5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质①——周期性及奇偶性课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.4 正弦函数、余弦函数的性质① 课本P201 1 学习目标 新课程标准 核心素养 1.理解周期函数、周期、最小正周期等的含义. 数学抽象 2.利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性． 数学建模 3.求正弦、余弦形函数的单调区间． 逻辑推理 4.让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质． 数学建模 复习导入 口答：下列常见函数的三角函数值 复习导入 口诀：奇变偶不变，符号看象限 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 公式八 sin cos tan 口答：下列诱导公式 与轴的交点 图象的最高点 图象的最低点 正弦函数的五个关键点： 与轴的交点 图象的最高点 图象的最低点 余弦函数的五个关键点： 复习导入 探索新知 下面先研究正余弦函数的性质. 定义域、值域 单调性、奇偶性 最值 周期性、对称性 课本P201 探索新知 1 -1 1 -1 正弦函数 余弦函数 函数图像 定义域 值域 周期 奇偶性 对称性 对称轴 对称中心 单调性 递增区间 递减区间 最值点 最小值 最大值 定义域、值域 1 -1 1 -1 正弦函数 余弦函数 函数图像 定义域 值域 思考1：回忆下我们是如何作正弦函数的图象的？ 向右平移2π 向左平移2π 向右平移4π 周期性 数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律. 周期性 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 注：(1)周期函数的周期不止一个. 事实上，由，我们可知： 常数都是它的周期. (2)若函数的周期是，则也是的周期. 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 正弦函数是周期函数，都是它的的周期，最小正周期是. 周期性 思考2：类比于正弦函数，试探究余弦函数的周期性. 余弦函数也是周期函数，最小正周期是. 辨析1：判断正误. (1)若，则是函数的一个周期.（ ） (2)所有的周期函数都有最小正周期.（ ） 答案：×，×. 解：(1)有 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 (2)令由得，且的周期为，即 ，于是， 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. 小试牛刀 例2.求下列函数的周期： (1) (2) (3) 课本P201 题型一 　正余弦函数的周期性 小试牛刀 例2.求下列函数的周期： (1) (2) (3) 解：(3)令由得，且的周期为，即 ，于是， 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. 题型一 　正余弦函数的周期性 课本P201 周期性 函数 周期   课本P202 周期性 做笔记！ 仿照上述分析过程可得函数 y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为： T 小试牛刀 课本P203 求周期函数最小正周期的常用方法: (1)定义法: 利用周期函数的定义求解． (2)公式法: T＝. (3)图象法: 通过图象直接观察即可． 题型一 　正余弦函数的周期性 奇偶性 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y=sinx (xR) x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y y=cosx (xR) 是奇函数 是偶函数 sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR) 定义域关于原点对称 思考3： 观察正弦函数、余弦函数的图像，探究他们函数的奇偶性？ 小试牛刀 题型二 　正余弦函数的奇偶性 课本P203 判断函数奇偶性的方法 (1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面: ①函数的定义域是否关于原点对称; ②f(-x)与f(x)的关系; (2)判断函数的奇偶性常用方法是: ①定义法; ②图象法. 小试牛刀 题型二 　正余弦函数的奇偶性 变2.判断下列函数的奇偶性： (1) (2) 解：(1)据题意，定义域为实数R，关于原点对称. ∵ ∴函数是偶函数. 小试牛刀 题型二 　正余弦函数的奇偶性 例3.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解：是偶函数，是偶函数，是偶函数，是奇函数，且由周期公式可知其最小正周期为. 变3.定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则等于（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解： 课堂小结 1 -1 1 -1 正弦函数 余弦函数 函数图像 定义域 值域 周期 奇偶性 作业与反思 $$