清单05 用样本推断总体（考点清单，4个考点梳理+5个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期湘教版

清单05 用样本推断总体（4个考点梳理+5个题型解读+提升训练） 【清单1】 用样本平均数估计总体平均数 一般地,如果有n个数，我们把叫作这n个数的算术n平均数,简称平均数,记作,读作“x拔” 【清单2】用样本方差估计总体方差 设有n个数，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫作方差，用表示. 【清单3】 用样本的“率”估计总体相应的“率” 在实践中,我们常常通过简单随机抽样用样本的“率”去估计总体相应的“率”. 【清单4】 用统计思想做决策或预测 (1)通过科学调查,在取得真实可靠的数据后,我们可以运用正确的统计方法来推断总体,除此之外,还可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测,为正确的决策提供服务. (2)根据已有的资料(比如近几年内的数据)确定的一条曲线,可以用来预测事物在未来一段时间内的发展趋势. 【考点题型一】用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 【例1】某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这500名同学的家庭一个月节约用水的总量，熟练掌握加权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ， 故选：C． 【变式1 -1】小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 示数（度） 98 103 108 112 117 121 根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（    ） A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度 【答案】D 【分析】本题考查求平均数，利用样本估计总体，根据平均数估计总量即可． 【详解】解：（度）； 故选D． 【变式1 -2】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为 ． 【答案】100 【分析】此题考查了求平均数，样本平均数估计总体，解题的关键是熟练掌握求平均数的方法．首先求出样本的平均数，然后估算全体同学家中用水总量． 【详解】解：5名同学的用水量平均数为： 那么全班同学家的用水总量约为： 故答案为：100． 【变式1 -3】某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70  70  70  71  71  73  75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m和n的值； (2)若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 【答案】(1)80，72 (2)160000元 【分析】本题考查求平均数和总位数，利用样本平均数计算总体： （1）根据平均数和中位数的确定方法，进行求解即可； （2）利用样本估计总体，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 中位数是第10，11两个数的平均数， 故； （2）（元）． 故甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额事160000元． 【考点题型二】由样本所占百分比估计总体的数量 【例2】为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（   ）条． A．4000 B．5000 C．10000 D．2000 【答案】B 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟知总体数目部分数目相应频率是解题的关键．根据总体数目部分数目相应频率求解即可． 【详解】解：鱼塘中估计有鱼条， 故选：． 【变式2 -1】近年来，红荷湿地环境保护效果显著，候鸟种群越来越多．为了解湿地某区域的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡，由此估计该区域约有 只A种候鸟． 【答案】960 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．根据在样本中“120只A种候鸟中有5只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该该区域约有x只A种候鸟， 则， 解得． 故答案为：． 【变式2 -2】连日来，一批批冬候鸟陆续飞抵衡南江口鸟洲，候鸟种群也越来越多，为了解到该区域的种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，100只种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只种候鸟． 【答案】 【分析】本题考查的是通过样本去估计总体；在样本中只种候鸟中有只佩有识别卡，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答． 【详解】解：设该湿地约有只种候鸟， 则， 解得． 即估计该湿地的种候鸟约有只． 故答案为：． 【变式2 -3】云南地理中考学业水平考试的卷面满分为100分，若学生成绩大于或等于60分，则地理成绩以10分记入中考总分；若成绩小于60分，则成绩乘百分之十记入中考总分．某校为了及时了解学生的地理学习情况，随机抽取了一部分八年级学生的地理期末成绩（成绩为整数）为样本，分为A（80分～100分），B（70分～79分），C（60分～69分），D（0分～59分）四个分数段进行统计，绘制如下统计表和扇形图． 分数段 A B C D 人数 10 b 5 d (1)这次随机抽取的学生共有多少人？ (2)请求出D部分所对的圆心角的度数． (3)对于成绩在C、D两部分的学生，老师需要给予额外的辅导，这个学校八年级学生共有800人，请估计老师需要给多少名学生额外辅导． 【答案】(1)50人 (2) (3)96名 【分析】（1）由A分数段人数及其所占百分比可得答案； （2）先求出B、D分数段人数，再用乘以D分数段人数所占比例即可； （3）总人数乘以样本中C、D分数段人数所占比例即可． 本题主要考查统计表和扇形统计图． 【详解】（1）解：（人）， 答：这次随机抽取的学生共有50人； （2）B分数段人数为（人）， 则D分数段人数为（人）， ∴D部分所对的圆心角的度数为 ； （3）（人）， 答：估计老师需要给96名学生额外辅导． 