方程，即可解出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得 故选：B. 【考点2：各象限角的三角函数符号】 【知识点：各象限角的三角函数符号】 三角 函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 1．（24-25高一上·广东东莞·期中）点落在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式和符号，分别得出横纵坐标的正负值情况，即可判断点所在象限. 【详解】因为 所以点落在第四象限内， 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ）. A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【详解】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 3．（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据象限内的点的坐标特征得到三角不等式组，结合三角函数在各象限的符号即得. 【详解】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 4．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在直线上，则 . 【答案】0 【分析】分角的终边位于第二象限和第四象限两种情况，结合三角函数的正负化简求值. 【详解】由题意得角的终边位于第二或第四象限. 当角的终边位于第二象限时，； 当角的终边位于第四象限时，. 所以. 故答案为：0 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且有意义． (1)试判断角所在的象限； (2)若角的终边上一点，且(O为坐标原点)，求的值及的值． 【答案】(1)第四象限角 (2)， 【分析】（1）由式子有意义得到，，从而判断所在的象限即可； （2）由三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）由，所以， 由有意义，可知，所以是第四象限角． （2）)因为，所以， 得，又为第四象限角，故，从而， . 【考点3：三角函数线及其应用】 【知识点：三角函数线及其应用】 三角 函数 正弦 余弦 正切 三 角 函 数 线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 1．（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则. 【答案】证明见解析 【分析】通过三角函数线可得：，，，则只需比较，，的大小，转换为面积，即可得到大小关系，得证. 【详解】证明：如图，由三角函数线得：，，，    ∵， ∴， ∴，即. 2．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合结论若，则，证明，由此可得，再证明，由此可得结论. 【详解】若，则，且， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 故选：D． 3．（2024·全国·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，.    如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 【考点4：同角三角函数的基本关系】 【知识点：同角三角函数的基本关系】 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝. 1．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）是三角形的一个内角，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系，列出方程组求解即可. 【详解】由解得或（舍去，是三角形的一个内角）． 故． 故选：A． 2．（2024高三·全国·专题练习）若角α的终边不在坐标轴上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用同角三角函数关系式构造方程组计算即可. 【详解】或.的终边不在坐标轴上，，，. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，可求得，进而可求的值. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 又， 则，故. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知是第一象限角，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据即可代入化简求解. 【详解】因为，所以. 又是第一象限角，故原式. 故选：A 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解. 【详解】易知， 故. 故选：B 7．（2024高三·全国·专题练习）若，则 . 【答案】4 【分析】利用平方关系以及商数关系，计算可得结果. 【详解】因为，两边同时平方得， 即，所以， 因此. 故答案为：4 8．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则 . 【答案】 【分析】由已知可求得，进而可求得的值，确定的正负可求值. 【详解】由，得， . 因为，所以， 故. 故答案为：. 9．（多选）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 10．（多选）（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将等式两边平方后化简得的值，从而知道取值范围，由的值算出的值，求得的值，联立方程组求得，，的值，即可得出答案. 【详解】∵，∴， ∴，∵，，∴，∴，A选项正确； ∵，∴， 又∵，，∴，D选项错误； ∴，，B选项正确； ，C选项错误； 故选：AB. 【考点5：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 【知识点：同角三角函数基本关系式的应用技巧】 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 1．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】用齐次式思想，将所求分式的分子分母同时除以，得到关于的分式，将的值代入求解. 【详解】 故答案为：. 2．（24-25高一上·天津东丽·阶段练习）已知 ， 则 . 【答案】/ 【分析】先由将所求原式变形，再弦化切即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点A在角θ的终边上， 所以， 于是， 故选：D 4．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数，其中为第三象限角，且 (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简，根据为第三象限角得到，再将弦化切，代入计算可得. （2）根据同角三角函数关系化简原式为，代入数据计算得到答案. 【详解】（1）因为 ， 又为第三象限角，，所以， 所以. （2） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$