第03讲 等差数列（4个知识点+7类热点题型+习题巩固-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第03讲 等差数列 课程标准 学习目标 1. 理解等差数列的概念. 2. 掌握等差数列的通项公式及其应用； 3. 理解等差中项的概念，了解等差数列的有关性质． 1.通过对等差数列概念、通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养； 2.通过等差数列中项、性质的学习培养逻辑推理、数学运算的素养； 3.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养。 知识点01 等差数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． 【解读】(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 【即学即练1】下列数列是等差数列的是(　　) A．，，，　 B．1，，， C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D　 【解析】因为－≠－，故排除A；因为－1≠－，故排除B；又因为－1－1≠1－(－1)，故排除C；对选项D，每一项与前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义． 知识点02等差数列的通项公式 1．通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 【解读】(1)要确定等差数列的通项公式，只需确定首项和公差； (2)在通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量：an，a1，n，d，只要知道任意三个就可求出第四个．　　 2．从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 d． 3．等差数列与一次函数的区别与联系 — 等差数列 一次函数 通项公式(解析式) an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N*或N*的子集{1，2，3，…，n}，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式 4.等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为d， (1)当d>0时，数列{an}为递增数列； (2)当d<0时，数列{an}为递减数列； (3)当d＝0时，数列{an}为常数列． 【解读】（1）等差数列是定义域为N*或N*的子集{1，2，3，4，…，n}的一次函数的函数值． （2））等差数列的通项公式不一定都是关于n的一次函数，常数列a，a，a，…，a的通项公式an＝a为常函数．　　 5．等差数列通项公式的变形及推广 已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则 ⇒an－am＝(n－m)d， 所以①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ②d＝(m，n∈N*，且m≠n). 【即学即练2】已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 【答案】C　 【解析】an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n. 知识点03等差中项 (1)如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项． (2)在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项． 【即学即练3】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）和8的等差中项是 ． 【答案】3 【分析】由等差中项定义求解即可. 【详解】由等差中项定义可知，和8的等差中项为. 故答案为：3 知识点04等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. (1)特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (4) 若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【即学即练4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质进行求解. 【详解】 故选：B 题型01 等差数列的通项及计算 【典例1】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 【答案】B 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的公差即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 【变式2】（2024·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 【变式3】（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 故选：C． 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由得，根据枚举法列出所有的情况，即可求解. 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 题型02 等差数列的判断与证明 【典例2】（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出等差数列的公差，利用等差数列定义一一判断四个数列，对于④中数列，只需举反例即可说明. 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 【变式3】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 题型03等差中项及应用 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前3项分别为，则的值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】解：因为等差数列的前3项分别为， 所以，解得． 故选：B 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】应用韦达定理及等差中项计算即可. 【详解】因为, 所以的等差中项为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 【变式4】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知构成等差数列，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】因为构成等差数列， 所以，解得. 故答案为：. 题型04等差数列的性质 【典例4】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以， 故选：A 【变式1】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，解得， 故选：D. 【变式2】（24-25高三上·辽宁·期中）公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的下标和性质，结合基本不等式，求解即可. 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·山东青岛·期中）等差数列中，，则（   ） A．12 B．33 C．36 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，由等差数列下标和的性质可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由等差数列的性质可知，即， 所以. 故选：B 【变式4】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【详解】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 题型05等差数列的单调性及最值 【典例5】（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【分析】根据可判断A；举反例可判断B，C；结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大， 故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确， 故选：AD 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 题型06构造法的应用 【典例6】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义及通项公式即可得. 【详解】，， 即，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到数列是公差为等差数列，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为数列满足，且， 可得数列为等差数列，且公差为3， 所以，即，所以. 故选：D. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知化简得出，再应用等差数列的通项公式计算得出通项即可. 【详解】由题得， 即，则数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以，即，则． 故选：A. 【变式4】（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可证明为等差数列，即可求解. 【详解】， 所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1， 故，即， 故选：B 题型07 实际问题中的等差数列 【典例7】（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可. 【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【答案】C 【分析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戈、己、庚七人的钱数为数列，等差数列的公差为d， 依题意得即解得 所以，故丁有101钱． 故选：C． 【变式2】（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知，水位差为米，每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，由，可知船闸至少需要修建闸室5个. 【详解】因为三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米, 所以水位差为米， 又每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间， 则， 所以船闸至少需要修建闸室5个. 故选：B. 【变式3】（22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 一、单选题 1．（23-24高二下·四川泸州·期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（    ） A．29 B．32 C．35 D．37 【答案】C 【分析】求出等差数列通项，再代入计算即可. 【详解】设该等差数列为，则由题意得， 则，则. 故选：C. 2．（23-24高二下·云南迪庆·期中）在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质：等差中项，建立等式求解即可． 【详解】由等差数列的性质可知， 故， 故选：C． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】直接根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得是公差为的等差数列， 故． 故选：B. 4．（22-23高二下·山东日照·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求解可得，然后根据等差中项的性质，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 设a，b的等差中项为， 根据等差中项的定义，有. 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）如果，且，则（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式求解可得. 【详解】因为，所以， 记，则， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以. 