【考点题型三】由样本所在的频率区间估计总体的数量 【例3】我市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 人． 【答案】6000 【分析】本题考查了样本估计总体，属于简单题，熟悉频率的计算公式是解题关键． 先求出500名学生中视力不良的学生所占的频率，再用30000乘以频率即可解题． 【详解】解：500名学生中视力不良的学生所占的频率为， ∴30000名学生中视力不良的学生有名， 故答案为：6000． 【变式3 -1】中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 2000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50分． 为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分） 作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 频数分布表 成绩x/分 划记 频数 50≤x<60 正正 10 60≤x<70 正正正正 20 70≤x<80 正正正正正正 30 80≤x<90 a 90≤x≤100 80 合计 200 (1)请补全频数分布直方图 (2)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； (3)若成绩不低于 90 分的为“优”等，则该校参加这次比赛的 2000 名学生中成绩“优”等的大约有多少人？ 【答案】(1)图见解析 (2) (3)2000名学生中成绩“优”等大概800人 【分析】（1）由表知，样本容量为200，则200减去其它已知频数即可求得a的值，则可补充直方图； （2）数据按从小到大的顺序排列后，第100个与第 101个数据是最中间的两个数，根据频数表即可作出判断； （3）求出样本中成绩“优”等的频率，则频率与参加比赛的总人数的积就是“优”等的众数． 【详解】（1）解：由表知，样本容量∶， ， ∴直方图如图所示： （2）解：一共200个数据，按从小到大的顺序排列后，第100个与第 101个数据都落在第四个分数段 ∴中位数会落在分数段， （3）解：样本中成绩“优”等的频率为，（人）， ∴2000名学生中成绩“优”等大概800人． 【点睛】本题考查了频数分布直方图与频数分布表，用样本频率估计总体数量，中位数，求频率等知识，充分利用频数分布表是解题的关键． 【变式3 -2】为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字书写”比赛，为了解本次比赛的成绩（成绩x取整数，总分分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表： 频数频率分布表 成绩x（分） 频数（人） 频率 a b 根据所给信息，解答下列问题： (1) ， ；并补全频数分布直方图． (2)这名学生成绩的中位数会落在 分数段． (3)若成绩在分以上（包括分）为“良”等，请你估计该校参加本次比赛的名学生中成绩是“良”等的约有多少人？ 【答案】(1)，；补全频数分布直方图见解析 (2) (3)该校参加本次比赛的名学生中成绩是“良”等的约有人 【分析】（1）由题意知，调查人数为（人），则，（人），然后补图即可； （2）根据中位数为第，位数的平均数，求解作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，调查人数为（人）， ∴，（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由题意知，中位数为第，位数的平均数， ∵， ∴中位数在， 故答案为：； （3）解：∵（人）， 答：该校参加本次比赛的名学生中成绩是“良”等的约有人． 【点睛】本题考查了频数分布表，条形统计图，中位数，用样本估计总体等知识．熟练掌握频数分布表，条形统计图，中位数，用样本估计总体是解题的关键． 【变式3 -3】某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： (1)此次抽样调查的样本容量是_____； (2)补全频数分布直方图； (3)求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； (4)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受基本价格？ 【答案】(1)100； (2)见解析； (3)； (4)万户． 【分析】本题考查的是频数分布直方图与扇形图，利用样本估计总体，样本的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）由10到15吨这部分的数量除以其百分比即可； （2）先求解15到20吨这部分的数量，再补充统计图即可； （3）由乘以15吨～20吨这部分的百分比即可； （4）由总人数乘以25吨（含）以下这部分的百分比即可． 【详解】（1）解：， ∴此次抽样调查的样本容量是； （2）（户）， 补全图形如图所示 ． （3）， 答：“15吨-20吨”部分的圆心角度数为； （4）（万户） 答：该地7万用户中约有万户居民的用水全部享受基本价格． 【考点题型四】用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 【例4】我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（    ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 【答案】B 【分析】本题考查的是通过样本去估计总体． 根据总体频率约等于样本频率列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： （石， 故选：B． 【变式4 -1】为了解我市某学校“书香静校”的落实情况情况，校领导组在该校随机抽取40名学生，调查了他们一周阅读名著的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课内阅读不少于40分钟的人数占全校人数的百分数约等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了频数分布直方图，利用样本频率估计总体频率，掌握读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力是解题关键．由频数分布直方图可知，抽取40名学生中一周课内阅读不少于40分钟的人数为，即可求解． 【详解】解：由频数分布直方图可知，抽取40名学生中一周课内阅读不少于40分钟的人数为， 该校学生一周课内阅读不少于40分钟的人数占全校人数的百分数约等于， 故选：D． 