2.1二次函数 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第二章　二次函数　 1 二次函数 　 北师大版-数学-九年级下册 学习目标 【重点】理解并掌握二次函数的概念和一般形式. 【难点】会列二次函数表达式解决实际问题. 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系. 新课导入 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 新知探究 问题1： 某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 解：多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量.其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数是因变量. 知识点 二次函数的定义 1 新知探究 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有__________棵橙子树， 这时平均每棵树结_____________个橙子. (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式为：____________________________________________. 果园原来有100棵 （100+x） （600-5x） y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000 橙子总产量＝每棵树的产量×橙子树的数量 新知探究 做一做： 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 问题2：设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税). 解：依题意得， 一年后的本息和为： 两年后本息和为 ： 所以，y 与x的关系式为： 化简为： y=100x²+200x+100 新知探究 观察两个函数表达式的共同点: （1）y=-5x2+100x+60000； （2）y=100x2+200x+100. (1) 函数表达式中的各项都是整式； (2) 函数自变量的最高次为2次； (3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式. 新知探究 二次函数的定义： 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项. 归纳总结： 若 b=0， 可以写成__________________; 若 c=0， 可以写成__________________; 若b=0且c=0，可以写成__________________. y=ax²+c y=ax²+bx y=ax² 二次函数的一般形式： y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： 新知探究 课堂小结 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项. 例 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知 解得 （2）由题可知 解得 m=3. 注意： 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视. 新知探究 典型例题： 新知探究 随堂练习： 1.下列函数中,哪些是二次函数? 是 不是 是 不是 新知探究 2.把下列函数化成一元二次函数的一般式. (1)y=(x-2)(x-3); (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2. 解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. 新知探究 知识点 二次函数的自变量取值范围 2 问题3：问题1、问题2中的两个函数的自变量的取值范围是什么？ y= (100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000 y=100(x+1)² =100x²+200x+100 ①∵600-5x>0，x＞0， ∴0≤x<120，且x为整数. ②x>0. 新知探究 问题4：两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的关系式吗? 问题5：已知矩形的周长为40 cm, 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗? 知识点 用二次函数表示各量之间的关系 3 解：y=x(20-x)=-x2+20x. 解：设矩形的一边长为xcm，面积为ycm2 ，则另一边长为(20-x)cm， 根据题意得 y=x(20-x)=-x2+20x. 新知探究 归纳总结： 【意义】同一个函数可以表达不同的实际意义 【自变量】1.在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体； 2.在实际问题中，自变量的取值要使实际问题有意义. 课堂小结 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）. 课堂训练 1.（2023北京）下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A.y=ax2+bx+c B．y＝2x C．y＝x+1 D．y＝－3x2 2. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a， 一次项系数b，常数项c分别是(　　) A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1 D D 课堂训练 3.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 4. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x两年后这台 机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为(　　) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2 C A 课堂训练 5. 已知函数 y = 3x2m-1－5. ① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数. 1 课堂训练 6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求： （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ). $$