七年级数学上册期末复习压轴题12个必考点（84题）（必考点分类集训）（人教版2024）-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

七上数学期末复习压轴题12个必考点（84题） 【人教版2024】 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 2 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 3 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 4 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 6 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 8 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 11 【考点8 角的旋转压轴题】 13 【考点9 新定义问题】 17 【考点10 日历与幻方问题】 18 【考点11 数字规律问题】 20 【考点12 图形规律问题】 22 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝（　　） A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c 4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|的最大值等于 　 　． 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4m cm B．4n cm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm 2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的差（　　） A．与正方形A的边长有关 B．与正方形B的边长有关 C．与正方形C的边长有关 D．与A，B，C的边长均无关 3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，则A的值是（　　） A．﹣4 B．2 C．6 D．10 4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，则m+n等于（　　） A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8 5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（　　） A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15 6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则它们的和等于 　 　． 7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2x+3的值是 　 ． 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）+1的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能确定 2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程的解，n满足关系式|m+n|＝2，则mn的值是 　 　． 4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程1，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝　 　． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程有无数解，则2a+3b的值为 　 　． 6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，则关于z的方程az＝b的解为 　 　． 7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值； （2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程： ①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③；④．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元． 年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元． 年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元． 若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 　 　立方米． 3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同． 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）． （1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 　 　元． 4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本） （1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？ （2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？ （3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？ 5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案： 方案一：全部直接销售； 方案二：全部进行粗加工； 方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售； 方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成． 请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？ 6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？ 7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% （1）以上表格中m，n的值分别为 　 　，　 　； （2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动： 顾客一次性购商品 数量 优惠措施 甲种 不超过15件 不优惠 超过15件 全部按售价8.5折 乙种 不超过15 不优惠 超过15件但不超过25件 全部按售价8.8折 超过25件 全部按售价8折 小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案． 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定 2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝　 　． 3．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”． （1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段 　 　上（填“OM”或“ON”）； （2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为 　 　． 4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　 　． 5．（2023秋•随县期末）如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且．图中共有 　 　条线段；若P为直线AB上一点，且，则的值为 　 　． 6．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝　 　cm． （2）当A′B′＝10cm时，MN＝　 　cm． 7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2：3：5，BN的值可能为 　 　． 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点． （1）若BC＝2OA． ①则点B表示的数是 　 　，点C表示的数是 　 　； ②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度． （2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段QR的左端点与点P重叠止，共用时秒，请直接写出C点表示的数． 2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段AB的中点． 知识准备： 因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA＝b+（﹣a）＝b﹣a． 因为点C是线段AB的中点，则． 那么点C表示的数： ①当点C在原点右侧时，如图1，则，点C表示的数为． ②当点C在原点左侧时，如图2，则，点C表示的数为． 综上，点C表示的数为． 知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3． （1）点C表示的数为 　 　； （2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点，DE＝4，求线段MN的长度； （3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝　 　． 3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0． （1）直接写出m的值是 　 　，n的值是 　 　，线段AB的长度是 　 　； （2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段PQ的长； ②直接写出线段PQ运动的速度为 　 　个单位长度/秒； ③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB＝4时，求t的值． 4．（2023秋•鄂州期末）情境背景 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA． 特例初探 （1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是 　 　，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为 　 　． 能力提升 （2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度． ①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数； ②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在运动到点O的过程中，PQ﹣OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 5．（2024•济南模拟）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　； （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB． （1）在图1的数轴上，AC＝ 　 　个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ 　 　cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　 　cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 　 　个长度单位； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值． 7．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）求a（b﹣c）的值； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？ （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 　 　． 2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在9时到10时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时 　 　分．（要求取准确值） 3．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为 　 　°． 4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 　 　． 5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝2∠AOB，则∠COD的度数为 　 　．（结果在0°∼180°之间） 6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余． （1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时： ①若∠BOC＝60°，则α＝　 　°． ②若，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用含α的式子表示）． （2）直接写出∠COD所有可能的度数：　 （可用含α的式子表示）． 7．（2023秋•江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线． （1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　°； （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线． ①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　°； ②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数． 【考点8 角的旋转压轴题】 1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． （1）如图1，求∠COD的值； （2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小； （3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值 　 　． 2．（2023秋•江岸区期末）若∠A+2∠B＝90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1＝10°，∠2＝40°，则∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”． （1）如图1，已知∠AOB＝60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，此时∠AOC＝　 　．（直接填写答案） （2）如图2，已知∠AOB＝60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小． （3）如图3，若∠AOB＝10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕点O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t秒（0＜t≤20）． ①当0＜t＜17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值． ②当17＜t≤20时，t＝　 　时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）． 3．（2023秋•东西湖区期末）已知∠AOB＝40°． （1）如图1，OC在∠AOB的内部，且，则∠BOC＝　 　； （2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值； （3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°且不超过180°）． 4．（2023秋•云梦县期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝20°．（本题中研究的角的度数均小于180°） （1）如图1，求∠AOD+∠COB的大小； （2）如图2，OM平分∠COB，ON平分∠AOD，求∠NOM的大小． （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC、OD同时绕点O旋转，其中射线OC先以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；射线OD始终以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OC、OD运动的时间是t秒（0＜t≤15），当∠COD＝80°时，直接写出t的值． 5．