【变式4 -2】为丰富学生课余活动，某中学开展了“A科学类、B体育类、C生活实践类、D其他类”四类社团活动，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取六年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参加社团情况，根据调查绘制了如图所示不完整的条形统计图，其中选择A科学类的学生占所调查人数的30%，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，六年级（1）班学生总人数是多少人？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)该中学共有1600名学生，请估计该校参与体育类社团的学生有多少人？ 【答案】(1)40人 (2)见解析 (3)560人 【分析】本题考查的是从条形统计图，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）由A学科人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各学科人数和等于总人数求出C学科人数即可得出答案； （3）总人数乘以样本中体育社团人数所占比例即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：在这次调查中，六年级（1）班学生总人数是40人； （2）解：（人）， 补全统计图： （3）解：由样本估计总体得（人）， 答：估计该校参与体育类社团的学生有560人． 【变式4 -3】对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，二中初三学生会同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如下不完整的统计图： 根据以上统计信息，解答下列问题： (1)求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比； (2)求本次随机抽取问卷测试的人数； (3)请把条形统计图补充完整； (4)若初中高中共5000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？ 【答案】(1)； (2)200人； (3)见解析； (4)2750人． 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体． （1）用成绩是“优”所在扇形圆心角的度数除以360度即可； （2）用成绩是“优”的人数除以所占的百分比即可； （3）利用总人数减去其它组的人数即可求得成绩是“中”的人数，从而补全条形图； （4）利用总人数5000乘以成绩是“优”和“良”的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比是； （2）解：本次随机抽取问卷测试的人数是（人）； （3）解：成绩是“中”的人数是（人）． 条形统计图补充如下： （4）解：（人）． 答：成绩是“优”和“良”的学生共有2750人． 【变式4 -4】李大爷承包荒山种了棵苹果树，现已是第三年收获，收获时，随意采摘了棵树上的苹果，称得这棵树摘得的苹果质量分别为（单位：千克）：，，，，． (1)根据样本平均数估计这一年苹果总产量约为多少千克． (2)若市场上苹果售价为每千克元，则这一年李大爷的苹果收入将达多少元？ (3)已知李大爷第一年卖苹果收入为元，根据以上估算，试求第二年、第三年苹果收入的年平均增长率． 【答案】(1)这一年苹果总产量约为千克． (2)这一年李大爷的苹果收入将达元． (3)第二年、第三年苹果收入的年平均增长率为． 【分析】本题考查的知识点是求平均数、用样本估计整体、一元二次方程的实际应用，解题关键是根据等量关系列出正确的一元二次方程并求解． （1）根据平均数的计算公式即可求出样本平均数，然后乘以即是这年苹果的总产量； （2）根据用样本估计整体的思想，市场上的苹果售价乘以总产量即是这年的苹果的收入； （3）设年平均增长率为，依题意根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：依题得：样本平均数为， 则根据样本平均数估计这一年苹果总产量约为千克． 答：这一年苹果总产量约为千克． （2）解：结合（1）中求得的该年苹果总产量可得， 这一年李大爷的苹果收入将达元． 答：这一年李大爷的苹果收入将达元． （3）解：设苹果收入的年平均增长率为， 依题得：， 解得或（舍）， 即第二年、第三年苹果收入的年平均增长率为． 【考点题型五】用样本的频数估计总体的频数 【例5】高尔基说：“书是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活…给我们带来各种好处．某校积极响应教育局号召，开展以“书香校园”为主题的读书活动．六月末，学校对七年级学生在此次活动中的读书量进行了抽样调查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)被调查的学生中，被调查学生的总人数为______人，读书量达到2本的学生数占被调查学生总数的百分比为______； (2)补全学生课外读书数量条形统计图． (3)若该校七年级共有学生600人，请根据抽样调查的结果，估计该校七年级学生本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数______人． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3)估计该校七年级学生本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数约为312人． 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体．解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）用4本及以上对应的频数除以所占百分比可得总人数；根据3本所占的百分比求出读书量为3本的人数解答； （2）先求出读书量为1本和3本的人数，再补全统计图即可； （3）用读书数量不少于3本的学生人数，除以样本人数50，再乘以全校总人数600可得结果． 【详解】（1）解：被调查的学生中，被调查学生的总人数为：人， ∴读书量达到2本的学生数占被调查学生总数的百分比为：． 故答案为：50，； （2）解：读书为3本的人数：（人）， 读书为1本的人数：（人）， 补全统计图如下： ； （3）解：（人， 答：估计该校七年级学生本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数约为312人． 【变式5 -1】倡导经典诵读，传承中华文化，某校在月日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了名学生进行调查． 【收集数据】 【整理数据】 依据调查结果绘制了不完整的频数分布表： 本月 频数 合计 【描述数据】 根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图 (1)下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是______；（填字母） A．