第01讲 数列的概念（4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第01讲 数列的概念 课程标准 学习目标 1．理解数列的概念． 2．掌握数列的通项公式及应用． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。 2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义。 3．知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。 4．掌握数列的表示方法。 5．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。 知识点01 数列的概念及一般形式 （1） 数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。 （2） 数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为. 【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： ①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)； ④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 【即学即练1】下列结论中正确的是（ ） A．数列的项数是无限的 B．数列中各项与顺序无关 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 知识点02 数列的分类及表示 1、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 【即学即练2】下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 知识点03数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式． 【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． ②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． ③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的． 【即学即练3】下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 知识点04数列与函数 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法 【即学即练4】（多选）下列结论中正确的是（ ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列是递增数列 题型01 数列的概念与辨析 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式3】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 题型02 根据规律求数列的项 【典例2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 【变式1】（23-24高二下·四川成都·期中）在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（    ） A． B．64 C．128 D． 【变式2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 【变式3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）将正偶数按如图所示的规律排列： 则4048在第 行，从左向右该行的第 个数． 【变式4】（24-25高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 题型03 数列的分类及判断 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①； ②， ③ ④，，，，…； ⑤； ⑥. 题型04 根据数列的单调性求参数 【典例4】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 求数列项的最值 【典例5】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【变式4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 题型06 根据数列的前几项求通项 【典例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 题型07 根据通项公式求值 【典例7】（24-25高二上·河南·期中）已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·海南·期中）已知一个数列的通项公式，则（    ） A． B．3 C． D．5 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则 ，若，则 ． 一、单选题 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 3．（22-23高二下·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 4．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项 6．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．（23-24高二下·四川成都·期中）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 11．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 三、填空题 12．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的通项公式，则等于 . 13．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在数列中，若，则的值为 ． 14．（23-24高二下·辽宁·期末）设高斯函数表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数列的概念 课程标准 学习目标 1．理解数列的概念． 2．掌握数列的通项公式及应用． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征。 2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义。 3．知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。 4．掌握数列的表示方法。 5．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律。 知识点01 数列的概念及一般形式 （1） 数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。 （2） 数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为. 【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： ①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)； ④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 【即学即练1】下列结论中正确的是（ ） A．数列的项数是无限的 B．数列中各项与顺序无关 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 【答案】D 【解析】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列， 即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误； 数列与顺序有关， 构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误； 根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确．故选：BD. 知识点02 数列的分类及表示 1、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 【即学即练2】下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C． 知识点03数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式． 【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． ②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． ③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的． 【即学即练3】下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【解析】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.故选：A 知识点04数列与函数 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法 【即学即练4】（多选）下列结论中正确的是（ ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点 C．数列的项数是无限的 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数， 其定义域是正整数集或它的有限子集，选项A，B正确； 由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C不正确； 对于，得到，所以，数列是递增数列，D正确，故选：ABD 题型01 数列的概念与辨析 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【分析】根据数列的定义可判断各项的正误. 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据数列的定义知识即可求解. 【详解】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 【变式3】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 【变式4】（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【答案】ABD 【分析】根据数列的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误. 故选：ABD. 题型02 根据规律求数列的项 【典例2】（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据数列前的几项归纳出，即可求出结果. 【详解】由题知，所以， 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·四川成都·期中）在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（    ） A． B．64 C．128 D． 【答案】B 【分析】根据所给数列的部分项归纳数列通项公式即可得解. 【详解】由数列1，，4，，16，…，可知通项公式为， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 【答案】C 【分析】由数列中的数字规律可知每一组由两项组成，计算可得结果. 【详解】根据该数列的规律可将数列进行分组，每一组含有两个互为相反数的组合， 因此100即为第100组的第一个数，其前面有99组，每一组有两项， 因此100是该数列的第项. 故选：C 【变式3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）将正偶数按如图所示的规律排列： 则4048在第 行，从左向右该行的第 个数． 【答案】 45 88 【分析】由已知归纳出规律，计算出前行所有数和的个数后，可确定4048所在的行及其顺序号. 