（2023秋•咸安区期末）如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． （1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 　 　；此时∠DOB﹣∠MOC＝　 　度；（直接写答案）（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） （3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，∠BOC＝15°； ②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 6．（2023秋•广水市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）． （1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为　 　度； （2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值． 7．（2023秋•海珠区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度数． （2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值． ②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常数），求m+n的值． 【考点9 新定义问题】 1．（2023秋•襄城区期末）探究规律，完成相关题目．王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝﹣6；（﹣3）※（﹣4）＝﹣7；（﹣2）※（+3）＝+5；（+5）※（﹣6）＝+11；0※（+9）＝﹣9：（﹣7）※0＝+7．请你按照王老师定义的运算法则计算（﹣2023）※（+2024）的结果为（　　） A．﹣4047 B．0 C．1 D．4047 2．（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为3n+5； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…，若n＝9，则第2023次经F运算的结果是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2023秋•瑶海区期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝3，32＝9，9不大于2024，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得第二次“传输”后可4×2＝8，8﹣1＝7，……，若输入x＝1，那么经过（　　）次“传输”后可以输出结果，结束程序． A．11 B．12 C．21 D．23 4．（2023秋•洪山区期末）定义：我们称使等式b2＝4ac成立的有理数a，b，c为“唯一根数组”，记作【a，b，c】．例如：由于22＝43，因此【，2，3】是“唯一根数组”．若【5k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”，则2k﹣k2+1的值为　 　． 5．（2023秋•郧阳区期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数x满足max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+8，则x的值是 　 　． 6．（2023秋•越秀区期末）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，an为an﹣1的差倒数，则a2＝　　；若a1+a2+⋯+an＝55，则n＝　 　． 7．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 【考点10 日历与幻方问题】 1．（2023秋•武昌区期末）如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（　　） A．35 B．63 C．99 D．119 2．（2023秋•随县期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x﹣y的值是（　　） ﹣1 x 2 ﹣2 y A．0 B．﹣3 C．3 D．4 3．（2023秋•岱岳区期末）现有一个50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数的和有可能是（　　） A．98 B．210 C．314 D．386 4．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2023秋•南沙区期末）如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（　　） A．一 B．二 C．三 D．四 6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 　 　． 7．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，﹣2，﹣3，3，4，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　 　． 【考点11 数字规律问题】 1．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+nn（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝？观察几个特殊的等式：1×2（1×2×3﹣0×1×2），2×3（2×3×4﹣1×2×3），3×4（3×4×5﹣2×3×4），将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×43×4×5＝20．读完这段材料，请你思考后计算：1×2+2×3+3×4+…+50×51的值是（　　） A．41650 B．44200 C．46852 D．49608 2．（2023秋•来凤县期末）正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（　　） A．284 B．296 C．303 D．304 3．（2024秋•黔东南州期末）为了求1+2+22+23+…+220的值，可令S＝1+2+22+23+…+220，则2S＝2+22+23+24+…+221，因此2S﹣S＝221﹣1，所以1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52024＝（　　） A．52024 B．52023﹣1 C． D． 4．（2023秋•无为市期末）观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（　　） A．9999 B．10001 C．20199 D．20001 5．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计算：　 　． 6．（2023秋•广水市期末）将数字1个1，2个，3个，4个，…n个（n为正整数）按顺序排成一排：1，，，，，，，，，，，，，记a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…S1＝a1，S1＝a1+a2，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S1000﹣S1008＝　 　． 7．（2023秋•江陵县期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）若n＝7时，则S的值为 　 　． （2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝　 　． （3）根据上题的规律计算102+104+106+…+2020的值（要有过程）． 【考点12 图形规律问题】 1．（2023秋•黄冈期末）如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第59个图形五角星的个数为（　　） A．3600 B．3500 C．3599 D．3499 2．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（　　） A．63 B．84 C．108 D．152 3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（　　） A．90 B．96 C．150 D．156 4．（2023秋•曾都区期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的p＝101，则q的值为（　　） A．2500 B．﹣2500 C．2601 D．﹣2601 5．（2023秋•惠东县期末）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生为9班学生，下面表示6班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•海珠区期末）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第n个图形中有　 　个小圆圈． 7．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈 　 　个；共有小圆圈 　 　个． ②1+2+3+⋯+n＝　 　 数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第n﹣1行的第1个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 　 　； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝　 　； ⑤12+22+32+⋯+n2＝　 　． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为 　 　． ⑦求212+222+232+…+302的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七上数学期末复习压轴题12个必考点（84题） 【人教版2024】 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 5 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 8 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 13 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 19 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 26 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 37 【考点8 角的旋转压轴题】 46 【考点9 新定义问题】 62 【考点10 日历与幻方问题】 67 【考点11 数字规律问题】 72 【考点12 图形规律问题】 76 【考点1 与绝对值有关的压轴题】 1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0， ∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1， 故选：D． 2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可． 【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0， ∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0， ∴abc＞0或abc＜0，选项①错误； b+c＞0或b+c＜0，选项②错误； |a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确； |a﹣c|＞|a|，选项④错误， 其中一定成立的结论个数为1． 故选：A． 3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝（　　） A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c 【分析】首先根据有理数a，b，c在数轴上的对应位置可以得到﹣1＜c＜0＜a＜b，然后就分别可以得到1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，最后利用绝对值的性质即可化简． 【解答】解：依题意得 ﹣1＜c＜0＜a＜b， ∴1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0， ∴|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝1﹣2c﹣（c﹣2a）﹣2（a﹣2b）＝1﹣2c﹣c+2a﹣2a+4b＝1﹣3c+4b． 故选：C． 4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（　　） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案． 【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离， |a﹣3|表示a到3点的距离， 因为﹣5到3点的距离为8， 故﹣5到3之间的所有点均满足条件， 又由a为整数， 故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个， 故选：D． 5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据绝对值的性质，得出c＝0或a+b＝0，逐个判断出正确错误即可． 【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c， ∴a+b+c＝a+b﹣c或﹣a﹣b﹣c＝a+b﹣c， ∴c＝0或a+b＝0， ∴（a+b）c＝0 故①不正确，②正确， 当a，b互为相反数时， ∵|a+b+c|＝a+b﹣c＝﹣c， ∴c≤0， ∴③正确， 当c≠0时，a+b＝0，c≤0， |a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝|c﹣2|﹣|5﹣c|＝2﹣c﹣5+c＝﹣3， 故④正确， 故选：C． 6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为（　　） A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24 【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案． 【解答】解：∵abc＜0， ∴a、b、c中一负两正或三负， ∵a+b+c＝0， ∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正， ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 当a、b为正，c为负时， ＝1+2+3 ＝6； 当a、c为正，b为负时， ＝1﹣2﹣3 ＝﹣4； 当b、c为正，a为负时， ＝﹣1+2﹣3 ＝﹣2； 则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24， 故选：A． 7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|的最大值等于 　 　． 【分析】分x≤﹣3，﹣3＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，然后比较作答． 【解答】解：当x≤﹣3时，|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣（3+x）+（x﹣2）＝﹣3﹣2＝﹣5． 当﹣3＜x≤2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3+（x﹣2）＝2x+1，当x＝2时，有最大值5， 当x＞2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5． 综上，|x+3|﹣|x﹣2|的最大值为5， 故答案为：5． 【考点2 与整式的加减有关的压轴题】 1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4m cm B．4n cm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm 【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）， L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b）， ∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b）， 又∵a+2b＝m， ∴4m+4n﹣4（a+2b）， ＝4n． 故选：B． 2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的差（　　） A．与正方形A的边长有关 B．与正方形B的边长有关 C．与正方形C的边长有关 D．与A，B，C的边长均无关 【分析】认真读懂题意，根据题意列代数式，化简整理代数式，判断正误． 【解答】解：设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，大矩形的面积为d， 根据题意得：m＝a+b+（a﹣b）+（d﹣b﹣c）+c+c+（d﹣c）+（d﹣a）＝a+3d﹣b， n＝（d﹣b+b）×2+（d﹣b﹣c+c）×2＝4d﹣2b， ∴m﹣n＝a+3d﹣b﹣（4d﹣2b）＝a+b﹣d＝0， ∴m与n的差和正方形A，B，C的边长无关． 