第五章一元一次方程（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1． 下列一元一次方程中，解为x=-2的方程是（　　） A．- 2x+5=1 B．x-1=-5-x C．x+5=5-x D．4-x=x 2．下列说法正确的是（　　） A．由7x=4x-3移项得7x-4x=-3 B．由去分母得2（2x-1）=1+3（x-3） C．由2（2x-1）-3（x-3）=1去括号得4x-2-3x-9=4 D．由2（x-1）=x+7移项合并同类项得x=5 3．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x－3）－■＝x＋1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，问人数和物品价格各是多少？设有x人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C． D． 5．在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（　　） A． B．6+2x＝14﹣x C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x） 6．高州木偶戏被誉为“百年古傀儡，时代新经典”，被国务院列入“第一批国家级非物质文化遗产名录”．木偶戏以杖头木偶为主，附加布袋木偶．木偶造型十分精巧，它用坚韧的木料加工成型后，采用变形夸张的手法，进行彩绘、装潢，使之形神兼备，栩栩如生．某商铺以每个m元的价格从A厂购置了206个木偶造型的制作材料，以每个n元 的价格从B厂购置了194个木偶造型的制作材料，经加工后以每个 元的价格全部卖出，则这家商铺（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏情况不能确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若方程 是关于x的一元一次方程，则a=　 　． 8．在一条可以折叠的数轴上，点 ， 表示的数分别是 ，5，如图，以点 为折点，将此数轴向右对折，使点 落在点 右侧 处，若 到点 的距离是1，则 点表示的数是　 　. 9．一个两位数，个位上的数字与十位上数字之和是7，将十位和个位对调后的新数比原数的2倍还大2，则原两位数是　 　. 10．定义一种新的运算“ ⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如： ，则方程的解为　 　． 11．如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则　 　． 12．对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如按照这个规定，方程的解为　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解方程： （1） （2） 14． 小明解关于y的一元一次方程3(y＋a)＝2y＋4，在去括号时，将a漏乘了3，得到方程的解是y＝3，请你求出a的值及方程正确的解． 15．已知方程与关于 x 的方程3a-8=2（x+a）-a的解相同． （1）求 a 的值； （2）若 a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求（a + b - c）2022的值． 16．已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． （1）求p的值； （2）若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 17．下面有四张卡片，其上分别写有相应的有理数． （1）求最大数与最小数的差； （2）若再添上一个有理数x，使得五个有理数的和为0，求x的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．定义一种新运算“”： ，比如：． （1）求的值： （2）已知，请根据上述运算，求值． 19．已知，现规定符号表示大于或等于的最小整数，如 （1）填空：　 　，　 　，若，则的取值范围是　 　； （2）某市的出租车收费标准如下：以内（包括）收费5元，超过的，每超过，加收1.2元（不足的按计算）．用（单位：）表示所行驶的路程，（单位：元）表示行驶应付的乘车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当时，； 当时，． 某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客乘车路程的取值范围． 20．某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同. A家规定：批发数量不超过1000千克，按全部零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，按全部零售价的90%优惠；超过2000千克的按全部零售价的88%优惠.B家的规定如下表： 数量范围（千克) 0～500 500以上～1500 1500以上～2500 2500以上 价格（元) 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 零售价的70% 【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用6x95%×500+6×85%×1000+6×75%×(2100-1500)】 （1）如果他批发600千克苹果，则他在A家批发需要　 　元，在B家批发需要　 　元； （2）如果他批发x千克苹果(2000<x<2500)，则他在A家批发需要　 　元，在B家批发需要　 　元（用含x的代数式表示)； （3）现在他要批发10956元苹果，应该选择哪一家水果店?