抽取名男生每月借阅图书数量组成样本 B．抽取名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本 C．在全校七年级随机抽取名学生每月借阅图书数量组成样本 (2)频数分布直方图中组距为______本； (3)补全频数分布直方图； (4)若该校七年级共有名学生，估计每月借阅图书数量至少有本的学生为多少名． 【答案】(1)； (2)； (3)图见解析； (4)估计每月借阅图书数量至少有本的学生约为名． 【分析】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意； （2）根据频数分布表中的数据可得答案； （3）根据抽取了名学生求出a的值，即可补全频数分布直方图； （4）用总数乘以借阅图书数量至少有本的比例即可得． 【详解】（1）解：根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的样本最具代表性和广泛性的是， 故选：； （2）根据频数分布表中的数据得：频数分布直方图中组距为本， 故答案为：； （3）， 补全数分布直方图如下： （4）（名）． 答：估计每月借阅图书数量至少有4本的学生约为390名． 【变式5 -2】某校为庆祝我国航天事业的发展，举办了航空航天作品展．为了解学生上交作品情况，随机调查部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制如下两幅统计图． 根据相关信息，解答下列问题： (1)补全两幅统计图； (2)所抽取学生上交作品件数的众数为________，中位数为________； (3)该校共有1200名学生，根据所抽取学生上交作品件数的平均数，估计上交的作品一共有多少件？ 【答案】(1)见解析 (2)3件；2件 (3)2640件 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数的知识，利用统计图获取信息是解答本题的关键． （1）根据0件作品的人数和所占比例求出抽查的总人数，再算出交2件的人数，从而求出交2件作品的所占比例，补全两图即可； （2）根据众数和中位数的定义进行求解即可； （3）求出平均数，再用平均数乘以即可得出最后结果． 【详解】（1）解：人， ∴抽取的总人数为40人， ∴交2件的人数为人，其占比为， 补全统计图如下所示： （2）解：因为上3交件的人数最多， 所以抽取学生上交作品件数的众数是3件． 按照上交作品的数量从低到高排列，第20个和第21个数据均是2件， 所以抽取学生上交作品件数的中位数是2件． （3）解：件， ∴所以估计上交的作品一共有2640件． 【变式5 -3】传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)90，90.5，25 (2)八年级的成绩更好，理由见解析 (3)575 【分析】本题考查了扇形统计图，求中位数，众数，由样本估计总体，由扇形统计图和题意得出必要信息和数据是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义可求得a和b的值，求出八年级20名学生的竞赛成绩在D组的人数，进而可得出m的值； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到七年级学生竞赛成绩较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：由七年级数据可知竞赛成绩是90分的最多， ∴众数为90， ∴； ∵八年级20名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， ∴在D组的有（人）， ∴八年级20名学生的竞赛成绩在D组的所占百分比为， ∴； ∵八年级20名学生的竞赛成绩的中位数为按从小到大顺序排列的第10和11位的平均数， ∴中位数位于C组且按从小到大顺序排列的第1和2位的平均数， ∴中位数为， ∴； （2）解：∵七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大， ∴八年级的成绩更好； （3）解：， 答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有575人． 【变式5 -4】为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______； (2)该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【答案】(1)8，8 (2)228人 (3)，九年级成绩更稳定 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义计算即可； （2）用总人数乘以样本中满分的同学所占的百分比即可； （3）根据两个年级方差解答即可． 本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数， 根据中位数的计算方法可得，八年级的中位数是第25，26个人的分数的一半，即， ， 故答案为：8，8； （2）解：（人）， 答：估计满分有228人； （3）解：依题意，九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差： ， ∵八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，且， ∴九年级成绩更稳定． 【变式5 -5】为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动．某校为了了解全校1000名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计，根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在的学生人数占．根据以上信息及统计图解答下列问题： (1)本次调查属于 调查，样本容量是 ； (2)请补全频数分布直方图中空缺的部分； (3)估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数． 【答案】(1)抽样，50 (2)见解析 (3)估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数约为300人 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意可知本次调查为抽样调查，并写出样本的容量； （2）根据题目中的数据可以计算出小时的学生人数，然后即可计算出小时的学生人数，从而可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据直方图中的数据可以计算出全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数． 