1.1.2 正弦和余弦课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第一章　直角三角形的 边角关系 1　锐角三角函数 第2课时 正弦和余弦 北师大版-数学-九年级下册 学习目标 1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 【重点】理解正弦与余弦的概念 【难点】能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角 新课导入 复习引入:在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即 tanA= A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边 求出图中∠A，∠B 的正切值. 新知探究 知识点 正弦的定义 1 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ AB BC A'B' B'C' A B C α A' B' C' α 4 新知探究 由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， A B C α A' B' C' α 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 B'C' BC A'B' AB ＝ AB BC A'B' B'C' ＝ 即 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 5 新知探究 B A C c a b 斜边 对边 定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A . ∠A的对边 斜边 sin A = = c a 6 新知探究 解： 在Rt△ABC中， 即 ∴ BC=200×0.6=120. A B C 例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长. 7 新知探究 知识点 余弦的定义 2 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ AB AC A'B' A'C' A B C α A' B' C' α 8 新知探究 A B C α A' B' C' α 由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. ∠B＝∠B'， sinB = sinB'， AB AC A'B' A'C' ＝ 即 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值． 9 新知探究 三角函数的定义：锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数（trigonometric function）.当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 如图，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ sinA的值越大,梯子越 ____ ; cosA的值越 ____ ,梯子越陡. 陡 小 10 新知探究 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(做题时注意数形结合,没有直角三角形时要构造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”符号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比，注意比的顺序. 4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 6.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 11 新知探究 知识点 正弦、余弦之间简单的关系 3 例2 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=10, 求AB, sinB. 你发现了什么？ 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦. A B C 12 锐角三角函数之间的关系: (1)同一个角:①商的关系:tanA= ；②平方关系:sin2A+cos2A=1. (2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB =cos(90°－A),cosA=sinB=sin(90°－A). tanA·tanB=1 新知探究 拓展了解 大家可以选择感兴趣的结论课下自己尝试证明 课堂小结 正弦和余弦 正弦 B A C c a b 斜边 对边 ∠A的对边 斜边 sin A = = c a 余弦 B A C c a b 斜边 邻边 ∠A的邻边 斜边 cos A = = c b 锐角三角函数 正弦、余弦和正切的相互转化 14 课堂训练 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=13，BC=5，则sin A的值是（ ） A. B. C. D. A C B A 2．在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( ) A. B. 2 C. D. C 课堂训练 3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5， 那么下列式子中正确的是（ ） A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.tanA= A 课堂训练 4.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ） A. B. C. D. C 课堂训练 5.在△ABC中，∠C=90 °， ，BC=20， 求△ABC的周长和面积. A B C 解:在Rt △ABC中, 由勾股定理可得:AC=15， ∴S△ABC =15×20÷2=150， C△ABC =20+25+15=60. 课堂训练 6．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM. 解：设正方形ABCD的边长为 4x， ∵M 是 AD 的中点，BE = 3AE， ∴ AM ＝ DM ＝ 2x，AE ＝ x， BE ＝ 3x．由勾股定理可知， A M E D B C 课堂训练 6．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM. A M E D B C 由勾股定理逆定理可知，△EMC 为直角三角形. $$