请说明理由. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” （1）判断：　 　（填“是”或“不是”） 的“优雅方程”． （2）若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 22．综合与实践：如图，这是我市某校校园内的环形跑道，跑道是由线段，及半圆，组成的，已知跑道的周长为400米，半圆，的长都为88米，，和分别是线段和的中点．（请用方程的相关知识解决下列问题）． （1）求线段的长； （2）小明和小英在如图所示的环形跑道上练习跑步，已知小明、小英两人分别从点，两处同时沿着箭头方向出发，小明的速度是6米秒，小英的速度是4米秒． ①多长时间后，两人首次相遇？ ②在第二次相遇前，经过多长时间两人在跑道上相距100米？ 六、解答题（本大题共12分） 23．期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． （1）若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值． （2）请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程 x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的一元一次方程 （y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝ ▲ ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）的值为多少？ （3）在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？ 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1． 下列一元一次方程中，解为x=-2的方程是（　　） A．- 2x+5=1 B．x-1=-5-x C．x+5=5-x D．4-x=x 【答案】B 【解析】解：A、代入x=-2，方程左边为9，方程右边为1，左边≠右边，选项不符合题意； B、代入x=-2，方程左边为-3，方程右边为-3，左边=右边，选项符合题意； C、代入x=-2，方程左边为3，方程右边为7，左边≠右边，选项不符合题意； D、代入x=-2，方程左边为6，方程右边为-2，左边≠右边，选项不符合题意； 故答案为：B. 2．下列说法正确的是（　　） A．由7x=4x-3移项得7x-4x=-3 B．由去分母得2（2x-1）=1+3（x-3） C．由2（2x-1）-3（x-3）=1去括号得4x-2-3x-9=4 D．由2（x-1）=x+7移项合并同类项得x=5 【答案】A 【解析】解：A.由7x=4x-3移项得7x-4x=-3，故A正确； B.去分母得2(2x-1)=6+3(x-3)，故B错误； C.把2(2x-1)-3(x-3)=1去括号得4x-2-3x+9=1，故C错误； D.2(x-1)=x+7，2x-2=x+7，2x-x=7+2，x=9，故D错误. 故答案为：A. 3．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x－3）－■＝x＋1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】把x＝9代入方程2（x－3）－■＝x＋1得2×6-■＝10 ∴■=12-10=2 故答案为：C． 4．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，问人数和物品价格各是多少？设有x人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C． D． 【答案】A 【解析】∵每人出8钱，则多3钱； ∴ 物品价格为8x-3 ∵每人出7钱，则差4钱， ∴ 物品价格为7x+4 ∴8x-3=7x+4 故选A. 5．在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（　　） A． B．6+2x＝14﹣x C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x） 【答案】D 【解析】解：标字母如图所示： 设AE=xcm，MD=3xcm，则AM=（14-3x）cm， ∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（14-3x）cm， ∴AB=AE+MR， 即6+2x=x+（14-3x） 故答案为：D． 6．高州木偶戏被誉为“百年古傀儡，时代新经典”，被国务院列入“第一批国家级非物质文化遗产名录”．木偶戏以杖头木偶为主，附加布袋木偶．木偶造型十分精巧，它用坚韧的木料加工成型后，采用变形夸张的手法，进行彩绘、装潢，使之形神兼备，栩栩如生．某商铺以每个m元的价格从A厂购置了206个木偶造型的制作材料，以每个n元 的价格从B厂购置了194个木偶造型的制作材料，经加工后以每个 元的价格全部卖出，则这家商铺（　　） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏情况不能确定 【答案】B 【解析】解：∵ ， ∴ ， 所以亏损了， 故答案为：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若方程 是关于x的一元一次方程，则a=　 　． 【答案】-4 【解析】解：由方程 是关于x的一元一次方程， ， ， ， ， ， 则 ． 故答案为：-4． 8．在一条可以折叠的数轴上，点 ， 表示的数分别是 ，5，如图，以点 为折点，将此数轴向右对折，使点 落在点 右侧 处，若 到点 的距离是1，则 点表示的数是　 　. 【答案】-1 【解析】解：设点C表示的数是 ， 对应的数是 则 由 解得： ∴点C表示的数是-1. 