精品解析：2024-2025学年苏科版数学九年级上册 期末重难点真题检测卷

期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共9小题） 1. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x2﹣5x＝0 B. x+1＝0 C. y﹣2x＝0 D. 2x3﹣2＝0 3. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86分，方差如下表，你认为派谁去参赛更合适（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 1.5 2.6 3.5 3.68 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知是一元二次方程一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 6. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是直径，点，在上，若，，则的长为（ ） A. B. 20 C. D. 8. 如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题） 10. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 11. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为，则两人成绩比较稳定的是________． 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则常数的值为______． 13. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______． 14. 已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是____． 15. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度． 16. 如图，△ABC为⊙O内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=_____． 17. 如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为____________． 三．解答题（共9小题） 18. 解下列方程： （1）（配方法） （2） 19. 在一个不透明的袋子里，装有个红球、个黑球、个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中任意摸出一个球为红球概率． （2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 21. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 22. 如图，是的直径，弦于点E，连接，若，． （1）求的长度； （2）求的长度． 23. 如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 24. 近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题，国内互联网公司也推出了自己的聊天机器人：百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，89，87，88，86； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 87 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 25. 如图，以的边为直径作交边于点，恰有． （1）求证：与相切； （2）在上取点，使得． ①求证：； ②若，，求阴影部分的面积． 26. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共9小题） 1. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、根据概率公式求概率，由一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式得出且，从而得出的取值可以是，，最后再由概率公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 的取值可以是，， 使一元二次方程有实数根的概率， 故选：D． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x2﹣5x＝0 B. x+1＝0 C. y﹣2x＝0 D. 2x3﹣2＝0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、是一元二次方程，故A正确； B、是一元一次方程，故B错误； C、是二元一次方程，故C错误； D、是一元三次方程，故D错误； 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86分，方差如下表，你认为派谁去参赛更合适（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 1.5 2.6 3.5 3.68 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义即可得． 【详解】方差越小，表示成绩波动性越小、越稳定 观察表格可知，甲的方差最小，则派甲去参赛更合适 故选：A． 【点睛】本题考查了方差的意义，掌握理解方差的意义是解题关键． 4. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】可利用一元二次方程根与系数关系求解即可． 【详解】解：设一元二次方程另一个根为x， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，． 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：A 6. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 7. 如图，是的直径，点，在上，若，，则的长为（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据同弧所对圆周角相等，可得，由直径所对的圆周角是直角，可得，进而得到是等腰直角三角形，即可求解， 本题考查了圆周角定理推论，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 8. 如图，已知是的直径，弦，垂足为E，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以勾股定理的应用，连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，即， ， ， 故选：C． 9. 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为（已标注在图中），则可以列出关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解， 【详解】解∶ 设与墙垂直的一边长为则与墙平行的一边长为 根据题意得： 即． 故选A． 二．填空题（共8小题） 10. 如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，把黑色方砖的面积除以总面积，即可作答． 【详解】解：∵总面积为15块方砖的面积，且每个其中方砖的面积是相等的，黑色方砖有5块， ∴小球停在黑色方砖的概率为， 故答案为： 11. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为，则两人成绩比较稳定的是________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差与稳定性．熟练掌握方差越小越稳定是解题的关键． 根据方差越小越稳定判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴甲的成绩更稳定， 故答案为：甲． 12. 若是关于的一元二次方程的一个解，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．首先将代入方程，获得关于的一元二次方程并求解，再结合一元二次方程的定义易得，易得，即可获得答案． 【详解】解：将代入方程， 可得， 整理可得， 解得，， 又∵根据一元二次方程的定义，可得， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 13. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______． 【答案】4.86（1+x）2=6 【解析】 【分析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6， 故答案为：4.86（1+x）2=6． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． 14. 已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据，，得出，以及实数m，n满足，，即可将整理为，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，最后根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， ∵实数m，n满足，，且， ∴m、n可看作关于x的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随x的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：3． 15. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为___度． 【答案】144 【解析】 【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，继而求出∠AOC的度数． 【详解】解：正五边形每个内角：180°－360°÷5＝108°， ∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝(5－2)×180°－90°×2－108°×2＝144°． 【点睛】本题主要考查了五边形的内角和的计算，切线的性质，解决此题的关键是正确的计算． 16. 如图，△ABC为⊙O内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论. 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查了三角形中位线判定和性质，圆的垂径定理.熟记相关定理是解题的关键. 17. 如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 18. 解下列方程： （1）（配方法） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 小问1详解】 解： ∴ 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 则或， 解得，． 19. 在一个不透明的袋子里，装有个红球、个黑球、个白球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率． （2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据红球可能出现的结果数所有可能出现的结果数即可得出答案； （2）设取走个红球，则放入白球的数量为，再根据概率公式即可． 【小问1详解】 任意摸出一个球为红球的概率：， 【小问2详解】 设取走个红球， 依题意得：，解得：， 答：取走了个红球． 【点睛】此题考查了简单随机事件的概率，解题关键是牢记概率公式，即事件发生的概率为事件包含的结果数除以总的结果数． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 证明：， ∵ ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴， ∴． 21. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元． （1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每件玩具应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键． （1）根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件”结合玩具降价x元和原利润即可求解． （2）根据总利润等于每件利润乘以数量即可列出方程． 【小问1详解】 解：每件玩具降价x元， 每件玩具的利润为元，销量为件． 故答案为：；． 【小问2详解】 （2）依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ． 答：每件玩具应降价元． 22. 如图，是的直径，弦于点E，连接，若，． （1）求的长度； （2）求的长度． 【答案】（1）4 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． （）根据垂径定理即可求解； （）根据勾股定理即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得，． 23. 如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线； （2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵为的直径， ∴，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24. 近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题，国内互联网公司也推出了自己的聊天机器人：百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，89，87，88，86； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 87 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析（答案不唯一） （3）69人 【解析】 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 故答案为：15，，98； 【小问2详解】 解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为比款的中位数87高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意大约共有69人． 【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 25. 如图，以的边为直径作交边于点，恰有． （1）求证：与相切； （2）在上取点，使得． ①求证：； ②若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】1）根据圆周角定理得到，得到，根据切线的判定定理证明； （2）①根据圆周角定理得到，进而得到，证明； ②连接，证明为等边三角形，求出，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴与相切； 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、扇形面积计算、垂径定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 26. 在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，同理可得：，然后根据即可证明结论． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ 同理： ∵ ∴,即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形外角等知识点，理解圆周角定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$