专题04 数列及其求和（3大基础题型+2大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题04 数列及其求和 1、 基础题型 1、 数列的运算 2、 数列求和及其应用 3、 数列综合 2、 重难点题型 1、 数列通项公式和求和应用 2、 数列新定义问题 数列的基本量计算 1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，，且，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知等差数列，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．5 4．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知等比数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C．1 D．3 6．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 7．（23-24高二上·北京东城·期末）已知是数列的前项和，，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 8．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列，则等于（    ） A．511 B．1022 C．1023 D．2047 数列求和及其应用 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知等比数列各项都为正数，前项和为，则“是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知数列的通项公式.设，，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（22-23高二下·北京东城·期中）已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（    ） A．18 B．20 C．21 D．23 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则（    ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最大值为30 D．有最小值为30 数列综合 1．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为 . 2．（20-21高二上·北京丰台·期末）对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和 . 3．（23-24高二上·北京西城·期末）已知为等比数列，为其前项和，若，，则 ； ． 4．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 5．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是 . 数列通项公式和求和综合 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知数列是等比数列，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和. 2．（22-23高二上·广东广州·期末）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,再从①;②;③这三个条件中任选一个作为已知,求数列的前项和. 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．（23-24高二上·北京西城·期末）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记，求数列的前项和． 6．（23-24高二上·北京东城·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，. (1)若，求的值； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 7．（23-24高二上·北京通州·期末）设数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 条件①：且; 条件②：且； 条件③：且． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 数列新定义 1．（22-23高三上·北京海淀·期末）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”. (1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由； (2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列” ①求d的值和数列的通项公式： ②设，直接写出数列中最小的项. 3．（23-24高二上·北京海淀·期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 4．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列满足：． （注：） (1)若，求及数列的通项公式； (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列及其求和 1、 基础题型 1、 数列的运算 2、 数列求和及其应用 3、 数列综合 2、 重难点题型 1、 数列通项公式和求和应用 2、 数列新定义问题 数列的基本量计算 1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由题，，所以． 故选：C． 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，，且，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列， 所以. 故选：C 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知等差数列，则等于（    ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 解得：，. 故选：B. 4．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知等比数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，，则有，解得， 故， 故选：D. 5．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】由可得为等比数列且公比为， ，故， 故选：C 6．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 7．（23-24高二上·北京东城·期末）已知是数列的前项和，，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由题意知，所以，故C正确. 故选：C. 8．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列，则等于（    ） A．511 B．1022 C．1023 D．2047 【答案】C 【详解】因为， 所以，，，，，， 累加可得：， 所以. 故选：C 数列求和及其应用 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知等比数列各项都为正数，前项和为，则“是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】等比数列各项都为正数，设公比为，则， ①当时，是递增数列， ， 由，则, 不满足. 所以是递增数列. ②当时，则， 此时满足，为常数列，不是递增数列. 所以 是递增数列. 故“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（21-22高三上·北京海淀·期末）已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由等差数列前n项和公式知：， ∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列， ∴“对于任意且，”必有“”， 而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立， ∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件. 故选：B. 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知等比数列的首项，公比为q，记（），则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意，， ， 当时，对于不一定恒成立，例如； 当为递减数列时，且对于恒成立， 又因为，所以得， 因此“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：C. 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知数列的通项公式.设，，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由题意知，， 则 ， 由得，则， 解得. 故选：C. 5．（22-23高二下·北京东城·期中）已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（    ） A．18 B．20 C．21 D．23 【答案】B 【详解】当满足时，， 令，则或有一项为1，而， ∴，又是各项均为正整数的数列， ∴，，，， 此时的最小值为， 当满足时，，，，，，，时， ， 因为， 所以的最小值为20. 故选:B. 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则（    ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最大值为30 D．有最小值为30 【答案】C 【详解】由，公差得， ， 易知一定为正整数，且结合二次函数性质得当或时，取得最大值30，显然C正确. 故选：C 数列综合 1．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】等差数列的前项和为， 若“对，若，则”是假命题， 只需等差数列为递减数列，即可，符合题意. 故答案为： 2．（20-21高二上·北京丰台·期末）对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和 . 