2.2.1二次函数y = x² 和 y =－x²的图象与性质 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数　 2 二次函数的图象与性质 　 北师大版-数学-九年级下册 第1课时 二次函数y = x2 和 y =－x2的图象与性质 　 学习目标 【重点】会画y=ax2的图象，理解其性质. 【难点】描点法画y=ax2的图象，体会数与形的相互联系. 1.会用描点法画二次函数y=x²与y=-x²的图象． 2.通过对二次函数y=x²与y=-x²图象的探究，理解并掌握y=x²与y=-x²的性质． 新课导入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ 一次函数 y = kx+b(k ≠ 0) x y o b>0 b=0 x y o b>0 b=0 b<0 b<0 k>0 k<0 新课导入 反比例函数 0 x y k>0 k<0 新课导入 二次函数的图象是什么形状呢？ 通常怎样画一个函数的图象？ （1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； （2）描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； （3）连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。 新知探究 画二次函数 的图象 （1）列表：观察 的表达式，选择适当的x值， 并计算相应的y值，完成下表： 知识点 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质 x -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 新知探究 （2）描点：在直角坐标系中描点. （3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，便得到 y = x2 的图象． 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 新知探究 对于二次函数 y = x2 的图象， （1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流. 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 二次函数y=x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. （2）图象与 x 轴有交点吗？如果有， 交点坐标是什么？ 图象与x轴有交点，交点在原点(0，0). 新知探究 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y （3）当 x<0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？ 当 x > 0 时呢？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. （4）当 x 取何值时，y 的值最小？ 最小值是什么？你是如何知道的？ 从图象中可以看出当x=0时, y有最小值0. （5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 图象关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 新知探究 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 当x<0 (在对称轴的左侧)时, y随着x的增大而减小. 当x>0 (在对称轴的左侧)时, y随着x的增大而增大. 抛物线 与x轴有一个交点，是原点（0，0） 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点. 图象最低点. 归纳总结： 新知探究 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0 向上 y轴 (0,0) 当x=0时， y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 新知探究 二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流. 做一做： x -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 （1）列表： 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x y 新知探究 （2）描点 （3）连线 新知探究 表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0 向下 y轴 (0,0) 当x=0时， y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x y 图象 开口 方向 对称性 顶点 最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 新知探究 归纳总结： 课堂小结 二次函数 y = x2 和y=－x2 图象与性质 图象 抛物线 轴对称图形 性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 画法 描点法 描点 列表 连线 课堂训练 1. 两条抛物线 y=与 y=- 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0 C. 开口都向上 D. 都有 (0，0) 处取最值 C 2.下列图象中可能是二次函数y＝x2的图象的是( ) A 课堂训练 3. 已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线y＝-x2上，则m，n之间的关系正确的是(　　) A．m＝n　　　　　B．m＋n＝0 C．m＋n>0 D．m＋n<0 B 4. 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________. y1＞y2 课堂训练 5.已知点A(-4,m)在二次函数 y = x2上 (1)求m的值. (2)点B(4,m)在此抛物线上吗？ 解：∵点A(-4,m)在二次函数 y = x2上， ∴m = （-4）2 =16. 解：由（1）得m=16，∴点B(4,16). 把x=4 代入y = x2，得y =42 =16. ∴点B(4,m)在此抛物线上. 课堂训练 6. 已知二次函数 y = x2，当 x≥ m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围． 解：∵二次函数 y = x2， ∴当 x = 0时，y 有最小值，且 y最小值 = 0. ∵当 x ≥m 时，y最小值 = 0， ∴ m ≤ 0． 课堂训练 7.已知点(－3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是__________． 解：方法一：把 x＝－3，1， 分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1 > y3 > y2； 方法二：如图，作出函数 y＝x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出． 由图象可知 y1 > y3 > y2； y1 > y3 > y2 课堂训练 方法三：∵在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大， 而点(－3，y1)关于 y 轴的对称点为(3，y1)． 又∵3> >1， ∴y1 > y3 > y2. $$