故选：D． 3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，则A的值是（　　） A．﹣4 B．2 C．6 D．10 【分析】计算A﹣2B后根据题意求得它的值，再由B＝5即可求得A的值． 【解答】解：A﹣2B ＝2x2+3xy﹣2x﹣2（x2+xy+y） ＝2x2+3xy﹣2x﹣2x2﹣2xy﹣2y ＝xy﹣2x﹣2y ＝（y﹣2）x﹣2y， ∵A﹣2B的值与x的取值无关， ∴y﹣2＝0， ∴y＝2， ∴A﹣2B＝0﹣4＝﹣4， ∵B＝5， ∴A﹣10＝﹣4， ∴A＝6， 故选：C． 4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，则m+n等于（　　） A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8 【分析】直接去括号、合并同类项，进而得出3﹣n＝0，m+5＝0，进而得出答案． 【解答】解：（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3） ＝3x2﹣my+9﹣nx2﹣5y+3 ＝（3﹣n）x2﹣（m+5）y+12， ∵多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12， ∴3﹣n＝0，m+5＝0， 解得：n＝3，m＝﹣5， ∴m+n＝﹣5+3＝﹣2． 故选：B． 5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（　　） A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15 【分析】几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．由4x2﹣6xy＝﹣6知2x2﹣3xy＝﹣3，结合3y2﹣2xy＝12知（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，去括号、合并同类项即可． 【解答】解：∵4x2﹣6xy＝﹣6， ∴2x2﹣3xy＝﹣3， 又∵3y2﹣2xy＝12， ∴（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15， ∴2x2﹣3xy﹣3y2+2xy＝﹣15，即2x2﹣xy﹣3y2＝﹣15， 故选：D． 6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则它们的和等于 　 　． 【分析】先计算两个多项式的差，得出x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，根据题意得出8+（3m+1）＝0，即可求出m的值，从而求出这两个多项式的和． 【解答】解：由题意得， （2x3﹣8x2+mx﹣1）﹣[x3+（3m+1）x2﹣5x+7] ＝2x3﹣8x2+mx﹣1﹣x3﹣（3m+1）2+5x﹣7 ＝x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8， ∵多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项， ∴8+（3m+1）＝0， 解得m＝﹣3， ∴多项式2x3﹣8x2+mx﹣1为2x3﹣8x2﹣3x﹣1，多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7为x3﹣8x2﹣5x+7， ∴2x3﹣8x2﹣3x﹣1+x3﹣8x2﹣5x+7 ＝3x3﹣16x2﹣8x+6， 故答案为：3x3﹣16x2﹣8x+6． 7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2x+3的值是 　 ． 【分析】把A与B代入3A﹣B＝﹣2中，去括号合并求出2x2﹣3x的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9， ∴3A﹣B＝3（x2+xy﹣2x﹣3）﹣（﹣x2+3xy﹣9）＝3x2+3xy﹣6x﹣9+x2﹣3xy+9＝4x2﹣6x＝﹣2， 即2x2﹣3x＝﹣1， 则原式（2x2﹣3x）+33＝2， 故答案为：2． 【考点3 与一元一次方程的解有关的压轴题】 1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）+1的解为（　　） A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能确定 【分析】令y﹣2＝x，根据的解为x＝﹣3，即可求解． 【解答】解：令y﹣2＝x，则变形为， ∵关于x的方程的解为x＝﹣3， ∴y﹣2＝﹣3， 解得y＝﹣1， 故选：A． 2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　） A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案． 【解答】解：， 去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6， 去括号，得6x﹣2+ax＝2x﹣6， 移项、合并同类项，得（4+a）x＝﹣4， 将系数化为1，得， ∵是非负整数解， ∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4， ∴a＝﹣5或﹣6，﹣8时，x的解都是非负整数， 则﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19， 故选：D． 3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程的解，n满足关系式|m+n|＝2，则mn的值是 　 　． 【分析】把x＝3代入方程即可求出m的值，再将m的值代入|m+n|＝2中即可求出n的值，从而求出mn的值． 【解答】解：∵x＝3是关于x的方程的解， ∴， ∴2+m＝1， 解得m＝﹣1， ∵|m+n|＝2， ∴|﹣1+n|＝2， 解得n＝﹣1或3， ∴mn＝1或﹣3， 故答案为：1或﹣3． 4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程1，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝　 　． 【分析】把x＝1代入方程1，得：1，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣4＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案． 【解答】解：把x＝1代入方程1，得： 1， 2（k+a）＝6﹣（2+bk）， 2k+2a＝6﹣2﹣bk， 2k+bk+2a﹣4＝0， （2+b）k+2a﹣4＝0， ∵无论k为何值，它的解总是1， ∴2+b＝0，2a﹣4＝0， 解得：b＝﹣2，a＝2． 则a+b＝0． 故答案为：0． 5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程有无数解，则2a+3b的值为 　 　． 【分析】先解方程得到（9+2a）x＝6b﹣4，再根据方程有无数解得到9+2a＝0，6b﹣4＝0，据此求出2a＝﹣9，3b＝2，然后代值计算即可． 【解答】解：， 去分母得：9x+2（ax+2）＝6b， 去括号得：9x+2ax+4＝6b， 移项得：9x+2ax＝6b﹣4， 合并同类项得：（9+2a）x＝6b﹣4， ∵关于x的方程有无数解， ∴关于x的方程（9+2a）x＝6b﹣4有无数解， ∴9+2a＝0，6b﹣4＝0， ∴2a＝﹣9，3b＝2， ∴2a+3b＝﹣9+2﹣＝﹣7， 故答案为：﹣7． 6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，则关于z的方程az＝b的解为 　 　． 【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果． 【解答】解：关于x的方程5+ax＝2a可以简化为：x， ∵关于x的方程5+ax＝2a有唯一解， ∴a≠0， ∵2+5y＝（b+5）y， ∴2+5y＝by+5y， ∴by＝2， ∴y， ∵关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解， ∴b＝0， 关于z的方程az＝b可以简化为：z， ∵a≠0，b＝0， ∴z＝0． 故答案为：z＝0． 7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值； （2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值． （2）根据条件建立关于n的方程，再求值． （3）先求k，再解方程． 【解答】解：（1）∵3x+m＝0， ∴． ∵4x﹣1＝x+8， ∴x＝3． ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”， ∴， ∴m＝6； （2）∵“集团方程”的两个解和为1， ∴另一个方程的解是1﹣n， ∵两个解的差是6，且n为较大的解， ∴n﹣（1﹣n）＝6， ∴． （3）∵， ∴x＝﹣2022． ∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”， ∴关于x的一元一次方程的解为：x＝1﹣（﹣2022）＝2023． ∵关于y的一元一次方程可化为：，令y+1＝x＝2023， ∴y＝2022． 【考点4 一元一次方程的实际应用压轴题】 1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程： ①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③；④．其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】根据题意可得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，由n不变可得出4m﹣2＝2m+58，由m不变可得出，此题得解． 【解答】解：根据题意得：n＝4m﹣2，n＝2m+58， ∴4m﹣2＝2m+58，， ∴方程①③正确． 故选：A． 2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下： 第一档天然气用量 第二档天然气用量 第三档天然气用量 年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元． 年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元． 年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元． 若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 　981　立方米． 【分析】根据“实际缴纳天然气费2463元”列方程求解． 【解答】解：当用天然气360立方米时，费用为：360×2＝720元， 当用天然气600立方米时，费用为：360×2+2.5×（600﹣360）＝1320元， ∵2463＞1320， ∴缴纳天然气费2463元，使用量大于600立方米， 设该户2023年使用天然气x立方米， 则：1320+3×（x﹣600）＝2463， 解得：x＝981， 故答案为：981． 3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额． 消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同． 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）． （1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ （2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示） （3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为 　2000　元． 【分析】（1）购买一件标价为1600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为1280元，优惠额为：1600﹣1280+100＝420（元）除以标价就是优惠率； （2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额； （3）设这名顾客第一次购买商品的标价为x元，两件商品的优惠额共为650元，然后就分情况：当1250＜x≤1875时；当x＞1875时；根据题意列出方程求解．注意解方程时要结合实际情况分析． 【解答】解：（1）标价为1600元的商品按80%的价格出售，消费金额为1280元， 消费金额1280元在1000﹣1500之间，返还金额为100元， 则顾客获得的优惠额是：1600﹣1280+100＝420（元）； （2）当1000＜0.8x≤1500时，（0.2x+100）元； 当0.8x＞1500时，（0.2x+150）元； （3）1500÷80%＝1875（元）， 当1250＜x≤1875时，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合题意； 当x＞1875时，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合． 故这名顾客第一次购买商品的标价为2000元． 故答案为：2000． 4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本） （1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？ （2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？ （3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？ 【分析】（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出第一次购进礼品盲盒的数量，再将其代入（70﹣x）中，即可求出第二次购进礼品盲盒的数量； （2）利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论； （3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒， 根据题意得：15x+12（70﹣x）＝960， 解得：x＝40， ∴70﹣x＝70﹣40＝30． 答：第一次购进礼品盲盒40盒，第二次购进礼品盲盒30盒； （2）根据题意得：20×40+20×0.8×30﹣960 ＝800+480﹣960 ＝320（元）． 答：按此计划该老板总共可以获得320元利润； （3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒， 根据题意得：20m+（40×0.75+40×0.5）•960＝710， 解得：m＝16． 答：按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒． 5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案： 方案一：全部直接销售； 方案二：全部进行粗加工； 方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售； 方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成． 请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？ 【分析】根据总利润＝单吨利润×销售质量即可求出方案一、二、三的利润，在方案四种，设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，根据每天可精加工6吨或粗加工16吨结合加工总天数为15天即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而得出140﹣x的值，再根据总利润＝精加工部分的利润+粗加工部分的利润求出方案四的利润，将四种方案获得的利润比较后即可得出结论． 【解答】解：方案一可获利润：140×1000＝140000（元）； 方案二可获利润：4500×140＝630000（元）； 方案三可获利润：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元）； 方案四：设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜， 根据题意得：15， 解得：x＝60， ∴140﹣x＝80． 此情况下利润为：60×7500+80×4500＝810000（元）， ∵140000＜630000＜725000＜810000， ∴企业选择方案四所获利润最多． 6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ （3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了，则B商品按标价售出多少件？ 【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同列出方程，解出可得结论； （2）设购买A种商品a件，根据所用资金5800元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的售价和进价可得总利润； （3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润＝（2）中的利润×（1）列出方程，可得结论． 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元， 由题意得2x＝3（x﹣40）， 解得：x＝120， 120﹣40＝80（元）． 