精品解析：浙江省温州市永嘉五校联考2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷

2024学年第一学期五校联考期中试卷九年级数学 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意： 1.全卷共4页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 3. 下列函数图像经过原点的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点、、在上，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（ ） A. 盒子里一定都是红球 B. 他第6次摸到的一定还是红球 C. 他第6次摸到的可能还是红球 D. 盒子里一定还有其他颜色的球 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数向左平移2个单位，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 8. 如图，以量角器的直径为斜边作，过点作交半圆弧于点，点对应的读数为，则的度数为（　　） A. 38° B. 76° C. 52° D. 40° 9. 已知，，三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，则以下说法错误的是（ ） A. B. 当时，关于的方程必无实数根 C. D. 直线与该函数必有两个交点 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点是______． 12. 从，，这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率为______． 13. 如图，三角形绕点O逆时针能转到三角形的位置，已知，则________． 14. 同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为______． 15. 如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果园”．已知点、、、分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线，且，为半圆的直径，则这个“果园”被轴截得的弦的长为________． 16. 如图以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，为弧上的中点，连结交于点，作于点，连结，若为的角平分线，则______，______． 三、解答题（本题有8小题，17-21题每小题8分，22-23题10分，24题12分，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知函数． （1）若点在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 18. 近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校要从男生小明、小强和女生小慧、小红中共选取2人参加全区比赛，规定其中女生选名． （1）当_______时，“男生小明参加”是必然事件． （2）当时，小明和小慧同时参加比赛的概率是多少？（要求列出树状图或者表格） 19. 如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 20. 2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 21. 已知抛物线，若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若有一直线与抛物线交于点，，且.若点在抛物线上且在直线下方，且点不与点，重合，分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围． 22. 如图，为的直径，内接于，，交于点． （1）求的度数； （2）若为的中点，，求直径的长． 23. 某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，． （1）分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； （2）若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； （3）该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 24. 已知，是的直径，点为圆上一点，点，分别为弧，弧的中点，过点作于点，点，关于直线对称，连接． （1）求弧的度数； （2）若为的直径，请猜想与的数量关系，并给出证明； （3）设，的面积为，若的半径为1，求关于的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期五校联考期中试卷九年级数学 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意： 1.全卷共4页，有三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 如图为各个城市的轨道交通标志，将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据按顺时针方向旋转后的图形进行判断即可． 【详解】解：选项A，B，D中的图形将其按顺时针方向旋转后，图形都发生变化， 把选项C中的图形将其按顺时针方向旋转后得到的图形不变， 故选：C． 2. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，其中分别为二次项系数，一次项系数，常数项．据此分析，即可求解． 【详解】解：二次函数的一次项系数是 故选：A． 3. 下列函数图像经过原点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握自变量函数值的计算是解题的关键． 根据原点坐标为，代入二次函数解析式计算即可求解． 【详解】解：根据题意可得，原点坐标为， ∴A、当时，，该函数图象不经过原点，不符合题意； B、当时，，该函数图象不经过原点，不符合题意； C、当时，，该函数图象不经过原点，不符合题意； D、当时，，该函数图象经过原点，符合题意； 故选：D ． 4. 如图，点、、在上，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得：，进而可得答案． 【详解】解：∵点在上，， ∴． 故选：D． 5. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（ ） A. 盒子里一定都是红球 B. 他第6次摸到的一定还是红球 C. 他第6次摸到的可能还是红球 D. 盒子里一定还有其他颜色的球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性，根据可能性大小逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 盒子里不一定都是红球，故该选项不正确，不符合题意； B. 他第6次摸到的不一定还是红球，故该选项不正确，不符合题意； C. 他第6次摸到的可能还是红球，故该选项正确，符合题意； D. 盒子里不一定还有其他颜色的球，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数向左平移2个单位，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将二次函数向左平移2个单位，所得函数的解析式为， 故选：B． 7. 校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ） A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 8. 如图，以量角器的直径为斜边作，过点作交半圆弧于点，点对应的读数为，则的度数为（　　） A. 38° B. 76° C. 52° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，利用圆周角定理，找出的度数是解题的关键． 设半圆弧的圆心为，得到，利用圆周角定理，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：以量角器的直径为斜边作，设半圆弧的圆心为，于点,连接， 根据题意得，点在圆上， ， 于点， ， ， 故选：A． 9. 已知，，三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 10. 已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，则以下说法错误的是（ ） A. B. 当时，关于的方程必无实数根 C. D. 直线与该函数必有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，二次函数与一次函数交点的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，，，，由此可判定A，C选项；根据根与系数的关系，可判定B选项；联立二次函数与一次函数为方程组，再根据二次函数与轴交点的计算方法可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴，， ∴， 二次函数图象与轴交于正半轴， ∴， 二次函数图像经过点， ∴当时，， ∴， ∴A、，正确，不符合题意； B、二次函数图像经过点，对称轴为直线， ∴二次函数图象经过的另一个点为， ∴设解析式为， ∴当时，函数的最大值为， ∵， ∴， ∴二次函数与直线，有两个交点，如图所示， ∴当时，关于的方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，符合题意； C、∵，， ∴，该选项正确，不符合题意； D、联立方程组得，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， ∴， ∴直线与该函数必有两个交点，该项正确，不符合题意； 故选：B ． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．牢记的顶点为是解题关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 从，，这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，随机事件概率的计算，理解无理数的概念，掌握概率公式的计算是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，从，，这三个数中有2个无理数，由此，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：从，，这三个数中是无理数，从3个数中选择，由2种结果， ∴随机选择一个数，则这个数为无理数的概率为， 故答案为： ． 13. 