【详解】4048是第2024个数， 由已知得前行所有的个数为， ， ， 所以数字4048在第45行，第88个数. 故答案为：45；88. 【变式4】（24-25高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 【答案】 【分析】结合题意，利用从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，使用数列的知识求解即可. 【详解】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为， 第二行的第一个数为， 第三行的第一个数为， 第四行的第一个数为，…， 第n行的第一个数为， 表中一共2018行， ∴第2018行的第一个数即． 故答案为： 题型03 数列的分类及判断 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用无穷数列、递增数列的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，，数列是递减数列，A不是； 对于B，，数列不是递增数列，B不是； 对于C，，数列是递增数列，是无穷数列，C是； 对于D，数列是有穷数列，D不是． 故选：C 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，结合单调数列、摆动数列的定义判断即得. 【详解】数列，则，， 因此，数列是摆动数列. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）下列数列中，为递增数列的是 ，为递减数列的是 ，为常数列的是 ． ①1，0.84，，，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1． 【答案】 ② ①④⑤ ③ 【分析】根据数列单调性的定义，即可判断. 【详解】由数列的单调性，易知②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列． 故答案为：②；①④⑤；③ 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）下列数列哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ ①； ②， ③ ④，，，，…； ⑤； ⑥. 【答案】①②是递增数列；③是递减数列；⑥是常数列；④⑤是摆动数列 【分析】根据递增数列，递减数列，常数列，摆动数列的概念进行判断. 【详解】（1）递增数列，因为从第2项起，每一项都大于它的前一项； （2）递增数列，因为从第2项起，每一项都大于它的前一项； （3）递减数列，因为从第2项起，每一项都小于它的前一项； （4）摆动数列，因为从第2项起，数列中有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项； （5）摆动数列，因为从第2项起，数列中有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项； （6）常数数列，各项均为9，故为常数数列. 题型04 根据数列的单调性求参数 【典例4】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 【变式1】（2024·贵州·模拟预测）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用递增数列满足，即可求解. 【详解】因为，所以 由，得到，所以“数列是递增数列”的充要条件是， 故选：B. 【变式2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据数列为递增数列的定义求得的范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由“数列为递增数列”， 得， 所以恒成立，所以， 由得，由不一定有， 故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 故选：. 【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 题型05 求数列项的最值 【典例5】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先化简，再借助函数的单调性分析得解. 【详解】， 因为， 所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且. ∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据数列的函数特性进行判断即可. 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据数列的函数特性进行判断即可. 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A． 【详解】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 【变式4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 【答案】2和3 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 题型06 根据数列的前几项求通项 【典例6】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察前几项的规律即可求解. 【详解】由，，，， 可得的一个通项公式为． 故选：D． 【变式1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列中每一项的特点可分析得到通项公式的结构. 【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式. 【详解】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负， 故第项的正负可以用表示； 而， 故数列的通项可为. 故选：D 【变式3】（23-24高二下·安徽·期末）数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 题型07 根据通项公式求值 【典例7】（24-25高二上·河南·期中）已知数列的通项公式为，且和是中的两项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式，可得到两个方程，解方程可得解. 【详解】设，（，，为正整数）， 则，， 即有， 可得，解得， 可得． 故选：B． 【变式1】（23-24高二下·海南·期中）已知一个数列的通项公式，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】将代入通项公式即可. 【详解】因为为偶数， 所以 故选：C 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意，由数列的通项公式列出方程，代入计算，即可求解. 【详解】由题得，又，所以， 解得（舍去）或． 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则 ，若，则 ． 【答案】 12 【分析】根据数列的通项公式计算求出，再根据项的值计算求参. 【详解】∵，∴． 由，得，解得或（舍去）． 故答案为：；12. 一、单选题 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断． 【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意． 故选：C． 2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（　　） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【答案】D 【分析】 由即可得. 【详解】，故为第23项. 故选：D. 3．（22-23高二下·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（    ） A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点 【答案】B 【分析】根据数列的知识确定正确答案. 【详解】数列对应点为， 所以图象是直线上孤立的点. 故选：B 4．（24-25高二上·甘肃白银·期中）已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的前几项，得出数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为数列为， 所以该数列的通项公式为，得到， 故选：D. 5．（23-24高二下·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项 【答案】B 【分析】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可判断各选项. 【详解】由此数项的前10项的规律可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于AB，，所以A错误，B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，若200中偶数项，则，得， 所以200是此数列的第20项，所以D错误， 故选：B 6．（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式得到数列的通项公式，由分段函数的单调性法则列出不等式，从而求得实数的取值范围. 【详解】由题意知， 因为数列是递增数列， 所以当时，，即； 当时，，且， 所以，即，即， 所以或． 综上可得的取值范围为． 故选：C. 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案. 【详解】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高二下·四川成都·期中）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 【答案】BC 【分析】根据数列的定义判断A，根据数列的分类判断B，根据数列为特殊的函数判断C，根据通项公式概念判断D. 【详解】由数列中项是有次序的，可知A错误； 根据数列中项数是无限个，可判断数列为无穷数列，故B正确； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 数列的通项公式不是唯一的，如可以表示同一个数列，故D错误. 故选：BC 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 【答案】AD 【分析】利用数列的概念、通项公式一一判定选项即可. 【详解】对于选项A，因为数列是一类特殊的函数，其自变量， 所以数列的图象是一群孤立的点，故A正确； 对于选项B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 对于选项C，当时，，故C错误； 对于选项D，因为， 所以该数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项. 【详解】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知数列的通项公式，则等于 . 【答案】288 【分析】根据数列的通项公式求解数列的项即可. 【详解】由得，， 所以，. 故答案为：288. 13．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在数列中，若，则的值为 ． 【答案】17 【分析】将时分别代入偶数与奇数对应通项，即可求解. 【详解】依题意，． 故答案为：17 14．（23-24高二下·辽宁·期末）设高斯函数表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ． 【答案】 4285 2 【分析】由的定义求出即可,求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】.， ∴，， ， 同理可得：；； ，；，，… ∴. 故是一个以周期为6的周期数列， 则. 故答案为：4285，2. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出是一个以周期为6的周期数列，由此即可顺利得解. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【详解】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$