答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元； （2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件， 由题意得120a+80（60﹣a）＝5800， 解得a＝25，60﹣a＝35． 120×20%×25+20×35＝1300（元）． 答：全部售完共可获利1300元； （3）设B商品按标价售出m件， 由题意得：120×20%×25+20m+（20﹣8）（35﹣m）＝1300×（1）， 解得m＝10． 答：B商品按标价售出10件． 7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表： 商品 进价（元/件） 售价（元/件） 利润率 甲种 40 60 n 乙种 50 m 50% （1）以上表格中m，n的值分别为 　75　，　50%　； （2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ （3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动： 顾客一次性购商品 数量 优惠措施 甲种 不超过15件 不优惠 超过15件 全部按售价8.5折 乙种 不超过15 不优惠 超过15件但不超过25件 全部按售价8.8折 超过25件 全部按售价8折 小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案． 【分析】（1）利用甲种商品的利润率100%，即可求出n的值，利用乙种商品的利润率100%，可列出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值； （2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，利用总利润＝每件甲种商品的销售利润×购进甲种商品的数量+每件乙种商品的销售利润×购进乙种商品的数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出购进乙种商品的数量，再将其代入（2x﹣10）中，即可求出购进甲种商品的数量； （3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件，分0＜y＜15，y＝15，15＜y＜25及y≥25四种情况考虑，利用总价＝单价×数量，结合总价为2280元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：n100%＝50%； 100%＝50%， 解得：m＝75． 故答案为：75，50%； （2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件， 根据题意得：（60﹣40）（2x﹣10）+（75﹣50）x＝3050， 解得：x＝50， ∴2x﹣10＝2×50﹣10＝90（件）． 答：购进甲种商品90件，乙种商品50件； （3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件． 当0＜y＜15时，60y+75×0.8（40﹣y）＝2400≠2280，不符合题意，舍去； 当y＝15时，60×15+75×0.88×（40﹣15）＝2550≠2280，不符合题意，舍去； 当15＜y＜25时，60×0.85y+75×0.88（40﹣y）＝2280， 解得：y＝24， ∴40﹣y＝40﹣24＝16（件）； 当y≥25时，60×0.85y+75（40﹣y）＝2280， 解得：y＝30， ∴40﹣y＝40﹣30＝10（件）， ∴小华的爸爸共有2种购买方案， 方案1：购买甲种商品24件，乙种商品16件； 方案2：购买甲种商品30件，乙种商品10件． 【考点5 与线段有关的计算压轴题】 1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定 【分析】设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm，根据线段中点的定义得到CMACcm，则MN＝CM﹣CN＝（x）cm，再由4MN﹣NB＝40cm得到（k﹣2）x＝0，据此可得答案． 【解答】解：∵BN＝kCN， ∴BC＝（k+1）CN， 设CN＝x cm，则BC＝（k+1）x cm，BN＝k x cm， ∴AC＝AB+BC＝[20+（k+1）x]cm， ∵点M为线段AC的中点， ∴CMACcm， ∴MN＝CM﹣CN＝（x）cm， ∵4MN﹣NB＝40cm， ∴4×（x）﹣kx＝40， ∴40+2（k+1）x﹣4x﹣kx＝40， ∴（2k﹣2﹣k）x＝0， ∴（k﹣2）x＝0， ∵x≠0， ∴k﹣2＝0， ∴k＝2， 故选A． 2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝　或13　． 【分析】分两种情况讨论：当点C是线段AB靠近A的三等分点时和当点C是线段AB靠近B的三等分点时，分别求出即可． 【解答】解：当点C是线段AB靠近A的三等分点时， 设AC＝x，则AB＝3x，BC＝2x， ∵D、E分别为AB、BC中点， ∴AD＝DB＝1.5x，BE＝CE＝x， ∴CD＝AD﹣AC＝0.5x，DE＝DB﹣BE＝1.5x﹣x＝0.5x， ∵直线l上所有线段的长度之和为91， ∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB ＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB ＝4AB+2CE ＝4×3x+2x ＝14x ＝91， ∴x， ∴AC； 当点C是线段AB靠近B的三等分点时， 设BE＝x， ∵D、E分别为AB、BC中点， ∴BE＝CE＝x，BC＝2x，AC＝4x，AB＝6x，AD＝BD＝3x，CD＝DB﹣BC＝x， ∵直线l上所有线段的长度之和为91， ∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB ＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB ＝4AB+2DE ＝4×6x+4x ＝28x ＝91， ∴x， ∴AC＝13． 所以AC或13． 故答案为：或13． 3．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”． （1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段 　 　上（填“OM”或“ON”）； （2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为 　 　． 【分析】（1）先根据已知条件，求出OM+ON的值，然后根据已知条件中的定义进行解答即可； （2）根据已知条件中的新定义可知OM+OP＝ON﹣OP，然后把已知条件中的线段代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵OM＝10，ON＝6， ∴OM+ON＝16， ∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”， ∴， ∴点P在线段OM上， 故答案为：OM； （2）当点P在OM上时， ∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3， ∴OM+OP＝ON﹣OP， OM+3＝8﹣3， OM+3＝5， OM＝2； 当点P在ON上时， ∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3， ∴OM﹣OP＝OP+ON， OM﹣3＝8+3， OM﹣3＝11， OM＝14； 故答案为：2或14． 4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为 　 　． 【分析】由于没有图形，故A，B，C，D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可． 【解答】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图： ∵AB＝8，BC＝3，CD＝5， ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6， II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16， III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，点A、D重合，不合题意， IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图： ∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，点A、D重合，不合题意， 综上所述：AD的长为6或10或16 故答案为：6或10或16． 5．（2023秋•随县期末）如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且．图中共有 　 　条线段；若P为直线AB上一点，且，则的值为 　 　． 【分析】先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答，分点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【解答】解：图中的线段有：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6条线段， 故答案为：6； ∵点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且， ∴， ∵， ∴点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线， 如图：当点P在AB的延长线上时，则AP＝AB+BP＝a+BP， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 如图：当点P在BA的延长线上时，则BP＝AB+AP＝a+AP， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 6．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝　 　cm． （2）当A′B′＝10cm时，MN＝　 　cm． 【分析】（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，根据当点A′与点B′恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时． 【解答】解：（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N， ∴当点A′与点B′恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点A′落在点B′的左侧时，如图， ∵AM+A′M+A′B′+B′N+BN＝40cm，A′B′＝10cm， ∴AA′+BB′＝30cm， 由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N， ∴A′M+B′N＝15cm， ∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝25cm． 当点A′落在点B′的右侧时，如图， ∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝40+10＝50（cm）， ∴， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝40﹣25＝15（cm）． 故答案为：25或15． 7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2：3：5，BN的值可能为 　 　． 【分析】首先根据线段的比例设出线段的长，再分三种情况分别列出方程可得答案． 【解答】解：设绳子三段的长分别为2x cm、3x cm和5x cm，两个断点分别为F、E， 则2x+3x+5x＝100， 解得x＝10． ①如图， 若AF＝3x，FE＝5x，EB＝2x， 由题意得N为EF的中点， ∴NEEF＝2.5x， ∴BN＝2.5x+2x＝4.5x＝45（cm）； ②如图， 若AF＝5x，FE＝3x，EB＝2x， 由题意得N为EF的中点， ∴NEEF＝1.5x， ∴BN＝1.5x+2x＝3.5x＝35（cm）； ③如图， 若AF＝5x，FE＝2x，EB＝3x， 由题意得N为EF的中点， ∴NEEF＝x， ∴BN＝x+3x＝4x＝40（cm）． 故答案为：35cm或40cm或45cm． 【考点6 数轴、线段中的动点压轴题】 1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点． （1）若BC＝2OA． ①则点B表示的数是 　﹣2　，点C表示的数是 　﹣22　； ②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度． （2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段QR的左端点与点P重叠止，共用时秒，请直接写出C点表示的数． 【分析】（1）①根据题意求出点B点C即可； ②由点P点Q互为相反数，列出方程即可解答； （2）分两种情况列出相应的方程，解答即可； 【解答】解：（1）①∵A表示的数为10，AB＝12， ∴OB＝2， ∴点B表示的数是﹣2， ∵BC＝2OA＝20， ∴C表示的数是﹣22． 故答案为：﹣2，﹣22； ②设点P运动速度为t，则点Q运动速度为2t﹣3， 由题得，﹣22+3（2t﹣3）+10+3t＝0， 解得，t， 故点P的速度为； （2）设点C表示的数为x， 当点C在点B左侧时， 由题得，x+2+310， 解得，x； 当点C在点B右侧时， 由题得，﹣2﹣x+310， 解得，x＝﹣1． 故点C表示的数为或﹣1． 2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段AB的中点． 知识准备： 因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA＝b+（﹣a）＝b﹣a． 因为点C是线段AB的中点，则． 那么点C表示的数： ①当点C在原点右侧时，如图1，则，点C表示的数为． ②当点C在原点左侧时，如图2，则，点C表示的数为． 综上，点C表示的数为． 知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3． （1）点C表示的数为 　1　； （2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点，DE＝4，求线段MN的长度； （3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝　2.4或4.8或6.9或12.9　． 【分析】（1）根据中点公式求解； （2）根据中点公式求解； （3）根据两点之间的距离求解． 【解答】解：（1）1， 故答案为：1； （2）设点D表示的数为a，则点E表示的数为：a+4， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴MN11， 答：线段MN的长度为11； （3）当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）＝9， 解得：t＝5.4， 当t＜5.4时，PQ＝6，即（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）||＝6， 解得：t＝2.4或t＝4.8， 设经过5.4秒后的时间为x， 则|（﹣6.2﹣3x）﹣（2.8﹣5x）|＝6， 解得：x＝1.5或x＝7.5， ∴x+5.4的值为：6.9或12.9， 故答案为：2.4或4.8或6.9或12.9． 3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0． （1）直接写出m的值是 　﹣17　，n的值是 　15　，线段AB的长度是 　32　； （2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒． ①求线段PQ的长； ②直接写出线段PQ运动的速度为 　2　个单位长度/秒； ③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB＝4时，求t的值． 【分析】（1）根据题意，可知m+17＝0，n﹣15＝0，即可算出m与n的值，线段AB用两点间的距离公式即可解出； （2）①设PQ的长度为x，根据题目，我们知道x+32＝2x，解这个方程得x＝32，所以PQ的长度是32； ②根据题目直接计算即可； ③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵|m+17|+（n﹣15）2＝0， ∴m＝﹣17，n＝15， ∴AB＝15﹣（﹣17）＝32， 故答案为：﹣17，15，32． （2）①设PQ的长度为m， 根据题意得：， 解得：m＝8， ∴线段PQ的长是8个单位长度； ②2； ③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论： （Ⅰ）当0≤t≤8时， 点C对应的数是﹣25+（2+1）t＝3t﹣25，点P对应的数是﹣25+2t， 点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15， ∴PC＝t，BQ＝32﹣2t， ∵4t﹣（32﹣2t）＝4， 解得：t＝6； （Ⅱ）当8＜t≤16时， 点C对应的数是﹣1+（2﹣1）（t﹣8）＝t﹣9，点P对应的数是﹣25+2t， 点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15， ∴PC＝16﹣t，BQ＝32﹣2t， ∵4PC﹣QB＝4， ∴4（16﹣t）﹣（32﹣2t）＝4， 解得：t＝14； （Ⅲ）当16＜t≤20时， 点C对应的数是7+（2+1）（t﹣16）＝3t﹣41，点P对应的数是﹣25+2t， 点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15， ∴PC＝t﹣16，BQ＝2t﹣32， ∵4PC﹣QB＝4， ∴4（t﹣16）﹣（2t﹣32）＝4， 解得：t＝18； 综上所述：t的值是6，14，18． 