如图，三角形绕点O逆时针能转到三角形的位置，已知，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义． 【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ． 故答案为：4． 15. 如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果园”．已知点、、、分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线，且，为半圆的直径，则这个“果园”被轴截得的弦的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与圆的综合，掌握抛物线与轴的交点，对称轴，坐标与图形，直径所对圆周角为，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 根据题意，设，则，根据抛物线对称轴可得，可求出，由直径直径所对圆周角为，可证，可得，由即可求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 16. 如图以为直径的半圆上，，点是半圆弧上的任意点，为弧上的中点，连结交于点，作于点，连结，若为的角平分线，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，设于交于点，过点作于，由得，再证明是等腰直角三角形得，则，进而在中，由勾股定理可求出的长，先由三角形的面积求出，再由垂径定理得，，则，然后证明，进而可得的长． 【详解】解：连接，，设于交于点，过点作于，如图所示： ∵是半圆的直径，点是弧上的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧上的中点， 根据垂径定理得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，17-21题每小题8分，22-23题10分，24题12分，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知函数． （1）若点在此函数图象上，求该二次函数表达式及函数图象的开口方向； （2）在（1）的条件下，判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1）；函数图象的开口向下 （2）不在此函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式； （1）依据题意，由点在函数图象上，从而，求出可得解析，可以判断开口方向得解； （2）依据题意，由抛物线为，从而当时，，进而可以判断点不在此函数图象上，故可得解． 【小问1详解】 解：（1）由题意，点在函数图象上， ． ． 函数为． ∴函数图象的开口向下． 【小问2详解】 由题意，抛物线为， 当时，． 点不在此函数图象上． 18. 近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校要从男生小明、小强和女生小慧、小红中共选取2人参加全区比赛，规定其中女生选名． （1）当_______时，“男生小明参加”是必然事件． （2）当时，小明和小慧同时参加比赛的概率是多少？（要求列出树状图或者表格） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列树状图法或列表法求随机事件的概率，掌握列树状图法或列表法求随机事件的概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）运用列出树状图或者表格把可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：当时，即从男生小明、小强中选取2人参加全区比赛，则小明必然参加， ∴“男生小明参加”是必然事件， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，选取2人参加全区比赛中有1名女生，把所有等可能结果表示如下， 有1名女生参加的共有4种等可能结果，其中有小明和小慧同时参加的结果有1种， ∴小明和小慧同时参加比赛的概率是． 19. 如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据点是的中点，是过圆心的直线，可得，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则，， ∵点是的中点，是过圆心的直线， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴的半径为． 20. 2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【答案】（1） 解：∵个红球与个白球 ∴摸出的是红球的概率为 摸出的是白球的概率为， ， ∴这个办法不公平 （2）原来有红球个，白球有个 【解析】 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题． （1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）根据题意摸出红球的概率为，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意， 解得： 是原方程的解， 则， ∴原来有红球个，白球有个 21. 已知抛物线，若将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，顶点恰好落在原点上． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若有一直线与抛物线交于点，，且.若点在抛物线上且在直线下方，且点不与点，重合，分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为， （2）点横坐标的取值范围为，纵坐标的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，可得抛物线为：，再利用抛物线过原点可得，求解，再把抛物线化为顶点式，即可直接得到抛物线的顶点坐标； （2）把，代入，可求出，求出点横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围； 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴将该函数向先左平移1个单位，再向上平移9个单位，可得抛物线为：， ∵顶点恰好落在原点上， ∴， 解得：， ∴为； ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意可得，当时，． 当时，， 解得，． ∵， ∴． ∴，， ∵点在抛物线上且在直线下方（不与点重合），，如图， ∴抛物线开口向上，当时函数取得最小值， ∴， ∵当时，，当时，， ∴， ∴点横坐标的取值范围为，纵坐标的取值范围为． 22. 如图，为的直径，内接于，，交于点． （1）求的度数； （2）若为的中点，，求直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，可证是等边三角形，由此即可求解； （2）如图所示，过点作于点，由等边三角形的性质可得，，设，则，在中，由勾股定理可得，根据点为的中点，可得，，在中，由勾股定理可得，由此即可得到，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴是的中线，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴． 23. 某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，． （1）分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式； （2）若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利； （3）该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 【答案】（1）； （2）该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资金才能使企业获利 （3）该企业至少要筹集到80万元资金 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数、二次函数的应用； （1）由待定系数法即可求解； （2）当时，解方程，即可求解； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，进而求得，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，设甲产品的利润为：， ∵在函数图象上， ∴，解得：， ∴甲产品的利润与投资之间的关系式为； 设乙产品的利润与投资金额的函数关系为： 将代入得， 解得： ∴， 【小问2详解】 当时，， 解得：． ∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过万元资金才能使企业获利； 【小问3详解】 设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元， ∴ 函数y的对称轴为直线， 当时，， ∴， 解得：， 答：该企业至少要筹集到80万元资金． 24. 已知，是的直径，点为圆上一点，点，分别为弧，弧的中点，过点作于点，点，关于直线对称，连接． （1）求弧的度数； （2）若为的直径，请猜想与的数量关系，并给出证明； （3）设，的面积为，若的半径为1，求关于的函数解析式． 【答案】（1）弧的度数为 （2） 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵为直径， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，, ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，由点，分别为弧，弧的中点，可得，，再进一步可得答案， （2）如图，连接，，证明，，结合，可得，证明，即可； （3）如图，过作于，连接，，记，的交点为，证明为等腰直角三角形，可得，证明四边形是矩形，，设，由，可得，再解方程，进一步利用三角形的面积公式可得答案. 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵是的直径，点为圆上一点， ∴， ∵点，分别为弧，弧的中点， ∴，， ∴， ∴弧的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于，连接，，记，的交点为， 由（1）可得：， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去） ∴ . ∴. 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，弧，圆心角之间的关系，列二次函数关系式，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $