2.2.3二次函数y = a(x-h)2和 y =a(x-h)2+k的图象与性质课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数　 2 二次函数的图象与性质 　 北师大版-数学-九年级下册 第3课时 二次函数y = a(x-h)2 和 y =a(x-h)2+k的图象与性质 　 学习目标 【重点】会画y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象，理解其性质. 【难点】掌握y=ax2，y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k（a≠0）之间的联系. 1.会画二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象. 2.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a≠0)的性质. 3.掌握二次函数y=ax2，y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a≠0)之间的联系． 新课导入 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象有什么关系？ 二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0时,向下平移 |c|个单位长度得到. 二次函数 y = a(x-h)2 的图象是否可以由 y = ax2 平移得到？ 新知探究 画二次函数y=2(x-1)2的图象 （1）完成下表： 知识点 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 1 x -4-4 -4 50 -2 -1 0 1 2 3 -3 4 0 2 8 18 32 2 8 18 32 0 2 8 18 2 8 18 32 观察上表，你能发现2(x-1)²与2x²的值有什么关系？ 新知探究 （2）画出y=2(x-1)²的图象.你是怎么画的？与同伴进行交流. 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 新知探究 议一议： （1）二次函数y=2(x-1)²的图象与二次函数 y=2x²的图象有什么关系？ 二次函数y=2(x-1)²的图象可由二次函数 y=2x²的图象向右平移一个单位长度得到 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y （2）它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 开口方向向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，0） 新知探究 （3）当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，y 的值随 x 值的增大而减小？ 当 x ＞1时，y 的值随 x 值的增大而增大；当 x ＜1时，y 的值随 x 值的增大而减小. 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y x>1 x<1 新知探究 类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)²的图象与二次函数y=2x²的图象有什么关系吗？ 将二次函数y=2(x+1)²的图象与二次函数y=2x²，y=2(x-1)²的图象画在同一个平面坐标系中，如图. 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y y=2x² 向左平移一个单位长度 向右平移一个单位长度 y=2(x-1)² y=2(x+1)² 易得： 新知探究 图象性质： 表达式 开口 对称轴 顶点 最值 向上 x=0 (0,0) 当x=0时， 向上 x=-1 (-1,0) 当x=-1时， 向上 x=1 (1,0) 当x=1时， 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 新知探究 归纳总结： y=a(x-h)2 当h>0时，向右平移h个单位长度; 当h<0时，向左平移|h|个单位长度. 二次函数 的图象与 的图象的关系： y=ax2 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. 新知探究 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,0) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时， 向下 x=h (h,0) 当x=h时， 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质: y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 新知探究 随堂练习： 1. 把抛物线 y = -3x2 沿着 x 轴方向平移 2 个单位长度，那么平移后抛物线的表达式是 . 2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是 . y = -3(x+2)2 或y = -3(x-2)2 x= 新知探究 由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流. 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 2 方法一:函数y=2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度. 方法二:函数y=2x2先向下平移个单位长度，再向左平移3个单位长度. 新知探究 y=a(x-h)2+k 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,k) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时， 向下 x=h (h,k) 当x=h时， 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质: y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 新知探究 归纳总结： 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=a (x-h)2+k 向上a>0 直线x=h （h,k） 向下a<0 课堂小结 当 a>0,开口向上；当 a<0,开口向下. 对称轴是 x = h, 顶点坐标是(h,k). 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2 形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x-h)2+k 图象与性质 图象特点 平移规律 课堂训练 1. （2023•海陵区校级二模）已知点A（a,2），B（b,6），C（c,d）都在抛物线y=（x-1）2-2上，d＜1．下列选项正确的是（　　） A．若a＜0，b＜0，则b＜c＜a B．若a＞0，b＜0．则b＜a＜c C．若a＜0，b＞0，则a＜c＜b D．若a＞0，b＞0，则c＜b＜a C 课堂训练 2.（2023•雁塔区一模）对于二次函数y=-4（x+6）2-5的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴交点的坐标是（0，5） B．对称轴是直线x=6 C．顶点坐标为（-6，5） D．当x＜-6时，y随x的增大而增大 D 课堂训练 3. （2023•立山区一模）二次函数y=a（x-2）2+c与一次函数y=cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　） B A B C D 课堂训练 5.（2023秋•西华县月考）将二次函数y=3（x-1）2+2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的图象对应的表达式是 ． 4. （2023•宿豫区三模）抛物线y=（x-4）2+5的顶点坐标是 ． （4，5） y=3（x-3）2-1 课堂训练 6. （2023秋•朝阳区校级月考）已知二次函数y=-(x+1)2+4． （1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； 解：抛物线y=-(x+1)2+4的顶点坐标为(-1，4)，当x=0时，y=-(x+1)2+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3); 根据对称轴为直线x=-1，得抛物线必过点(-2,3)， 当y=0时，-(x+1)2+4=0.解得x1=1，x2=-3.则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0). 过以上五点描点、连线作出抛物线，如图. 课堂训练 （2）当-3≤x≤0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 解：当-3≤x≤0时，0≤y≤4． $$