4．（2023秋•鄂州期末）情境背景 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA． 特例初探 （1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是 　45　，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为 　﹣21或51　． 能力提升 （2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度． ①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数； ②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在运动到点O的过程中，PQ﹣OM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 【分析】（1）根据两点间的距离公式求出点B表示的数，再分点C在点A的左侧或点C在点B的右侧两种情况，列方程即可求解； （2）①设运动时间为x秒，分若点P与点Q相遇前相距4个单位长度和若点P与点Q相遇后相距4个单位长度两种情况，根据题意列方程即可得到结果； ②设点M表示的数为y，根据PM：MQ＝1：3，得y＝30﹣6t，从而表示出PQ和OM，即可证明结论． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣15， ∴OA＝15， ∵AB＝4OA， ∴AB＝60， ∵点B在点A的右侧，点A表示的数为﹣15，AB＝60， ∴点B表示的数为﹣15+60＝45， 设点C表示的数为x， ∵AB＝60＜72， ∴点C在点A的左侧或在点B的右侧， 当点C在点A的左侧，得AC＝﹣15﹣x，BC＝45﹣x， ∵AC+BC＝72， ∴（﹣15﹣x）+（45﹣x）＝72， 解得x＝﹣21， ∴点C表示的数为﹣21； 当点C在点B的右侧时，得AC＝x+15，BC＝x﹣45， ∵AC+BC＝72， ∴（x+15）+（x﹣45）＝72， 解得x＝51； 综上所述，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为﹣21或51； 故答案为45，﹣21或51； （2）①设运动时间为x秒， 若点P与点Q相遇前相距4个单位长度， 依题意得，45﹣7x﹣（﹣15﹣3x）＝4， 解得x＝14， 则点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57； 若点P与点Q相遇后相距4个单位长度， 依题意得，﹣15﹣3x﹣（45﹣7x）＝4， 解得x＝16， 则点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63； 综上所述，若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；若点P与点Q相遇后相距4个单位长度，点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63； ②的值不发生变化，理由如下： 设点M表示的数为y， 依题意得，y﹣（﹣15﹣3t）＝3（45﹣7t﹣y）， 解得y＝30﹣6t， ∵PQ＝（45﹣7t）﹣（﹣15﹣3t）＝60﹣4t， ∴60， ∴的值不发生变化，值为60． 5．（2024•济南模拟）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　8﹣2t　； （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQAB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【分析】（1）根据题意直接可得t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t； （2）根据题意得﹣2+3t＝8﹣2t，即可解得t＝2，故当t为2秒时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）由PQAB得|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|10，即可解得t＝1或t＝3； （4）由点M为PA的中点，点N为PB的中点，可知M表示的数是2，N表示的数是3，即得MN＝3（2）＝5，故线段MN的长度为5，不发生变化． 【解答】解：（1）根据题意，t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， 故答案为：﹣2+3t，8﹣2t； （2）根据题意得：﹣2+3t＝8﹣2t， 解得t＝2， 此时﹣2+3×2＝4， ∴当t为2时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， ∴AB＝8﹣（﹣2）＝10， ∵PQAB， ∴|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|10， 解得t＝1或t＝3， ∴t为1或3时，PQAB； （4）线段MN的长度不发生变化，理由如下： ∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴M表示的数是2，N表示的数是3， ∴MN＝3（2）＝5， ∴线段MN的长度为5，不发生变化． 6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB． （1）在图1的数轴上，AC＝ 　10　个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝ 　6　cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 　0.6　cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 　　个长度单位； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值． 【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位； （2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得b的值，由于CQ＝2AB，可以列式求得点Q所表示的数； （3）根据AM﹣k•MN列出式子，AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，可求得k的值． 【解答】解：（1）AC＝|8﹣（﹣2）|＝10， 刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0cm， ∴在图2中刻度尺上，AC＝6cm， 6÷10＝0.6cm， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm， 1÷0.6， 刻度尺上的1cm对应数轴上的个单位长度， 故答案为：10，6，0.6，； （2）∵点B对齐刻度1.2cm， ∴数轴上点B所对应的数为b，b＝﹣2+1.2÷0.6＝0， ∵CQ＝2AB，AB＝|﹣2﹣0|＝2， 设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ＝|8﹣x|， ∴|8﹣x|＝4，解得：x＝4或x＝12， 点Q所表示的数为4或12， ∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12； （3）由题意得，点M追上点N前，即t＜4， AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BC+CN﹣BM）＝k（8+3t﹣5t）＝k（8﹣2t）， AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（8﹣2t）＝2﹣8k+（5+2k）t， ∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变， ∴5+2k＝0， 解得：k， 点M追上点N后，即t＞4， AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BM﹣CN﹣BC）＝k（5t﹣3t﹣8）＝k（2t﹣8）， AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（2t﹣8）＝2+8k+（5﹣2k）t， ∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变， ∴5﹣2k＝0， 解得：k， 7．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）求a（b﹣c）的值； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？ （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【分析】（1）根据题意可得a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2即可求解； （2）设经过t秒P．Q两点相距5，则BP＝t，AQ＝3t，然后分两种情况讨论：当点在点Q的左侧时和当点P在点Q的右侧时，即可求解； （3）设OP＝m，则AP＝3+m，再根据中点的定义，可得OE，OF，从而得到EF（m+1），即可求解． 【解答】解：（1）∵多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为e， ∴a＝3，b＝﹣8．c＝﹣2， ∴a（b﹣c） ＝3×（﹣8+2） ＝3×（﹣6） ＝﹣18； （2）设经过t秒P、Q两点相距5， 根据题意得：BP＝t，AQ＝3t， 当点在点Q的左侧，BP+PQ+AQ＝AB， 即t+5+3t＝3﹣（﹣8）， 解得：t＝1.5， 当点在点Q的右侧时，BP+AQ﹣PQ＝AB， 即t+3t﹣5＝3﹣（﹣8）， 解得：t＝4． 综上所述，经过1.5秒或4秒P、Q两点相距5； （3）设OP＝m， ∴AP＝3+m， ∵点E为OP的中点， ∴OE， ∵A对应的数为3，C对应的数为﹣2，AC的中点为F， ∴AF＝CFAC， ∴点F对应的数为：﹣2，OC＝2， ∴OF， ∴EF＝OE+OF（m+1）， ∴2， ∴的值是不变，为2． 【考点7 与角度有关的计算压轴题】 1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为 　 　． 【分析】时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，分三种情况：①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，分别解方程可得答案． 【解答】解：时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°， ①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°， 解得t； ②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°， 解得t； ③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°， 解得t； 综上所述，t的值为或或； 故答案为：或或． 2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在9时到10时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时 　 　分．（要求取准确值） 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°；分针每分钟转过的角是分，即×30°＝6°；九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°设九点x分，重合，则有0.5x+270＝6x，即可解答． 【解答】解：九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°， 设九点x分重合，则有： 0.5x+270＝6x． x＝49， 故答案为：49． 3．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为 　 　°． 【分析】根据射线OC是∠AOB的三等分线，则需要分∠AOC∠AOB以及∠AOC∠AOB，两种情况进行解决，每种情况都是6个锐角，然后设∠AOD的度数为x，分别表示这6个角，再求和列出方程求解即可解决． 【解答】解：①当∠AOC∠AOB时，如图①，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个． 设∠AOD＝x， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝5x， ∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+6x+x+5x+4x＝19x＝190°， ∴x＝10°， ∴∠AOB＝6x＝60°． ②当∠AOC∠AOB时，如图②，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共6个． 设∠AOD＝x， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝2x， ∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+3x+x+2x+x＝10x＝190°， ∴x＝19°， ∴∠AOB＝3x＝57°． 综合以上两种情况，∠AOB＝60°或57°． 故本题答案为60或57． 4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为 　 　． 【分析】分情况讨论：若∠AOD在∠AOB外部，则可分∠BOC在∠AOB外部和∠BOC在∠AOB内部两种情况；若∠BOC在∠AOB外部，同理可分∠BOC在∠AOB内部两种情况．分别画出对应图形，根据角的和差关系计算即可． 【解答】解：（1）当∠AOD在∠AOB外部时， ①如图，当∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD＝120°； ②如图，当∠BOC在∠AOB内部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°， ∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝100°． （2）当∠AOD在∠AOB内部时， ①如图，当∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝10°， ∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝20°； ②当∠BOC在∠AOB内部时， 此时，射线OC与OD重合，不合题意． 综上，∠COD＝120°或100°或20°． 故答案为：120°或100°或20°． 5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝2∠AOB，则∠COD的度数为 　 　．（结果在0°∼180°之间） 【分析】根据题意，分两种情况：（1）OC在直线OA的下方；（2）OC在OD、OB之间．根据垂直定义，周角定义，角的和差计算即可． 【解答】解：（1）如图，当OC在直线OA的下方时， ∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB， ∴∠AOC＝2×35°＝70°． ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°． ∵∠COD+∠BOD+∠AOB+∠AOC＝360°， ∴∠COD＝360°﹣35°﹣70°﹣90° ＝325°﹣70°﹣90° ＝255°﹣90° ＝165°； （2）如图，当OC在OD、OB之间时， ∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOB＝35°． ∵OD⊥OB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC ＝90°﹣35° ＝55°． 故答案为：165°或55°． 6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余． （1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时： ①若∠BOC＝60°，则α＝　 　°． ②若，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度数（用含α的式子表示）． （2）直接写出∠COD所有可能的度数：　 （可用含α的式子表示）． 【分析】（1）①由“兄弟角”的定义可得∠AOC＝120°﹣α，再根据角的和差可得∠AOB＝60°﹣α，然后得到方程60°﹣α＝α即可解答；②先说明∠AOD＝90°﹣α，，然后化成草图，再根据题意列方程求解即可； （2）由余角的定义可得∠AOD＝90°﹣α，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，然后根据角的和差即可解答． 