2.2.2二次函数y =a x² 和 y =ax²+c的图象与性质 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数　 2 二次函数的图象与性质 　 北师大版-数学-九年级下册 第2课时 二次函数y =ax2 和 y =ax2+c的图象与性质 　 学习目标 【重点】会画y=ax2和y=ax2+c（a≠0）的图象，掌握两者之间的联系. 【难点】灵活运用y=ax2和y=ax2+c（a≠0）的图象，体会数与形的相互联系. 1.会画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象. 2.掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系. 3.能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决问题． 　　　　　　　　　　　　　　　 新课导入 回顾二次函数 y=x²和y=-x²的 图象和性质： 图象 开口 方向 对称性 顶点 最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 思考：有没有其他形式的二次函数？ 新知探究 画二次函数 的图象 （1）列表：观察 的表达式，选择适当的x值， 并计算相应的y值，完成下表： 知识点 二次函数y=ax2的图象与性质 1 x 4.5 2 0.5 0 0 0.5 0.5 1 2 1.5 4.5 -0.5 -1 -1.5 新知探究 （2）描点：在直角坐标系中描点. （3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，便得到 y = 2x2 的图象． 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 新知探究 对于二次函数 y = 2x2 的图象， （1）二次函数 y = 2x2 的图象的形状是什么？ 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. （3）图象的顶点坐标是什么？ 图象的顶点坐标是(0，0). 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y （2）图象的对称轴是什么？ 它的对称轴是y轴. 新知探究 （4）当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？ 当 x > 0 时呢？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. （5）当 x 取何值时，y 的值最小？ 最小值是什么？ 当x=0时, y的值最小，最小值是0. 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 新知探究 表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0 向上 y轴 (0,0) 当x=0时， y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 新知探究 在同一直角坐标系中，画出二次函数 ，y =x2，y =2x2的图象.它们的图象有什么相同和不同？ 想一想： x ··· -2 0000 ······ ··· ··· y =x2 ··· ··· y =2x2 ··· ··· 2 4 0.5 1 0 0 0.5 1 2 4 （1）列表 -2 -1 0 1 2 8 2 0 2 8 新知探究 （2）描点 （3）连线 y =x2 y=2x2 1.开口都向上，对称轴都是y轴. 2.当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 3.顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点. 相同点： 不同点： 开口大小不同， 抛物线的开口最大， y=2x2抛物线的开口最小． 新知探究 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = x2，y =-x2，y =-2x2的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？ 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,|a|越大，开口越小. 新知探究 在同一直角坐标系中，画出y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象. （1）列表 知识点 二次函数y=ax2+c的图象与性质 2 x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ··· y = 2x2＋1 ··· ··· y = 2x2－1 ··· ··· 9 5.5 3 1 3 5.5 9 7 3.5 1 －1 1 3.5 7 （2）描点 （3）连线 新知探究 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 1.二次函数 ， 的图象与二次函数 的图象有什么关系？ 二次函数y = 2x2向上平移一个单位长度，就得二次函数 y = 2x2+1；向下平移一个单位长度，就得二次函数 y = 2x2-1. 新知探究 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0 向上 y轴 (0,0) y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 当x=0时， 向上 y轴 (0,1) 当x=0时， y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 向上 y轴 (0,-1) 当x=0时， y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 2.它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性分别是什么呢？ 新知探究 归纳总结： 二次函数 与 的图象的关系： 二次函数 的图象可以由 的图象平移得到： 当c > 0时,向上平移c个单位长度得到. 当c < 0时,向下平移 -c个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 新知探究 归纳总结： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2 +c(a>0) y=ax2 +c(a<0) （0，c） （0，c） y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c<0时,与x轴相交(经过一二三四象限). 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限);当c>0时,与x轴相交(经过一二三四象限). 向上 向下 当x=0时,y的最小值为c. 当x=0时,y的最大值为c. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 课堂小结 二次函数y=ax2+c的图象及性质 图象及性质 与 y=ax2的联系 对于抛物线 y = ax 2+c （a＞0）,开口向上，对称轴为 y轴，顶点坐标为（0，c）， 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 对于抛物线 y = ax 2 +c（a＜0），开口向下，对称轴为 y轴，顶点坐标为（0，c）， 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象沿y轴上、下平移得到.c为正向上平移；c为负向下平移. 课堂训练 1.（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　） A．y=x2+1 B．y=-x2+1 C．y=2x+1 D．y=-2x+1 D 2. （2023•金山区二模）抛物线y＝− x2+1在y轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）． 下降 课堂训练 3. （2023•凤城模拟）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax与二次函数y=ax2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． C 课堂训练 4. 在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和y3＝ x2的图象，正确的是图中的(　　) D 课堂训练 5. （2023•延安一模）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　) A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a B 课堂训练 6.（2023秋•西华县月考）正方形OAMN的顶点M恰好在函数y=mx2（m＞0）的图象上，若正方形OAMN的边长为，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，则m的值为（　　） A． B． C． D．3 C 课堂训练 7.（2023•长春一模）如图，正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线y=- x2上，点B、C、E均在y轴上．若点O是BC边的中点，则正方形CEFG的边长为 ． 1+ 课堂训练 8. （2023•迁安市模拟）已知二次函数y=ax2，当x=3时，y=3． （1）求当x=-2时，y的值． （2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向． 解：（1）把x=3，y=3代入y=ax2，得a×(32)=3.解得a=. ∴这个二次函数的表达式为y=x2.当x=-2时，y=×（-2）2=. （2）∵y=x2，a=＞0， ∴图象开口向上；对称轴是直线x=0，顶点坐标是（0，0）． $$