故答案为：-1. 9．一个两位数，个位上的数字与十位上数字之和是7，将十位和个位对调后的新数比原数的2倍还大2，则原两位数是　 　. 【答案】25 【解析】解：设原来个位数字是x，十位数字是7-x， 2[10（7-x）+x]+2=10x+7-x， x=5. 7-x=7-5=2. 原数为25. 故答案为：25. 10．定义一种新的运算“ ⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如： ，则方程的解为　 　． 【答案】 【解析】解： ∵， ∴， =， ∵， ∴=， 解得：x=. 故答案为：. 11．如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则　 　． 【答案】-8 【解析】解：将x=2代入方程得2(2k+2n)-3=，整理得，k为任意值都成立，则得m=-8，4-4n=0，n=1 故答案为：-8. 12．对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如按照这个规定，方程的解为　 　 ． 【答案】 【解析】①当x≥-x，即x≥0时， ， 解得x=-1，不符合题意； ②当x<-x，即x<0时， ， 解得：，符合题意， 综上，. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解方程： （1） （2） 【答案】（1）解： 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 ∴方程的解为 （2）解： 去分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 ∴方程的解为 . 14． 小明解关于y的一元一次方程3(y＋a)＝2y＋4，在去括号时，将a漏乘了3，得到方程的解是y＝3，请你求出a的值及方程正确的解． 【答案】解：由题意得y=3是关于y的方程3y+a=2y+4的解，解得a=1. 则原方程可化为3(y+1)=2y+4，解得y=1， 所以a的值是1，方程正确的解是y=1 15．已知方程与关于 x 的方程3a-8=2（x+a）-a的解相同． （1）求 a 的值； （2）若 a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求（a + b - c）2022的值． 【答案】（1）解：， 去括号得： 3x-1=2x+7， 移项合并得：x=8， 把x=8代入3a-8=2（x+a）-a中得：3a-8=2（8+a）-a， a=12； （2）解：由题意得：b=-12，c=±1， ∴（a+b-c）2022=（0±1）2022=1． 16．已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． （1）求p的值； （2）若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】（1） 解：∵ ∴= =2 =（2p-2）x+5 ∵的值与x无关 ∴2p-2=0 ∴p=1 （2）或 解：∵ ∴ ∵q为整数，x是正整数，且， ∴q=3时，x=2或q=1时，x=4 ∴或 17．下面有四张卡片，其上分别写有相应的有理数． （1）求最大数与最小数的差； （2）若再添上一个有理数x，使得五个有理数的和为0，求x的值． 【答案】（1）解：由题意得：∵， ∴最大有理数为，最小有理数为， ∴最大数与最小数的差：； （2）解：∵再添上一个有理数x，五个有理数的和为0， ∴， 解得：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．定义一种新运算“”： ，比如：． （1）求的值： （2）已知，请根据上述运算，求值． 【答案】（1）； =4×（—5）—3×（—2）=-20+6=—14 （2）3. ∵ ∴4—3=8 12-16-3-3=8 9=27 =3 19．已知，现规定符号表示大于或等于的最小整数，如 （1）填空：　 　，　 　，若，则的取值范围是　 　； （2）某市的出租车收费标准如下：以内（包括）收费5元，超过的，每超过，加收1.2元（不足的按计算）．用（单位：）表示所行驶的路程，（单位：元）表示行驶应付的乘车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当时，； 当时，． 某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客乘车路程的取值范围． 【答案】（1）1；9； （2）解：根据题意得：， 解得：， ， 答：乘客所乘路程的取值范围为． 20．某人去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家苹果．这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，批发价各不相同. A家规定：批发数量不超过1000千克，按全部零售价的92%优惠；批发数量超过1000千克不超过2000千克，按全部零售价的90%优惠；超过2000千克的按全部零售价的88%优惠.B家的规定如下表： 数量范围（千克) 0～500 500以上～1500 1500以上～2500 2500以上 价格（元) 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% 零售价的70% 【表格说明：批发价格分段计算，如：某人批发苹果2100千克，则总费用6x95%×500+6×85%×1000+6×75%×(2100-1500)】 （1）如果他批发600千克苹果，则他在A家批发需要　 　元，在B家批发需要　 　元； （2）如果他批发x千克苹果(2000<x<2500)，则他在A家批发需要　 　元，在B家批发需要　 　元（用含x的代数式表示)； （3）现在他要批发10956元苹果，应该选择哪一家水果店?请说明理由. 