【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB＝α（15°＜α＜45°）， ∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣α， ∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣α﹣60°＝60°﹣α， ∵∠AOB＝α（15°＜α＜45°）， ∴60°﹣α＝α， 解得：α＝30°． 故答案为：30． ②∵∠AOB与∠AOD互余， ∴∠AOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣α， ∵， ∴， 如图： ∴∠AOM＝∠AOE+∠EOM，∠AOC＝120°﹣α，， ∴，， ∵∠COM＝3∠AOM， ∴， 解得：． （2） ∵∠AOB与∠AOD互余，∠AOB＝α（15°＜α＜45°）， ∴∠AOD＝90°﹣α， 由（1）可得∠AOC＝120°﹣α， ∴当OD在OA上面时，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝30°， 当OD在OA下面时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°﹣α+120°﹣α＝210°﹣2α． 故答案为：30°或210°﹣2α． 7．（2023秋•江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线． （1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　40　°； （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线． ①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135　°； ②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数． 【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案； （2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； ③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA， ∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°， ∴∠AOP＝20°， ∴∠BOP＝40°， 故答案为：40； （2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）， ∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ， ∵∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°， ∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°， ∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°， 故答案为：135； ②不变， ∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB， ∴，， ∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，，，，，＝135°； ③设∠MOC＝α， ∵∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°﹣α， ∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线， ∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON， ∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°， ∴， ∴α＝67.5°， ∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°， ∴∠AOC＝90°． 【考点8 角的旋转压轴题】 1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的（本题出现的角均指不大于平角的角）． （1）如图1，求∠COD的值； （2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小； （3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值 　3.5或　． 【分析】（1）根据“∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的”列方程求解； （2）根据“∠MOC＝4∠MOB及角的平分线的性质”列方程求解； （3）根据“|∠BOC﹣∠BOD|＝50°”列方程求解． 【解答】解：（1）设∠COD＝x°，则∠AOB＝7x°， 则x（180﹣7x）， 解得：x＝20， ∴∠COD＝20°； （2）设∠MOB＝y°， 当OM在∠BOC内部时，有y+4y＝140﹣20， 解得：y＝24， 当OM在∠BOC外部时，有y+120＝4y或y﹣120＝4y， 解得：y＝40或y＝﹣40（不合题意，舍去）， ∴∠MOB＝24°或40°； （3）当OC转到与OB重合时需要的时间为：（140﹣30）÷30（秒）， 当0≤t时，∠BOC＝140°﹣30°﹣30°t＝110°﹣30°t，∠BOD＝140°﹣30°﹣20°﹣10°t＝90°﹣10°t， ∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°， ∴|（110°﹣30°t）﹣（90°﹣10°t）|＝50°， 解得：t＝3.5或t＝﹣1.5（不合题意，舍去）， 当t时，设又经过m秒，∠BOC＝5°m，∠BOD＝90°﹣10°（m）， ∵|∠BOC﹣∠BOD|＝50°， ∴|5°m﹣[90°﹣10°（m）]|＝50°， 解得：m或m， ∵t＝m， ∴t的值为：或（不合题意，舍去）， 故答案为：3.5或． 2．（2023秋•江岸区期末）若∠A+2∠B＝90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”．例如：若∠1＝10°，∠2＝40°，则∠2是∠1的“绝配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”． （1）如图1，已知∠AOB＝60°，在∠AOB内存在一条射线OC，使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，此时∠AOC＝　30°　．（直接填写答案） （2）如图2，已知∠AOB＝60°，若平面内存在射线OC、OD（OD在直线OB的上方），使得∠AOC是∠BOC的“绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求∠AOD大小． （3）如图3，若∠AOB＝10°，射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线OD绕点O从OB出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，运动时间为t秒（0＜t≤20）． ①当0＜t＜17时，∠AOB是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值． ②当17＜t≤20时，t＝　　时，∠AOB是∠MON的“绝配角”（直接填写答案）． 【分析】（1）根据“绝配角”的定义，∠AOC是∠BOC的“绝配角”，那么2∠AOC+∠BOC＝90°，把相关数值代入计算即可； （2）根据射线OC可能在∠AOB内部，射线OA上方，射线OB下方，分三种情况得到∠AOC的度数，然后根据∠BOC与∠BOD互补，得到∠BOD的度数，进而求得∠AOD大小； （3）∠AOB是∠MON的“绝配角”，那么2∠AOB+∠MON＝90°，已知∠AOB的度数，即可求得∠MON的度数； ①当0＜t＜17时，可分当OC未转够180°以及超过180°，而未到340°两种情况，根据∠MON的度数求解即可； ②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过180°，根据∠MON的度数求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”， ∴2∠AOC+∠BOC＝90°． 2∠AOC+（60°﹣∠AOC）＝90°， ∠AOC＝30°． （2）①射线OC在∠AOB内部． 由（1）得∠AOC＝30°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝60°﹣30°＝30°． ∵∠BOC与∠BOD互补， ∴∠BOD＝180°﹣30°＝150°， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝150°﹣60°＝90°． ②射线OC在射线OA上方． ∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”， ∴2∠AOC+∠BOC＝90°． 2∠AOC+（60°+∠AOC）＝90°， ∠AOC＝10°． ∵∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝60°+10°＝70°． ∵∠BOC与∠BOD互补， ∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°， ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝110°﹣60°＝50°． ③射线OC在射线OB下方． ∵∠AOB＝60°，∠AOC是∠BOC的“绝配角”， ∴2∠AOC+∠BOC＝90°． 2∠AOC+（∠AOC﹣60°）＝90°， ∴∠AOC＝50°． ∵∠AOC＜∠AOB， ∴OC在∠AOB的内部，不符合题意，舍去． 答：∠AOD大小是90°或50°． （3）∵∠AOB＝10°，∠AOB是∠MON的“绝配角”， ∴2∠AOB+∠MON＝90°， 20°+∠MON＝90°， ∠MON＝70°． ①Ⅰ、由题意得：∠AOC＝20t°，∠BOD＝10t°． ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠AOM＝10t°，∠BON＝5t°． 当OC未转够180°，即0＜t＜9时， 如图：∠AOM+∠AOB+∠BON＝70°． 10t+10+5t＝70， 15t＝60， t＝4． Ⅱ、当OC旋转超过180°，即9≤t＜17时． 由题意得：OC转了20t°，∠BOD＝10t°． ∴∠AOC＝（360﹣20t）° ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠AOM∠AOC＝（180﹣10t）°，∠BON＝5t°． 如图：∠AON﹣∠AOM＝∠MON． ∴（∠AOB+∠BON）﹣∠AOM＝70°． ∴（10+5t）﹣（180﹣10t）＝70， 10+5t﹣180+10t＝70， 15t＝240， t＝16． 答：t的值为4或16． ②当17＜t≤20时，若t＝20，20×20°＝400°，射线OC旋转超过360°，20×10°＝200°，OD旋转超过180°． OC转了20t°，OD转了10t°． ∴∠BOD＝（360﹣10t）°，∠AOC＝（20t﹣360）°． ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠BON∠BOD＝（180﹣5t）°，∠AOM∠AOC＝（10t﹣180）°． ∵∠BON﹣AOM﹣∠AOB＝∠MON， ∴（180﹣5t）﹣（10t﹣180）﹣10＝70． 280＝15t t． 故答案为：． 3．（2023秋•东西湖区期末）已知∠AOB＝40°． （1）如图1，OC在∠AOB的内部，且，则∠BOC＝　30°　； （2）如图2，∠AOC＝20°，OM在∠AOB的内部，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值； （3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内时，会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均大于0°且不超过180°）． 【分析】（1）根据角的数量关系求出∠BOC与∠AOB的关系，从而求得∠BOC的度数； （2）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠COM，相加求和即可； （3）设∠CON＝x°，根据角之间的数量关系表示出∠AON和∠BOM，得出代数式从而得解． 【解答】解：（1）∵∠AOC∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC， ∴∠AOB∠BOC， ∵∠AOB＝40°， ∴∠BOC＝30°； 故答案为：30°； （2）设∠CON＝x°， ∵3∠CON＝∠NOM，∠CON+∠NOM＝∠COM， ∴∠COM＝4∠CON＝4x°， ∵∠CON+∠AON＝∠AOC＝20°， ∴∠AON＝（20﹣x）°， ∴4∠AON+∠COM＝80°﹣4x+4x＝80°； （3）当∠BOM＝180°时，t＝180÷5＝36s； 当∠COM＝180°时，t＝（180+20+40）÷5＝48s； 当∠AON＝180°时，∠CON＝180°﹣20°＝160°，此时，∠MOC＞180°， ∴ON不在左侧，即∠AON≠180°； 当ON和OA重合时，∠AOM＝3∠AOC＝60°，∠BOM＝20°，t＝（360﹣20）÷5＝68s； 当OC和OM重合时，t＝（20+40）÷5＝12s； ①当0≤t≤12时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（60﹣5t）°， ∴∠CON∠COM＝（15t）°， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（t+5）°， ∴∠AON∠BOMt+5t＝5°，为定值； ②当12＜t≤36时，∠BOM＝5t°，∠COM＝（5t﹣60）°， ∴∠CON＝（t﹣15）°， ∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（t+5）°， ∴∠AON∠BOMt+5t＝5°，为定值； ③当36≤t≤48时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝（5t﹣60）°， ∴∠CON＝（t﹣15）°， ∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝（t+5）°， ∴∠AON∠BOMt+5﹣450tt﹣445，不是定值； ④当48＜t＜68时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°， ∴∠CON＝（105﹣1.25t）°， ∴∠AON＝∠CON﹣∠AOC＝（85﹣1.25t）°， ∴∠AON∠BOM＝85﹣1.25t﹣90+1.25t＝5°，为定值； ⑤当68＜t＜72时，∠BOM＝（360﹣5t）°，∠COM＝∠BOM+60°＝（420﹣5t）°， ∴∠CON＝（105﹣1.25t）°， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝（1.25t﹣85）°， ∴∠AON∠BOM＝1.25t﹣85﹣90+1.25t＝2.5t﹣175，不是定值； 综上所述，当0＜t≤36或48＜t＜68时，∠AON∠BOM会为定值5°． 4．（2023秋•云梦县期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝20°．（本题中研究的角的度数均小于180°） （1）如图1，求∠AOD+∠COB的大小； （2）如图2，OM平分∠COB，ON平分∠AOD，求∠NOM的大小． （3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC、OD同时绕点O旋转，其中射线OC先以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；射线OD始终以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OC、OD运动的时间是t秒（0＜t≤15），当∠COD＝80°时，直接写出t的值． 【分析】（1）根据∠AOD+∠COB＝∠AOB+∠COD，计算求解即可； （2）由角平分线可知，，，根据，计算求解即可； （3）由∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，可得∠BOC＝90°，∠BOD＝70°，当OC未到达OB时（0＜t＜9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°，计算求解即可；当OC到达OB后返回时（9≤t≤15），如图2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′﹣∠BOC′＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°，计算求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝20°， ∴∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠BOD+∠COD＝∠AOB+∠COD＝140°， ∴∠AOD+∠COB＝140°； （2）∵OM平分∠COB，ON平分∠AOD， ∴，， ∴， ∴∠NOM＝50°； （3）∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，∠COD＝20°， ∴∠BOC＝90°，∠BOD＝70°， 当OC未到达OB时（0＜t＜9），如图1，∠C′OD′＝80°，则∠DOD′＝20t，∠COC′＝10t， ∴∠DOD′+∠COD﹣∠COC′＝80°，即20°t+20°﹣10°t＝80°， 解得t＝6； 当OC到达OB后返回时（9≤t≤15），如图2，∠C′OD′＝80°，则∠BOD′＝360°﹣（20°t﹣70°），∠BOC′＝15°（t﹣9）， ∴∠BOD′﹣∠BOC′＝80°，即[360°﹣（20°t﹣70°）]﹣15°（t﹣9）＝80°， 解得， 综上，t的值为6或． 