1.5 三角函数的应用 课件 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的 边角关系 5　三角函数的应用 北师大版-数学-九年级下册 学习目标 1.正确理解方位角、俯仰角和坡角； 2.能运用解直角三角形知识解决相关实际问题； 3.三角函数在航海、测量、改造工程等方面的实际应用. 【重点】通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解 决问题过程中的作用. 【难点】建立数学模型，把实际问题转化为数学问题. 新课导入 大家通过图片知道这是什么电影吗? 我们知道轮船在海中航行时用方位角准确描述其航行方向的重要性.那么我们如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险呢？ 新知探究 知识点 与方位角有关的实际问题 1 方向角：如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的 小于90°的角叫做方向角． 30° 45° B O A 东 西 北 南 北偏东30度 南偏西45度 4 例1：如图，海中有一个小岛A，该岛四周 10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西 55° 的B 处，往东行驶 20 n mile后到达该岛的南偏西 25° 的 C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？ B A C 20 D 【分析】货轮继续向东航行是否安全，取决于小岛A 到 BD航线的距离是否大于 10 n mile. 北 东 新知探究 25° 55° 解：由点 A 作AD⊥BC 于点 D， 设AD= x , 则在 Rt△ABD 中， 在 Rt△ACD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. 由 BC = BD-CD,得 新知探究 B A C 20 D 北 东 25° 55° BC = xtan55°-xtan25°= 20 练习1：如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？ A P C B 北 65° 34° 新知探究 A P C B 北 65° 34° 解：如图，在Rt△APC中， PC =PA • cos(90°-65°) =80 × cos 25° ≈72. 505. 在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约 130 n mile. 新知探究 新知探究 知识点 仰角和俯角问题 2 仰角和俯角：如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________． 仰角 俯角 视线 铅垂线 水平线 视线 仰角 俯角 9 新知探究 例2：如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30º,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60º,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m) D A B C ┌ 50m 30º 60º D A B C ┌ 50m 30º 60º 答:该塔约有43m高. 解:如图,根据题意可知,∠A=30º, ∠DBC=60º,AB=50m. 设CD=x, 则∠ADC=60º,∠BDC=30º, 新知探究 新知探究 A B C D α β 仰角 水平线 俯角 练习2：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 新知探究 解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. A B C D α β ∵tanα=β= 新知探究 知识点 利用坡角解决实际问题 3 坡度和坡角： 如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡． 坡角 坡度 l h α α为坡角 14 新知探究 例3：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m) B A D C ┌ 4m 35° 40° 如图，AC⊥BC，∠ADC＝40°，∠BAD＝35°，BD＝4m. （1）求AB-BD. （2）AD的长度. （1）解:如图,根据题意可知, ∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m. 答:调整后的楼梯会加长约0.48m. 新知探究 B A D C ┌ 4m 35° 40° 新知探究 （2）解:如图,根据题意可知, ∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m. ∴楼梯多占约0.61m长的一段地面. B A D C ┌ 4m 35° 40° 新知探究 练习3：一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.   45° 30° 4米 12米 A B C D 新知探究 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．由题意可知DE＝CF＝4（米）， CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，∵tan45°= ， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）． 　答： 路基下底的宽约为22.93米． 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 新知探究 总结 利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据题目类型和条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； 3. 得到数学和实际问题的答案. 课堂小结 解直角三角形的简单应用 一般解题步骤 1.将实际问题抽象为数学问题 2.根据条件的特点，适当选用锐角 三角函数等去解直角三角形 3.得到数学和实际问题的答案 简单应用 1.与方位角有关的实际问题 2.仰角和俯角问题 3.利用坡角解决实际问题 课堂训练 1.如图，已知AC=100 m,∠B=30°,则B,C两地 之间的距离为( ) A. B. C. D. A 课堂训练 2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 ∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( ) B D C A A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米 B 课堂训练 3. 如图 3，从地面上的 C，D 两点测得树顶 A 仰角分别是 45°和30°，已知 CD = 200 米，点 C 在 BD 上，则树高 AB 等于 （根号保留）． 课堂训练 4.如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直 放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角 为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约为 ______m.（精确到0.1 m,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53°≈1.33） 9.5 课堂训练 5. 如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA = 4 km，某船从 港口 A 出发，沿北偏东 15° 方向航行一段距离后到达 B 处， 此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东60° 的方向，则该船 航行的距离（即 AB 的长）是多少？ 课堂训练 解：如图，过点 A 作 AD ⊥ OB 于 D． 在 Rt△AOD 中，∵∠ADO = 90°，∠AOD = 30°，OA= 4 km， ∴AD = OA = 2 km． 在Rt△ABD 中，∵∠ADB = 90°，∠B = ∠CAB-∠AOB=75°- 30°= 45°， ∴ BD = AD = 2 km， ∴ AB = AD = km． 即该船航行的距离为 km． 课堂训练 6. 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度为1∶3，斜坡 CD 的坡度为 1∶2.5，求： （1）坝底 AD 与斜坡 AB 的长度（精确到 0.1m ）； （2）斜坡 CD 的坡角 α（精确到 1°）. E F A D B C 1:2.5 23 6 α 课堂训练 E F A D B C 1:2.5 23 6 α 在 Rt△ABE 中，∵ 在 Rt△DCF 中，同理可得 ∴AD = AE+EF+FD = 69+6+57.5 = 132.5 m 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得 ∴FD = 2.5 CF = 2.5×23 = 57.5 m m 解：(1) 分别过点 B、C作 BE⊥AD，CF⊥AD， 垂足分别为点 E, F,由题意可知 BE = CF = 23 m ， EF = BC = 6 m. 课堂训练 (2) 斜坡 CD 的坡度为 tanα = 1∶2.5 = 0.4， 由计算器可算得 答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°. E F A D B C 1:2.5 23 6 α $$