【答案】（1）3312；3360 （2）5.28x；(4.5x+1200) （3）解：由5.28x=10956，解得x=2075， ∴他在A家批发2075千克苹果， 由4.5x+1200=10956，解得x=2168， ∴他在B家批发2168千克苹果， ∴应该选择A家水果店. 【解析】解：（1） 批发600千克苹果， 在A家批发需要6×92%×600=3312元， 在B家批发需要6x95%×500+6×85%×100=3360元， 故答案为：3312；3360； （2） 批发x千克苹果(2000<x<2500)， 在A家批发需要6×88%×=5.28x元， 在B家批发需要6x95%×500+6×85%×1000+6×75%（x-1500）=（4.5x+1200）元， 故答案为：5.28x；4.5x+1200； 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” （1）判断：　 　（填“是”或“不是”） 的“优雅方程”． （2）若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． （3）若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 【答案】（1）是 （2）-18 （3）m=1，n= 6或m=2，n=-3或m=3，n= -2或m=6，n=-1 【解析】（1）解方程x+1=0，解得：2=-1， 解方程-3x+5=4x+12， 4x +3x =5 -12 7x=-7 x=-1 因为-1和-1是互为倒数， ∴x+1=0是方程-3x+5=4x+12的“优雅方程”； （2）∵方程与关于x的方程互为“优雅方程”， ∴方程与关于x的方程的解互为倒数， 解方程2(x+4)-9=0 2x+8-9=0 2x=1 x=， ∵的倒数为2， ∴关于x的方程的解为x=2， 把x=2代入关于x的方程中得， 4-(a+10)=12，解得a=-18， （3）解方程mx+2=1 mx=-1 x=， 解方程1=7-nx nx=6 x=， ∵关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”， ∴ 即， ∴mn =-6， ∵m为正整数，n为负整数， ∴m=1， n =-6； m = 2， n=-3； m =3， n =-2； m=6，n=-1； 综上可知：m=1， n= 6或m=2，n=-3或m=3，n= -2或m=6，n=-1. 22．综合与实践：如图，这是我市某校校园内的环形跑道，跑道是由线段，及半圆，组成的，已知跑道的周长为400米，半圆，的长都为88米，，和分别是线段和的中点．（请用方程的相关知识解决下列问题）． （1）求线段的长； （2）小明和小英在如图所示的环形跑道上练习跑步，已知小明、小英两人分别从点，两处同时沿着箭头方向出发，小明的速度是6米秒，小英的速度是4米秒． ①多长时间后，两人首次相遇？ ②在第二次相遇前，经过多长时间两人在跑道上相距100米？ 【答案】（1）56米 解：AC=BD=(400-88×2)÷2=112（米）， ∵是线段AC的中点， ∴AE=AC÷2=56（米）， 答：线段AE的长为56米； （2）①20秒后，两人首次相遇；②在首次相遇后、第二次相遇前，经过30秒或50秒两人在跑道上相距100米 ①设x秒后，两人首次相遇， 根据题意得（6+4）x=400÷2， 解得x=20， 答：20秒后，两人首次相遇； ②设在第二次相遇前，经过y秒两人在跑道上相距100米， 根据题意得（6+4）x-400÷2=100或（6+4）x-400÷2=400-100， 解得x=30或x=50， 答：在第二次相遇前，经过30秒或50秒两人在跑道上相距100米． 六、解答题（本大题共12分） 23．期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． （1）若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值． （2）请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程 x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的一元一次方程 （y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝ ▲ ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）的值为多少？ （3）在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？ 【答案】（1）解：∵x3=-8， ∴x=-2； （2）解：①6； ②根据题意得：a=n+y，b=x+n，c=x+m，d=m+y， ∴（a-b）+（d-c）= n+y-x-n++y-x-m=2y-2x， 当x=-2，y=6时，原式=2×6-2×（-2）=16， 故答案为16； （3）解：设运动时间为t秒， 当t＜2时， ①点P，Q在点O的两侧时，OP=2-t，OQ=6-4t， ∴6-4t=2（2-t）， ∴t=1， ②点P，Q在点O的左侧时，OP=2-t，OQ=4t-6， ∴4t-6=2（2-t）， ∴t=， 当2≤t≤4时， ③点P，Q在点O的两侧时，OP=t-2，OQ=2-4（t-2）， ∴2-4（t-2）=2（t-2）， ∴t=， ④点P，Q在点O的右侧时，OP=t-2，OQ=4（t-2）-2， ∴4（t-2）-2=2（t-2）， ∴t=3， ∴P点运动的时间为1秒或秒或秒或3秒. 【解析】解：（2）①把x=-2代入方程x-3=5x-p， 得：-1-3=-10-p， ∴p=-6， ∴方程（y﹣8）-3＝5（y﹣8）-p化为：（y﹣8）-3＝5（y﹣8）+6， ∴y=6， 故答案为：6； 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$