5．（2023秋•咸安区期末）如图1，在直线MN上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． （1）如图2，若OC平分∠MOB，则t的最小值为 　5　；此时∠DOB﹣∠MOC＝　30　度；（直接写答案）（2）当三角板COD转动如图3的位置，此时OC、OD同时在直线OB的右侧，猜想∠DOB与∠MOC有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） （3）若当三角板COD开始转动的同时，另一个三角板OAB也绕点O以每秒3°的速度顺时针转动，当OC旋转至射线ON上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，∠BOC＝15°； ②在转动过程中，请写出∠DOB与∠MOC的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 【分析】（1）可得出∠COM＝30°，∠BOD＝60°，进而得出结果； （2）可得出∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°，从而得出∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°； （3）①当OC在∠BOM内部时，由∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM得出60°+3t﹣6t＝15°，进而得出结果；当OC在∠BOM外部时，由∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM得出6t﹣（60°+3t）＝15°，从而得出结果； ②由∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°得出∠BOD． 【解答】解：（1）如图1， ∵OC平分∠MOB， ∴∠COM， ∴t， 此时∠BOD＝60°， ∴∠DOB﹣∠COM＝30°， 故答案为：5，30； （2）如图2， ∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+90°，∠BOC＝∠COM﹣∠AOB＝∠COM﹣60°， ∴∠BOD＝∠COM﹣60°+90°＝∠COM+30°； （3）①如图3， 当OC在∠BOM内部时， ∵∠BOM＝60°+3t，∠COM＝6t，∠BOC＝∠BOM﹣∠COM， ∴60°+3t﹣6t＝15°， ∴t＝15， 如图4， 当OC在∠BOM外部时， ∵∠COM＝6t，∠BOM＝60°+3t，∠BOC＝∠COM﹣∠BOM， ∴6t﹣（60°+3t）＝15°， ∴t＝25， 综上所述：t＝15或25； ②如图5， ∵∠COM＝6t，∠BOD＝∠COM+90°﹣（60°+3t）＝3t+30°， ∴∠BOD． 6．（2023秋•广水市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：3，将一直角△MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．绕点O顺时针旋转△MON，其中旋转的角度为α（0＜α＜360°）． （1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为　270　度； （2）将图1中的直角△MON旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由； （3）在上述直角△MON从图1旋转到图3的位置的过程中，若直角△MON绕点O按每秒25°的速度顺时针旋转，当直角△MON的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时直角△MON绕点O的运动时间t的值． 【分析】（1）根据∠MON的度数，可得ON旋转的度数，可得答案； （2）根据∠AOC：∠BOC＝1：3，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AON与∠CON的关系，再根据∠AON与∠AOM的关系，可得答案； （3）分类讨论，ON在∠AOC的平分线上，ON的反向延长线平分∠AOC，可得相应的旋转角，根据旋转的速度，可得旋转的时间． 【解答】解：（1）将图1中的直角△MON旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时α为 270度， 故答案为：270； （2）解：∠AOM﹣∠NOC＝45°，理由如下： ∵∠AOC：∠BOC＝1：3，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝45°，∠BOC＝135°， ∴∠AON+∠NOC＝45°，∠AON＝45°﹣∠NOC ∵∠MON＝90°， ∴∠AON+∠AOM＝90°． ∴45°﹣∠NOC+∠AOM＝90°， 即∠AOM﹣∠NOC＝45°． （3）解：①当ON平分∠AOC时，由（2）可知：∠AOC＝45°， ∴∠AON+∠NOC＝45°． ∵ON平分∠AOC， ∴∠AON＝∠NOC＝22.5°， ∵∠MON＝90°， ∴旋转角度为：90°+22.5°＝112.5°， ∴． ②当ON的反向延长线平分∠AOC时，旋转112.5°的基础上，再旋转180°， ∴旋转角度为：112.5°+180°＝292.5°． ∴． 综上所述：t＝4.5s或t＝11.7s． 7．（2023秋•海珠区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠BON的度数． （2）将图1中三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线OP从OC开始绕点O以每秒2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线OP也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求t的值． ②当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°（m，n为常数），求m+n的值． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON 的度数； （2）①分四种情况，作出相应图形列方程求解即可； ②在①的条件下，当40＜t＜54时，在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°，（m，n为常数），求m+n的值． 【解答】解：（1）如图2中，∵OM平分∠BOC ∴∠BOM＝∠COM∠BOC＝55°， ∴∠BON＝90°﹣55°＝35°； （2）①分四种情况：5t+2t+40＝110① 解得 t＝10； 或5t+2t﹣110＝40， 解得t； 或5t﹣110+2t+40＝360， 解得t； 或5t﹣110+2t﹣40＝360， 解得t（舍）． 综上所述，满足条件的T的值为10或或； ②设旋转时间为t秒，当t＝40时，ON与OC重合，当t＝54时，ON与OA重合， 当40＜t＜54时，如图： 由已知可得：∠CON＝5°t﹣200°，∠AOM＝5°t﹣180°， ∵m∠CON+∠AOM＝n°， ∴m（5°t﹣200°）+5°t﹣180°＝n°， ∴（5°m+5°）t﹣200°m﹣180°＝n°， ∵在旋转的过程中∠CON与∠AOM始终满足关系m∠CON+∠AOM＝n°， ∴5°m+5°＝0， 解得m＝﹣1， ∴﹣200°m﹣180°＝n°， 解得n＝20， ∴m+n＝﹣1+20＝19． ∴m+n的值是19． 【考点9 新定义问题】 1．（2023秋•襄城区期末）探究规律，完成相关题目．王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：（+2）※（+4）＝﹣6；（﹣3）※（﹣4）＝﹣7；（﹣2）※（+3）＝+5；（+5）※（﹣6）＝+11；0※（+9）＝﹣9：（﹣7）※0＝+7．请你按照王老师定义的运算法则计算（﹣2023）※（+2024）的结果为（　　） A．﹣4047 B．0 C．1 D．4047 【分析】根据新运算列式计算即可． 【解答】解：（﹣2023）※（+2024） ＝+（2023+2024） ＝4047， 故选：D． 2．（2023秋•安陆市期末）定义一种关于整数n的“F”运算： （1）当n是奇数时，结果为3n+5； （2）当n是偶数时，结果是（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…，若n＝9，则第2023次经F运算的结果是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题． 【解答】解：由题意n＝9时，第一次经“F”运算是3×9+5＝32，第二次经“F”运算是，第三次经“F”运算是3×1+5＝8，第四次经“F”运算是， 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， ∴第2023次运算结果8， 故选：C． 3．（2023秋•瑶海区期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x←x+2”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝3，32＝9，9不大于2024，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得第二次“传输”后可4×2＝8，8﹣1＝7，……，若输入x＝1，那么经过（　　）次“传输”后可以输出结果，结束程序． A．11 B．12 C．21 D．23 【分析】根据计算程序，得到第n次输入的数应该是2n﹣1，根据452＝2025＞2024可得2（2n﹣1）﹣1＝45，解得n值即可． 【解答】解：每次输入的数应该是1，3，5，7，9．⋯第n次输入的数应该是2n﹣1． 每次算出的数为[2（2n﹣1）﹣1]2， 由452＝2025＞2024，程序结束． 可得2（2n﹣1）﹣1＝45，解得n＝12． 故选：B． 4．（2023秋•洪山区期末）定义：我们称使等式b2＝4ac成立的有理数a，b，c为“唯一根数组”，记作【a，b，c】．例如：由于22＝43，因此【，2，3】是“唯一根数组”．若【5k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”，则2k﹣k2+1的值为　﹣3　． 【分析】根据“唯一根数组”的定义得到k2＝4（5k﹣k2）×1，依此即可求得2k﹣k2+1的值． 【解答】解：∵【5k﹣k2，k，1】是“唯一根数组”， ∴k2＝4（5k﹣k2）×1， ∴k2＝20+10k﹣4k2， ∴10k﹣5k2＝﹣20，即2k﹣k2＝﹣4， ∴2k﹣k2+1＝﹣4+1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 5．（2023秋•郧阳区期末）用〈m〉表示大于m的最小整数，例如〈1〉＝2，〈3.2〉＝4，〈﹣3〉＝﹣2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{﹣2，4}＝4，按上述规定，如果整数x满足max{x，﹣3x}＝﹣2〈x〉+8，则x的值是 　2或﹣6　． 【分析】按照题目的规定，分两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：∵x是整数， ∴〈x〉＝x+1， 若x＞﹣3x，则max{x，﹣3x}＝x， ∴x＝﹣2〈x〉+11＝﹣2（x+1）+8， ∴x＝2， 此时符合题意． 若x＜﹣3x，则max{x，﹣3x}＝﹣3x， ∴﹣3x＝﹣2（x+1）+8， ∴x＝﹣6． 此时符合题意． ∴x的值是2或﹣6． 故答案为：2或﹣6． 6．（2023秋•越秀区期末）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是．已知a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，an为an﹣1的差倒数，则a2＝　　；若a1+a2+⋯+an＝55，则n＝　113　． 【分析】分别求出a2，a3，a4的值，根据其规律，再求相应的n值． 【解答】解：∵a1＝﹣1， ∴a2， a3， a4， …， ∴该列数是以﹣1，，2这三个数循环出现， ∵﹣12，a1+a2+⋯+an＝55， ∴36……2， ∴3654， ∴54+（﹣1）55， ∴n＝36×3+3+2＝113． 故答案为：，113． 7．（2023秋•江汉区期末）定义：一个正整数x＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若ma﹣b＝mc﹣d，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，5923：2×5﹣9＝2×2﹣3，则称5923为“2倍数”；1940：﹣3×1﹣9＝﹣3×4﹣0，则称1940为“﹣3倍数”；2548：4﹣8．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． （1）直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； （2）若一个三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； （3）若一个四位数x为“1倍数”，且各数位的数字互不相等，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为y（即10a+b），十位数字和个位数字组成的两位数记为z（即10c+d）．若为整数，求这个四位数； （4）若一个四位数x为“4倍数”，将它的百位数字和十位数字互换，得到的新的四位数仍为“4倍数”，x+6为“﹣4倍数”，直接写出满足条件的x的最大值． 【分析】（1）根据题意列出关于m的方程，进行判断． （2）根据三位数x为“﹣2倍数”，且个位数字为7，得出b＝2c+7，表示出三位数，进行判断． （3）根据四位数x为“1倍数”，得出a﹣c＝b﹣d，再得出11（a﹣c）为8倍数，求出a﹣c，b﹣d的值，得出答案． （4）设x的四位数字分别为a，b，c，d．百位十位进行互换，得出新数，分两种情况进行讨论，得出答案． 【解答】解：（1）3m﹣2＝7m﹣4⇒﹣4m＝﹣2． 解得：m． m不是整数，所以3274不是“m倍数“． 2m﹣9＝6m﹣1⇒﹣4m＝8． 解得：m＝﹣2． 2961是“﹣2倍数“，m为﹣2． （2）∵x为三位数，个位为7， ∴a＝0．d＝7． ﹣2×0﹣b＝﹣2c﹣7． 整理得：b＝2c+7． 这个三位数为：100b+10c+7＝100（2c+7）+10c+7＝210c+707＝7（30c+101）． ∵30c+101是整数． ∴这三位数x能被7整除． （3）∵这四位数为“1倍数”． ∴a﹣b＝c﹣d⇒a﹣c＝b﹣d． ∵y＝10a+b，z＝10c+d． ∴y﹣z＝10a+b﹣10c﹣d＝10（a﹣c）+10（b﹣d）＝11（a﹣c）． ∵为整数． ∴为整数． 即a﹣c＝±8，b﹣d＝±8． ∵各位数的数字互不相等． ∴a，b，c，d四个数应为9，8，1，0．或1，0，9，8． ∴这四位数应为9810，1098． （4）设x的四位数字分别为a，b，c，d． ∵x为“4倍数“． ∴4a﹣b＝4c﹣d①． ∵将百位数字与十位数字互换，新的四位数仍为“4倍数”． ∴4a﹣c＝4b﹣d②． ①﹣②得﹣b+c＝4c﹣4b⇒﹣3c＝﹣3b⇒c＝b． 将b＝c代入①得：4a﹣b＝4b﹣d． 整理得：d＝5b﹣4a． ∵x+6为“﹣4倍数“． ∴当d＜4时，﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6． 把b＝c，d＝5b﹣4a代入﹣4a﹣b＝﹣4c﹣d﹣6得： ﹣4a﹣b＝﹣4b﹣（5b﹣4a）﹣6． 整理得：8a﹣8b＝6． ∵a，b，c，d均为小于10的非负整数， ∴8a﹣8b不可能等于6， ∴d＜4不符合题意． 当4≤d≤10时，﹣4a﹣b＝﹣4（c+1）﹣（d+6﹣10）， 整理得：4a+b＝4c+d， 把b＝c，d＝5b﹣4a代入4a+b＝4c+d得： 4a+b＝4b+（5b﹣4a）， 整理得：a＝b， ∴d＝5b﹣4a＝5b﹣4b＝b， 即d＝b． ∴a＝b＝c＝d． ∵x+6为四位数， ∴a＝b＝c＝d＜9． ∴a，b，c，d的最大值为8，即这个四位数最大为8888． 【考点10 日历与幻方问题】 1．（2023秋•武昌区期末）如图，在2024年1月的日历表中用图形框出10，18，19，24四个数，它们的和为71．若保持图形框的整体形状不变，在日历表中平移，还是框出四个数，则它们的和不可能是（　　） A．35 B．63 C．99 D．119 【分析】设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14，这四个数的和是4x+31，将每个选项逐个代入并根据日历的特点分析即可． 【解答】解：设最上边的那个数是x，则剩下的那个数为x+8，x+9，x+14， ∴这四个数的和是x+x+8+x+9+x+14＝4x+31， 当4x+31＝35时，解得x＝1，则这四个数分别1，9，10，15，符合日历特点； 当4x+31＝63时，解得x＝8，则这四个数分别8，1617，22，符合日历特点； 当4x+31＝99时，解得x＝17，则这四个数分别17，25，26，31，符合日历特点； 当4x+31＝119时，解得x＝22，则这四个数分别22，30，31，36，不符合日历特点； ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 2．（2023秋•随县期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x﹣y的值是（　　） ﹣1 x 2 ﹣2 y A．0 B．﹣3 C．3 D．