精品解析：2024-2025学年北师大版九年级数学上册期末复习测试卷（一）

2024-2025学年度北师大版初中数学九年级上册 期末综合测试卷（一） 考试时间：120分钟；试卷满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共10小题，共计30分） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系．根据反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系求解即可． 【详解】解：A、将代入得：，∴在双曲线上，符合题意； B、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； C、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； D、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出即可，解题的关键是理解方程解的定义． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故选：C． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况． 【详解】解：∵， 而， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先画出树状图，可得所有可能结果数，其中甲、乙两个小组选择同一剧种的可能结果，然后即可求出甲、乙两个小组选择同一剧种的概率．本题考查列表法或树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 【详解】解：依题意，晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子分别用、、、表示， 树状图如下， 由上可得，一共有16种等可能性，其中甲、乙两个小组选择同一剧种的可能性有4种， 甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为， 故选：C． 6. 如图，在中，点D、E分别是、中点，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，再证明，据此根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为16， 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，先根据反比例函数所在象限确定的正负，进而判断一次函数图象应该分布在哪几个象限，逐项判断即可． 【详解】解：A，的图象在第一、三象限，可得，的图象应该在第一、三、四象限，而不是第一、二、四象限，不合题意； B，的图象在第二、四象限，可得，的图象应该在第一、二、四象限，而不是第一、二、三象限，不合题意； C，的图象在第一、三象限，可得，的图象应该在第一、三、四象限，而不是第一、二、三象限，不合题意； D，的图象在第二、四象限，可得，的图象在第一、二、四象限，符合题意； 故选D． 8. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被小湖泊隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可，熟练掌握直角三角形性质是解此题的关键． 根据直角三角形性质，得到，即可求解； 【详解】解：公路、互相垂直， ， 为中点， ， ， ， 故选：B 9. 为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打折，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 依题意得： 故选：D． 10. 如图，点E为正方形外一点，连接，，连接并延长，与角平分线交于点F，若，，则的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接，作于，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可得，再证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共5题，共计15分） 11. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，根据“同时同地物高与影长成正比”列式计算即可得解．解题的关键要熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：设旗杆高度为， 由题意得：， 解得：， ∴这根旗杆的高度为． 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点．如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，由，则，再通过平行四边形的性质得，，则，由相似三角形的性质得，最后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 14. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，设袋中红球约有个，由题意可得，据此即可求解，掌握随着实验次数的增大时，事件出现的频率稳定在事件发生的概率附近是解题的关键． 【详解】解：设袋中红球约有个， 由题意得，， 解得， ∴袋中红球约有个， 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据是等边三角形，得出，根据已知进而求得，勾股定理求得，则，根据两点之间线段最短，可得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值为，进而中，勾股定理求得，在中求得，进而可得，在中勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值为， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 当最小时，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（共8题，共计75分） 16. 解方程： （1）； （2）（用因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）可得，，，求出利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ， 则， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 17. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或者列表法求概率，解题的关键是画树状图． （1）根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图得出12种等可能性，其中恰好抽中内含墨和砚的可能性有2种，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下． 共有12种等可能的结果，其中恰好选中笔和纸盲盒的结果有2种， ∴恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率为． 18. 菱形中，对角线，相交于点O，E为边中点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例解答即可； （2）根据菱形的性质得出，进而利用线段的关系解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴的长为2． 19. 如图，双曲线交直线于，两点，点的横坐标为． （1）求的值及点的坐标． （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）先根据一次函数求出点的坐标，进而求出和反比例函数的解析式，最后联立一次函数和反比例函数的解析式即可求出点的坐标； （2）设直线与轴的交点为，先求出，得到，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 点的横坐标为， ， 将代入得： ， 双曲线， 联立， 解得：或， ； 【小问2详解】 解：设直线与轴的交点为， 在中，令，则， 解得：， ， ， ，， ． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1200元列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元． 21. 如图，在正方形中，E是边上的一动点，过点E作交于点G，且，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质． （1）根据正方形的性质和等角的余角相等即可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接， 在正方形中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 22. 教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 学校生态园年秋季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少元； （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域； （2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为． 问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是_______； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）怎样设计能使苗圃的面积最大？面积最大是多少？ 【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元； 任务二：（1）；（2）的值为；（3），时，苗圃的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，配方法的应用等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务二；（1）依题意得的长是，计算求解即可； （2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）苗圃的面积为，根据配方法，即可求解． 【详解】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元； 任务二（1）解：依题意得，的长是， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴的值为； （3）面积为． 由（2）可知 ∴当时，即，时，苗圃的面积最大，最大面积为． 23. 操作探究 如图1，E，F，G，H四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形． （1）如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由36个小正方形组成一个大正方形，点E、F在格点上，请在图2中画出四边形的内接菱形； （2）如图3，矩形中，，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，则的长度为______； （3）如图4，平行四边形，点在线段上且， ①请你在图4中作出平行四边形的内接菱形，点在边上（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出相应的字母）； ②在①的条件下，当的长最短时，的长为______． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）以为边，作一个菱形，使其各边长都为 ； （2）如图2，连接，证明，可得； （3）①作法：作，连接，再作的垂直平分线，交、于、，得四边形即为所求作的内接菱形； ②如图5，当F与C重合，则A与H重合时，此时的长最小，就是的长，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理计算可得结论． 【小问1详解】 解：如图2所示，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：如图3，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， ，， ， ，即， ， ， ． 故答案为：5； 【小问3详解】 解：①如图，四边形即为所求作的内接菱形； ②如图5，当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于， 中，，， ∴， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 即当的长最短时，的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义−四边形的内接菱形，基本作图−线段的垂直平分线，菱形，熟练掌握基本作图及平行四边形、菱形和矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度北师大版初中数学九年级上册 期末综合测试卷（一） 考试时间：120分钟；试卷满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共10小题，共计30分） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 无法判断 5. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D、E分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为（ ） A 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被小湖泊隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打折，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E为正方形外一点，连接，，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，，则的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共5题，共计15分） 11. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为______． 12. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点．如果，，那么______． 13. 如图，点A在x轴负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为____． 14. 在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋中红球约有______个． 15. 如图，是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则__________． 三、解答题（共8题，共计75分） 16. 解方程： （1）； （2）（用因式分解法）． 17. 文房四宝是我国传统文化中的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒．每个盲盒的外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．一套盲盒套装中包含笔、墨、纸、砚盲盒各一个． （1）若从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中墨盲盒的概率为______． （2）若从一套盲盒套装中随机选两个，用列表或画树状图的方法求恰好选中笔盲盒和纸盲盒的概率． 18. 菱形中，对角线，相交于点O，E为边中点． （1）求证：． （2）若，求的长． 19. 如图，双曲线交直线于，两点，点的横坐标为． （1）求的值及点的坐标． （2）连接，，求的面积． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？ 21. 如图，在正方形中，E是边上的一动点，过点E作交于点G，且，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 学校生态园年秋季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少元； （2）用元购买型劳动工具数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域； （2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为． 问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是_______； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）怎样设计能使苗圃面积最大？面积最大是多少？ 23. 操作探究 如图1，E，F，G，H四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形． （1）如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由36个小正方形组成一个大正方形，点E、F在格点上，请在图2中画出四边形的内接菱形； （2）如图3，矩形中，，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，则的长度为______； （3）如图4，平行四边形，点在线段上且， ①请你在图4中作出平行四边形的内接菱形，点在边上（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹，标出相应的字母）； ②在①的条件下，当的长最短时，的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$