精品解析：河南省郑州市中牟县东漳中学2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟卷

九年级上册北师大版数学期末试卷 一、选择题（共10题，30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D是中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图所示，中，，，，，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 7. 商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点B在反比例函数的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，15分） 11. 已知，则的值为________． 12. 在一个不透明盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是_________． 13. 已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ____． 15. 如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解下列方程． （1）； （2）． 17. 如图，在中，，于点． （1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数． 18. 从一副普通扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率． 19. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 20. 如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC的长. 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册北师大版数学期末试卷 一、选择题（共10题，30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据俯视图的概念逐一判断即可得． 【详解】解：俯视图是从几何体的上面向下看得到的平面图形，该几何体的俯视图是正方形 中间有一条实线，B选项符合． 故选：B． 3. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证出，由相似三角形的判定方法即可得出结果． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合； D、添加，无法判定，故本选项符合． 故选：D． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 根据两因式相乘积0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，，点D是的中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点，， ∴， 故选：C． 6. 如图所示，中，，，，，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例的推论可得，代入数据求解即可． 【详解】∵中， ∴，即 ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论，解题的关键是找到对应边建立比例式． 7. 商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别计算出每件商品降价元后，销售的数量（件），每件盈利的数量（元），根据销售数量与每件盈利数量的积即为该商品日盈利额，由此列式即可求解． 【详解】解：每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元， ∴销售件数为：件， ∵每件盈利元，每件商品降价元， ∴降价后的每件的盈利为元， 若商场销售该商品日盈利要达到元， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售，利润的问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握运用一元二次方程解决销售、盈利问题的方法是解题的关键． 8. 如图，点B在反比例函数的图象上，过B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义．反比例函数k的几何意义：反比例函数上任意一点与两坐标轴围成的矩形面积．根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为． 故选：C． 9. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 10. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：A． 二、填空题（共5题，15分） 11. 已知，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用频率估计概率，根据频率公式先求出摸到黄球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：∵共摸了1000次球，发现有400次摸到黄球， ∴摸到黄球的概率为， ∴袋中的黄球大约有（个）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 13. 已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，如图， 轴， ∴， ， 而， ， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 15. 如图，边长为8的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，交于M，连接，根据正方形的性质可知点与点关于直线对称，故的长即为的最小值，利用勾股定理可求解． 【详解】解：连接交于M，连接，如图， ∵正方形 ∴点B与点D关于对称， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，此时值最小，最小值等于， ∵正方形 ∴， ∵ ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）先去括号，然后整理后利用配方法解一元二次方程即可； （2）先方程两边同时除以2，然后利用直接开方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 17. 如图，在中，，于点． （1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． （1）根据要求作出图形即可； （2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解． 【小问1详解】 解：如图， 射线即为所求， 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 18. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据事件发生的概率计算公式：，（k为包含事件的结果数，n为该事件所有等可能出现的结果数），抽到牌面数字是3的结果有两种，共有4种结果，可得出答案； （2）注意题目中是不放回的抽取，可用列表法或树状图法得出符合条件的结果和总的结果数（如下图），牌面数字相同的有两种，共有12种结果，故可得出答案． 【详解】（1）四张牌为：2,3,3,6，从中抽取一张，共有四种等可能结果，抽到牌面数字是3的有两种， ∴； （2）解：列表如下： 第二次 第一次 2 3 3 6 2 3 3 6 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种， ∴． 【点睛】题目主要考查简单事件的概率问题，找准题意中满足条件的等可能性结果及总的等可能结果是解题关键（特别注意题目中是抽取后不放回）． 19. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可； （）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解； 本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 小问1详解】 解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，则， ∵， ∴与相似，需满足或， 当时，， 解得或； 当时，， 解得或； 综上，点的坐标为或或或． 20. 如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC的长. 【答案】AC＝10． 【解析】 【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理求得EC的长即可得. 试题解析：∵DE∥BC， ∴ 即． ∴EC＝6． ∴AC＝AE + EC＝10． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质； （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答 【小问1详解】 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：由，得： , 解得，， 若，则， 若，则， 所以，或 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）P为x轴上的一动点，当的面积为9时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、等腰三角形定义、勾股定理等知识点． （1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可； （3）分，，三种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 设点Q的坐标为，则 ，，， 当时， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或 当时， ，解得或， ∴点Q的坐标为或 当时， ， 解得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或或或或． 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ； 【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值； 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进幼儿可求出． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ． 故答案为：1 （2）∵四边形是矩形， ， ， 则， ， ∴． （3）如图，过点F作， 则，， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， 则, ， ， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$