4 【分析】设最右边一列中间的数为z，先根据幻方的定义可得x+2+z＝﹣1+z+y，然后变形即可解答． 【解答】解：设最右边一列中间的数为z， 根据题意可得：x+2+z＝﹣1+z+y， 变形可得：x﹣y＝﹣3． 故选：B． 3．（2023秋•岱岳区期末）现有一个50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，则这四个数的和有可能是（　　） A．98 B．210 C．314 D．386 【分析】设第一行中间这个数为x，得到四个数的和为4x+10，分别解方程逐一判断即可解题． 【解答】解：设第一行中间这个数为x，则另三个数为x﹣2，x+2，x+10， ∴这四个数的和为：x+x﹣2+x+2+x+10＝4x+10 A．当4x+10＝98，解得：x＝22是第三行的首位数字，不符合题意； B．当4x+10＝210，解得：x＝50是第五行的末尾数字，不符合题意； C．当4x+10＝314，解得：x＝76，符合题意； D．当4x+10＝386，解得：x＝94是第十行的数字，不符合题意； 故选：C． 4．（2023秋•大冶市期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】如图（见解析），根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【解答】解：如图， 由题意得：x﹣5+8＝x+a﹣2， 解得：a＝5， ﹣2+b+8＝﹣5+b+d， 解得：d＝11， ﹣2+11+e＝8+c+e， 解得：c＝1， ﹣5+b+d＝8+1+e，即：﹣5+b+11＝8+1+e， 解得：b＝3+e， x﹣5+8＝8+c+e，即x﹣5+8＝8+1+e， 解得：x＝6+e， 则x+b+e＝8+1+e，即6+e+3+e+e＝9+e， 解得：e＝0， 所以x﹣5+8＝8+c+e，即x+3＝9， 解得：x＝6． 故选：C． 5．（2023秋•南沙区期末）如图是2024年1月日历，用“Z”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为a，四个数字之和记为S．当S＝82时，a所表示的日期是星期（　　） A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据“四个数字之和记为S．当S＝82”列方程求解． 【解答】解：由题意得：a+a+1+a+9+a+8＝82， 解得：a＝16， 16是周二， 故选：B． 6．（2023秋•潢川县期末）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23，若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 　3　． 【分析】根据每个“单元”中的四个数之和都是23可得x+y＝16，再由4+a+x+y＝23即可求出a的值． 【解答】解：如图， 由题意得，x+y+2+5＝23， ∴x+y＝16， 又∵4+a+x+y＝23， 即4+a+16＝23， ∴a＝3， 故答案为：3． 7．（2023秋•香洲区期末）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将1，﹣2，﹣3，3，4，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　﹣5　． 【分析】先求出这8个数的和，即可求出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和，然后列式计算即可求出a、b的值． 【解答】解：如图， 1+（﹣2）+（﹣3）+3+4+6+（﹣7）+8 ＝（1+3+4+6+8）+（﹣2﹣3﹣7） ＝22+（﹣12） ＝10， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴这个和为10÷2＝5， ∴﹣7+6+b+8＝5，﹣7+c+8+d＝5，c+a+4+d＝5， ∴b＝﹣2，c+d＝4， ∴a＝﹣3， ∴a+b＝﹣3﹣2＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【考点11 数字规律问题】 1．（2023秋•汉川市期末）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+⋯+nn（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝？观察几个特殊的等式：1×2（1×2×3﹣0×1×2），2×3（2×3×4﹣1×2×3），3×4（3×4×5﹣2×3×4），将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×43×4×5＝20．读完这段材料，请你思考后计算：1×2+2×3+3×4+…+50×51的值是（　　） A．41650 B．44200 C．46852 D．49608 【分析】根据所给等式，求出1×2+2×3+…+n（n+1）即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为1×2， 2×3， 3×4， …， n（n+1）； 将以上等式两边相加得， 1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）， 当n＝50时， 1×2+2×3+3×4+…+50×5144200． 故选：B． 2．（2023秋•来凤县期末）正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（　　） A．284 B．296 C．303 D．304 【分析】首先观察出第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1，由此进一步解决问题． 【解答】解：由于第2、3、4、5、6列的第一个数为1+1、4+1、9+1、16+1、25+1． 那么第18列的第一个数为172+1＝290， ∴第15行，第18列的数字是290+15﹣1＝304， 故选：D． 3．（2024秋•黔东南州期末）为了求1+2+22+23+…+220的值，可令S＝1+2+22+23+…+220，则2S＝2+22+23+24+…+221，因此2S﹣S＝221﹣1，所以1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52024＝（　　） A．52024 B．52023﹣1 C． D． 【分析】根据题目信息，设S＝1+5+52+53+⋯+52024，求出5S，然后错位相减计算即可得解． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+⋯+52024，则5S＝5+52+53+54⋯+52025， ∴5S﹣S＝52025﹣1， ∴， ∴1+5+52+53+…+52024（52025﹣1）， 故选：D． 4．（2023秋•无为市期末）观察下面三行数： 第①行：2、4、6、8、10、12、… 第②行：3、5、7、9、11、13、… 第③行：1、4、9、16、25、36、… 设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+2z的值为（　　） A．9999 B．10001 C．20199 D．20001 【分析】总结第①，第②，第③行的变化规律，分别求出x，y，z的值即可计算． 【解答】解：观察第①行：2、4、6、8、10、12、… ∴第100个数为100×2＝200， 即x＝200， 观察第②行：3、5、7、9、11、13、… ∴第100个数为100×2+1＝201， 观察第③行：1、4、9、16、25、36、… ∴第100个数是1002＝10000， 即x＝200、y＝201、z＝10000， ∴2x﹣y+2z＝20199， 故选：C． 5．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计算：　　． 【分析】通过观察可知：所求有理数的和在图形中所对的面积为1，由此求和即可． 【解答】解：1， 故答案为：． 6．（2023秋•广水市期末）将数字1个1，2个，3个，4个，…n个（n为正整数）按顺序排成一排：1，，，，，，，，，，，，，记a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…S1＝a1，S1＝a1+a2，Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S1000﹣S1008＝　2009　． 【分析】由题意可得：n个的和为1，则有a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，从而可求解． 【解答】解：∵n个的和为1，a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…， ∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，…， ∴S1＝1，S2＝1+2，Sn＝1+2+3+…+n， ∴S1000﹣S1008 ＝1+2+3+…+1000﹣（1+2+3+…+1008） ＝1+2+3+…+1008+1009+1000﹣1﹣2﹣3﹣…﹣1008 ＝2009． 故答案为：2009． 7．（2023秋•江陵县期末）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数n S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）若n＝7时，则S的值为 　56　． （2）根据表中的规律猜想：用含n的代数式表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝　n（n+1）　． （3）根据上题的规律计算102+104+106+…+2020的值（要有过程）． 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出n＝7时，S的值； （2）根据表格中的数据，可以计算出S＝2+4+6+…+2n的值； （3）根据题目中的式子可知，102+204+206+…+2020＝（2+4+…+200+202+…+2020）﹣（2+4+…+100），然后计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得， n＝7时，S＝2+4+…+16＝7×8＝56， 故答案为：56； （2）由题意可得， S＝2+4+6+…+2n＝n（n+1）， 故答案为：n（n+1）； （3）102+104+106+…+2020 ＝（2+4+…+100+102+…+2020）﹣（2+4+…+100） ＝1010×1011﹣50×51 ＝1021110﹣2550 ＝1018560． 【考点12 图形规律问题】 1．（2023秋•黄冈期末）如图，将一些形状相同的小五角星按图中所示放置，据此规律，第59个图形五角星的个数为（　　） A．3600 B．3500 C．3599 D．3499 【分析】依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形五角星的个数为：3＝1×3； 第2个图形五角星的个数为：8＝2×4； 第3个图形五角星的个数为：15＝3×5； 第4个图形五角星的个数为：24＝4×6； …， 所以第n个图形五角星的个数为n（n+2）， 当n＝59时， n（n+2）＝59×61＝3599（个）， 即第59个图形五角星的个数为3599个． 故选：C． 2．（2023秋•黄石港区期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有l8颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（　　） A．63 B．84 C．108 D．152 【分析】根据第①个图形的棋子数是3＝3×1，第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2），第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3），…，可得第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n），据此求出第⑥个图形中棋子的颗数为多少即可． 【解答】解：∵第①个图形的棋子数是3＝3×1， 第②个图形的棋子数是9＝3×（1+2）， 第③个图形的棋子数是18＝3×（1+2+3）， …， ∴第n个图形的棋子数是3×（1+2+…+n）， ∴第⑥个图形中棋子的颗数为： 3×（1+2+…+6） ＝3×21 ＝63． 故选：A． 3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（　　） A．90 B．96 C．150 D．156 【分析】根据每圈上数字特征，找到规律求解． 【解答】解：第1个数为0， 第2个数为：2+4+6＝12， 第3个数为：12+8+10+12＝42， 第4个数为：42+14+16+18＝90， 第5个数为：90+20+22+24＝156， 故选：D． 4．（2023秋•曾都区期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的p＝101，则q的值为（　　） A．2500 B．﹣2500 C．2601 D．﹣2601 【分析】观察所给图形中各部分的数字，发现规律即可解决问题． 【解答】解：观察所给图形可知， 第奇数个图形右上角的数字是正数，第偶数个图形右上角的数字是负数，且绝对值为完全平方数， 所以第n个图形右上角的数字可表示为：（﹣1）n+1n2． 图形中左上角的数字为从1开始的连续奇数， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：2n﹣1． 因为第p＝101， 则2n﹣1＝101， 解得n＝50， 所以q＝（﹣1）51×502＝﹣2500． 故选：B． 5．（2023秋•惠东县期末）在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9（其中20＝1），表示该生为9班学生，下面表示6班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题中定义求出第一行数字，即可求出其序号，进而解决问题． 【解答】解：由题知， A选项中第一行的数字为：0，0，1，1． 则其序号为：0×23+0×22+1×21+1×20＝3， 所以该生为3班的学生． 故A选项不符合题意． B选项中第一行的数字为：0，1，0，1． 则其序号为：0×23+1×22+0×21+1×20＝5， 所以该生为5班的学生． 故B选项不符合题意． C选项中第一行的数字为：0，1，1，0． 则其序号为：0×23+1×22+1×21+0×20＝6， 所以该生为6班的学生． 故C选项符合题意． D选项中第一行的数字为：0，1，1，1． 则其序号为：0×23+1×22+1×21+1×20＝7， 所以该生为7班的学生． 故D选项不符合题意． 故选：C． 6．（2023秋•海珠区期末）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第n个图形中有　（n2+n+4）　个小圆圈． 【分析】观察图形的变化可得前几个图形的小圆圈的个数，进而可以寻找规律即可． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中有小圆圈的个数：1×2+4＝6个； 第2个图形中有小圆圈的个数：2×3+4＝10个； 第3个图形中有小圆圈的个数：3×4+4＝16个； … 则第n个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4＝n2+n+4． 故答案为：n2+n+4． 7．（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：在小学我们学习过用图示法求1+2+3+⋯+n的方法： 如图1，从第1层至第n层，分别有1，2，3，⋯，n个小圆圈；将图1旋转后拼成如图2． ①图2中，每层有小圆圈 　（n+1）　个；共有小圆圈 　n（n+1）　个． ②1+2+3+⋯+n＝　　 数学思考：如何求12+22+32+⋯+n2？小明同学根据上面的启示设计了如图3所示三角形数阵型： 第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22；⋯⋯；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中所有圆圈中的数的和为12+22+32+⋯+n2． 为了求这个和，他将三角形数阵型经过两次旋转可得如图4所示的三角形数阵型． 观察这三个三角形数阵型各行同一位置圆圈中的数，（如第n﹣1行的第1个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n）， ③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 　2n+1　； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝　　； ⑤12+22+32+⋯+n2＝　　． 拓展运用：根据以上发现， ⑥计算的结果为 　　． ⑦求212+222+232+…+302的值． 【分析】问题呈现：根据图中的四边形的面积计算； 数学思考：根据题中的步骤，结合②中的结果求解． 【解答】解：问题呈现：①图2中，每层有小圆圈（n+1）个；共有小圆圈n（n+1）个． ②1+2+3+⋯+n， 故答案为：（n+1），n（n+1），； 数学思考：③发现每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1， ：故答案为：2n+1； ④这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+⋯+n2）＝（2n+1）， 故答案为：； ⑤12+22+32+⋯+n23， 故答案为：； 拓展运用：根据以上发现， ⑥， 故答案为：； ⑦求212+222+232+⋯+302 ＝12+22+32+⋯+302﹣（12+22+32+⋯+202） ＝9455﹣2870 ＝6585． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$