【详解】（1）解：由题意可得，本次调查属于抽样调查，样本容量是50， 故答案为：抽样，50； （2）解：， ， ∴抽取的样本中，活动时间在的学生有8名，活动时间在的学生有12名． 因此，可补全直方图如图． （3）解：(人)， 答：估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数约为300人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 用样本推断总体（4个考点梳理+5个题型解读+提升训练） 【清单1】 用样本平均数估计总体平均数 一般地,如果有n个数，我们把叫作这n个数的算术n平均数,简称平均数,记作,读作“x拔” 【清单2】用样本方差估计总体方差 设有n个数，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫作方差，用表示. 【清单3】 用样本的“率”估计总体相应的“率” 在实践中,我们常常通过简单随机抽样用样本的“率”去估计总体相应的“率”. 【清单4】 用统计思想做决策或预测 (1)通过科学调查,在取得真实可靠的数据后,我们可以运用正确的统计方法来推断总体,除此之外,还可以利用已有的统计数据来对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测,为正确的决策提供服务. (2)根据已有的资料(比如近几年内的数据)确定的一条曲线,可以用来预测事物在未来一段时间内的发展趋势. 【考点题型一】用样本平均数(方差)估计总体平均数(方差) 【例1】某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【变式1 -1】小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 示数（度） 98 103 108 112 117 121 根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（    ） A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度 【变式1 -2】随机抽查某班5名同学，记录自己家中一周内用水量，分别为：，，，，．如果该班有40名学生，估计一周内该班全体同学家中用水总量约为 ． 【变式1 -3】某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70  70  70  71  71  73  75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m和n的值； (2)若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 【考点题型二】由样本所占百分比估计总体的数量 【例2】为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在左右，则鱼塘中估计有鱼（   ）条． A．4000 B．5000 C．10000 D．2000 【变式2 -1】近年来，红荷湿地环境保护效果显著，候鸟种群越来越多．为了解湿地某区域的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，120只A种候鸟中有5只佩有识别卡，由此估计该区域约有 只A种候鸟． 【变式2 -2】连日来，一批批冬候鸟陆续飞抵衡南江口鸟洲，候鸟种群也越来越多，为了解到该区域的种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，100只种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只种候鸟． 【变式2 -3】云南地理中考学业水平考试的卷面满分为100分，若学生成绩大于或等于60分，则地理成绩以10分记入中考总分；若成绩小于60分，则成绩乘百分之十记入中考总分．某校为了及时了解学生的地理学习情况，随机抽取了一部分八年级学生的地理期末成绩（成绩为整数）为样本，分为A（80分～100分），B（70分～79分），C（60分～69分），D（0分～59分）四个分数段进行统计，绘制如下统计表和扇形图． 分数段 A B C D 人数 10 b 5 d (1)这次随机抽取的学生共有多少人？ (2)请求出D部分所对的圆心角的度数． (3)对于成绩在C、D两部分的学生，老师需要给予额外的辅导，这个学校八年级学生共有800人，请估计老师需要给多少名学生额外辅导． 【考点题型三】由样本所在的频率区间估计总体的数量 【例3】我市关心下一代工作委员会为了了解全市初三学生的视力状况，从全市30000名初三学生中随机抽取了500人进行视力测试，发现其中视力不良的学生有100人，则可估计全市30000名初三学生中视力不良的约有 人． 【变式3 -1】中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 2000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50分． 为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了 200 名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分） 作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 频数分布表 成绩x/分 划记 频数 50≤x<60 正正 10 60≤x<70 正正正正 20 70≤x<80 正正正正正正 30 80≤x<90 a 90≤x≤100 80 合计 200 (1)请补全频数分布直方图 (2)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； (3)若成绩不低于 90 分的为“优”等，则该校参加这次比赛的 2000 名学生中成绩“优”等的大约有多少人？ 【变式3 -2】为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字书写”比赛，为了解本次比赛的成绩（成绩x取整数，总分分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表： 频数频率分布表 成绩x（分） 频数（人） 频率 a b 根据所给信息，解答下列问题： (1) ， ；并补全频数分布直方图． (2)这名学生成绩的中位数会落在 分数段． (3)若成绩在分以上（包括分）为“良”等，请你估计该校参加本次比赛的名学生中成绩是“良”等的约有多少人？ 【变式3 -3】某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： (1)此次抽样调查的样本容量是_____； (2)补全频数分布直方图； (3)求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数； (4)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受基本价格？ 【考点题型四】用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 【例4】我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（    ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 【变式4 -1】为了解我市某学校“书香静校”的落实情况情况，校领导组在该校随机抽取40名学生，调查了他们一周阅读名著的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课内阅读不少于40分钟的人数占全校人数的百分数约等于（   ） A． B． C． D． 【变式4 -2】为丰富学生课余活动，某中学开展了“A科学类、B体育类、C生活实践类、D其他类”四类社团活动，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取六年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参加社团情况，根据调查绘制了如图所示不完整的条形统计图，其中选择A科学类的学生占所调查人数的30%，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，六年级（1）班学生总人数是多少人？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)该中学共有1600名学生，请估计该校参与体育类社团的学生有多少人？ 【变式4 -3】对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，二中初三学生会同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如下不完整的统计图： 根据以上统计信息，解答下列问题： (1)求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比； (2)求本次随机抽取问卷测试的人数； (3)请把条形统计图补充完整； (4)若初中高中共5000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？ 【变式4 -4】李大爷承包荒山种了棵苹果树，现已是第三年收获，收获时，随意采摘了棵树上的苹果，称得这棵树摘得的苹果质量分别为（单位：千克）：，，，，． (1)根据样本平均数估计这一年苹果总产量约为多少千克． (2)若市场上苹果售价为每千克元，则这一年李大爷的苹果收入将达多少元？ (3)已知李大爷第一年卖苹果收入为元，根据以上估算，试求第二年、第三年苹果收入的年平均增长率． 【考点题型五】用样本的频数估计总体的频数 【例5】高尔基说：“书是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活…给我们带来各种好处．某校积极响应教育局号召，开展以“书香校园”为主题的读书活动．六月末，学校对七年级学生在此次活动中的读书量进行了抽样调查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1)被调查的学生中，被调查学生的总人数为______人，读书量达到2本的学生数占被调查学生总数的百分比为______； (2)补全学生课外读书数量条形统计图． (3)若该校七年级共有学生600人，请根据抽样调查的结果，估计该校七年级学生本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数______人． 【变式5 -1】倡导经典诵读，传承中华文化，某校在月日世界读书日开展读书活动，为了解七年级学生每月借阅图书数量，随机抽取了名学生进行调查． 【收集数据】 【整理数据】 依据调查结果绘制了不完整的频数分布表： 本月 频数 合计 【描述数据】 根据频数分布表中的数据绘制成不完整的频数分布直方图 (1)下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是______；（填字母） A．抽取名男生每月借阅图书数量组成样本 B．抽取名成绩较好的学生每月借阅图书数量组成样本 C．在全校七年级随机抽取名学生每月借阅图书数量组成样本 (2)频数分布直方图中组距为______本； (3)补全频数分布直方图； (4)若该校七年级共有名学生，估计每月借阅图书数量至少有本的学生为多少名． 【变式5 -2】某校为庆祝我国航天事业的发展，举办了航空航天作品展．为了解学生上交作品情况，随机调查部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制如下两幅统计图． 根据相关信息，解答下列问题： (1)补全两幅统计图； (2)所抽取学生上交作品件数的众数为________，中位数为________； (3)该校共有1200名学生，根据所抽取学生上交作品件数的平均数，估计上交的作品一共有多少件？ 【变式5 -3】传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 b 91 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 【变式5 -4】为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 平均数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：表中的______，______； (2)该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？ (3)求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差，并比较八、九年级哪个年级成绩更稳定？ 【变式5 -5】为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动．某校为了了解全校1000名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计，根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在的学生人数占．根据以上信息及统计图解答下列问题： (1)本次调查属于 调查，样本容量是 ； (2)请补全频数分布直方图中空缺的部分； (3)估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$