【答案】30 【详解】由题设可得，故，故为等比数列，其首项为2，公比为2， 故， 故答案为：30. 3．（23-24高二上·北京西城·期末）已知为等比数列，为其前项和，若，，则 ； ． 【答案】 【详解】设，则，即， ，即， 故. 故答案为：；. 4．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 【答案】（答案不唯一，中的一个值） 【详解】记， 当时，即，显然恒成立，不满足要求； 当时，或， 若，则，所以恒成立，不满足要求； 若，此时，必然满足数列中存在负数项， 由上可知，的可取值的范围是，故可取， 故答案为：（答案不唯一，中的一个值）. 5．（23-24高二上·北京顺义·期末）在数列中，若，（，，p为常数），则称为“等方差数列”，给出以下四个结论：①不是等方差数列；②若是等方差数列，则（，k为常数）是等差数列；③若是等方差数列，则（，k、l为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③ 【详解】对于①，时，为常数， 故是等方差数列，①错误； 对于②，若是等方差数列，即有，（，，p为常数） 则为常数， 故（，k为常数）是等差数列，②正确； 对于③，若是等方差数列，即有，（，，p为常数）， 则， 故为常数， 则（，k、l为常数）也是等方差数列，③正确； 对于④，若既是等方差数列，又是等差数列， 则时，，且（d为常数）， 则， 当时，则为常数列，满足是等方差数列， 若，则不为等比数列，④错误； 故答案为：②③ 数列通项公式和求和综合 1．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知数列是等比数列，，（）. (1)求数列的通项公式； (2)若为等差数列，且满足，，求数列的前n项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，，所以，所以， 所以； （2）等差数列的公差为d，则，， 解得，， 所以数列的前n项和公式为. 2．（22-23高二上·广东广州·期末）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,再从①;②;③这三个条件中任选一个作为已知,求数列的前项和. 【详解】（1）解:由题知是等差数列, 记数列公差为, 因为, 所以, 解得, 故; （2）由(1)知, 当选择①时: 因为,, 故, 所以, 即为以2为首项,2为公比的等比数列, 所以, ; 当选择②时: 因为,, 故, 所以, 即为以2为首项,为公比的等比数列, 所以, ; 当选择③时: 因为,, 故, 所以, 即为以2为首项,-1为公比的等比数列, 所以, . 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，，解得， 所以， 故数列的通项公式 （2）由（1）知，， 所以 . 故数列的前项和. 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）当时，，得， 当时，①， 由已知②， ②①得，， 所以，由，得 所以数列为等比数列，公比， 因为，所以. 设等差数列的公差为， 由，则，解得. 所以. （2）设，则， 设的前项和为， 则 . 5．（23-24高二上·北京西城·期末）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记，求数列的前项和． 【详解】（1）设，则，， 解得，，故； （2）数列是首项为1，公比为2的等比数列，故， ， 故 . 6．（23-24高二上·北京东城·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，. (1)若，求的值； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）因为为等比数列，，， 设的公比为，则. 解得.所以. 因为，所以. 因为为等差数列，，所以公差， 所以. （2）若选择条件① 因为为等差数列，为等比数列，，，， 设的公差为，所以，， 所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件①. 若选择条件② 因为为等差数列，为等比数列，，，， 设的公差为d，的公比为q， 则即 解得或（舍），故条件②符合题意， 所以，. 若选择条件③ 因为为等差数列，为等比数列，，，， 所以，设的公差，所以，， 所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件③. 7．（23-24高二上·北京通州·期末）设数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 条件①：且; 条件②：且； 条件③：且． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d． 选择条件①：且，解得，不合题意． 选择条件②：且， 由等差数列的通项公式及前n项和公式得解得． 所以等差数列的通项公式为． 选择条件③：且， 由等差数列前n项和公式得解得． 所以等差数列的通项公式为． （2）选择条件②：因为，所以， ． 选择条件③：因为， 所以． 所以 ． 数列新定义 1．（23-24高二上·北京东城·期末）已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. (1)判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. (2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； (3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P. ②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P. （2）对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数. （i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以. （ii）当为偶数时，都是偶数，所以. 所以. 时，在前项中任两项和的结果中未出现， 所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立. 综上，或. （3）存在最小值，且最小值为. 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以. 所以的值至少有个. 即的值至少有个，即. 数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件. ：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047， 考虑，根据等差数列的性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个， 或者等于中的一个. 所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值. 即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值. 综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045. 【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列具有性质，根据其定义中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解. 2．（22-23高三上·北京海淀·期末）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 【详解】（1）解：当时，存在一组，满足， 又因为的各项均为正整数，且， 所以，即，且， 当时，满足条件的数列只能是：3,1； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列只有1，2，1； 当时，满足条件的数列不存在； 所以数列： 1，2，1或3,1； （2）解：由题意可知，所以， ①当时，应有数列中各项均不相同，此时有； ②当时，由于数列中各项必有不同的数，进而有. 若，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时，不符合， 所以； ③当时，同②可得； 综上所述，有，同时当为2，2，1，1，1时，， 所以的最小值为7； （3）解：①存在大于1的项，否则此时有； ②,否则将拆分成个1后变大； ③当时，有，否则交换顺序后变为，进一步有， 否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大； ④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为； ⑤由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有， 从而有， 由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大，为511566. 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”. (1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由； (2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列” ①求d的值和数列的通项公式： ②设，直接写出数列中最小的项. 【详解】（1）数列不是“M数列”，理由如下： ∵，当时，，此时找不到，使得. 所以数列不是“M数列”. （2）①是等差数列，且首项，公差， 则， 故对任意，总存在，使得成立， 则，其中为非负整数， 要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数， 又，所以，所以. ②∵，所以. 由的单调性知在为减函数，在为增函数， 当时，；当时，. 所以，当时，有最小值.即数列中最小的项为. 4．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列满足：． （注：） (1)若，求及数列的通项公式； (2)若，求的值． 【详解】（1）因为，， 所以. 因为，， 所以， 即① ② ②①得， 化简得：，即， 所以数列成等比数列，公比为， 故. （2）由（1）可知，， 数列为等比数列，所以， 因为，， 所以， 即③ ④ ④③化简得， 变形得， 即， 由，当时，，即， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以 所以， 因为，所以， 又，所以， 又因为，所以， 即，即， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$