故选：D 6．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）已知数列满足，且，，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用数列的递推关系式得出是等差数列，确定其首项和公差，进而利用通项公式求解即可． 【详解】由，则可得， 故可得， 所以， 又，，则，， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 则， 故， 故选：C. 7．（23-24高二下·湖南湘西·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，，列出相关等式解求首项即可； 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 二、多选题 9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 【答案】ACD 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10．（22-23高二上·甘肃武威·期中）已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】BC 【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，得，所以. 故选：BC. 11．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 【答案】ABCD 【分析】根据等定义可知选项A正确；根据可得选项B正确；根据条件表示，利用p为常数可得选项C正确；利用可得，选项D正确. 【详解】根据等方差数列的定义可知A正确. 因为，所以数列是等方差数列，B正确. 若数列既是等方差数列，又是等差数列， 设公差为d，则． 又p为常数，所以，C正确. 若数列是等方差数列，则， 故为常数，D正确． 故选：ABCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）在数列中，，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的定义判断数列为等差数列，由通项公式求解. 【详解】由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 令，解得， 故答案为： 13．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 【答案】/0.1 【分析】把递推公式变形并判断数列是等差数列，然后求出通项即可求得 【详解】由，得， 又，则， 所以数列首项为1，公差为1的等差数列，所以， 又可得，又，所以，得， 所以， 故答案为： 14．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【答案】116 【分析】为首项为2，公差为6的等差数列，利用等差数列求通项公式求出答案. 【详解】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为， 故为首项为2，公差为6的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：116 四、解答题 15．（23-24高二上·全国·课后作业）已知数列是等差数列. (1)如果，，求公差d和； (2)如果，，求公差d和. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入计算即可； （2）根据等差数列通项公式代入计算即可； 【详解】（1）因为，，所以，所以， 所以； （2）因为，，所以， 所以，所以. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 【答案】1 【分析】由已知可得，结合构成等差数列，可得，结合构成等差数列，可得，求解即可. 【详解】因为，则， 因为构成等差数列，则，即，即， 因为构成等差数列，则，即，解得． 17．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 【答案】(1) (2)是，第45项. 【分析】（1）由等差数列的定义确定新的公差即可求解； （2）由（1）所得通项公式代入验证即可 【详解】（1）原数列的公差， 所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为. （2）是.设28是新数列的第项，令， 解得，所以28是新数列中的项，且是第45项. 18．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求得首项和公差，写出数列通项公式； （2）因为，所以整理不等式得，要想不等式恒成立，只需小于等于的最小值，由函数的单调性求得最小值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以. （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立. 当时，取得最小值1， 所以，即的取值范围是. 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【详解】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等差数列 课程标准 学习目标 1. 理解等差数列的概念. 2. 掌握等差数列的通项公式及其应用； 3. 理解等差中项的概念，了解等差数列的有关性质． 1.通过对等差数列概念、通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养； 2.通过等差数列中项、性质的学习培养逻辑推理、数学运算的素养； 3.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养。 知识点01 等差数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． 【解读】(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 【即学即练1】下列数列是等差数列的是(　　) A．，，，　 B．1，，， C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 知识点02等差数列的通项公式 1．通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 【解读】(1)要确定等差数列的通项公式，只需确定首项和公差； (2)在通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量：an，a1，n，d，只要知道任意三个就可求出第四个．　　 2．从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 d． 3．等差数列与一次函数的区别与联系 — 等差数列 一次函数 通项公式(解析式) an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N*或N*的子集{1，2，3，…，n}，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式 4.等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为d， (1)当d>0时，数列{an}为递增数列； (2)当d<0时，数列{an}为递减数列； (3)当d＝0时，数列{an}为常数列． 【解读】（1）等差数列是定义域为N*或N*的子集{1，2，3，4，…，n}的一次函数的函数值． （2））等差数列的通项公式不一定都是关于n的一次函数，常数列a，a，a，…，a的通项公式an＝a为常函数．　　 5．等差数列通项公式的变形及推广 已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则 ⇒an－am＝(n－m)d， 所以①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ②d＝(m，n∈N*，且m≠n). 【即学即练2】已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 知识点03等差中项 (1)如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项． (2)在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项． 【即学即练3】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）和8的等差中项是 ． 知识点04等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. (1)特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (4) 若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【即学即练4】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型01 等差数列的通项及计算 【典例1】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列中，若，，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（2024·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 题型02 等差数列的判断与证明 【典例2】（23-24高二下·海南·期中）下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【变式3】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 题型03等差中项及应用 【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前3项分别为，则的值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．9 【变式1】（24-25高二上·全国·随堂练习）若，是方程的两根，则，的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【变式4】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知构成等差数列，则实数的值为 . 题型04等差数列的性质 【典例4】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·辽宁·期中）公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·山东青岛·期中）等差数列中，，则（   ） A．12 B．33 C．36 D．45 【变式4】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型05等差数列的单调性及最值 【典例5】（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 题型06构造法的应用 【典例6】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且满足，则此数列的通项公式等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 题型07 实际问题中的等差数列 【典例7】（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（    ） A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱 【变式2】（24-25高三上·湖北·阶段练习）长江被称为黄金水道，而三峡大坝则是长江上防洪发电的国之重器.三峡大坝坝前正常蓄水位为海拔175米，而坝下通航最低水位为海拔62米.为了改善船舶的通航条件，常常会通过修建阶梯船闸来实现，船只只需要像爬楼梯一样，以实现上升或者下降.假设每个闸室之间的水位差均可控制在15 至 25米之间，则要保证全年通航，那么三峡大坝船闸至少需要修建闸室的个数为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】（22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 一、单选题 1．（23-24高二下·四川泸州·期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（    ） A．29 B．32 C．35 D．37 2．（23-24高二下·云南迪庆·期中）在等差数列中，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 4．（22-23高二下·山东日照·期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）如果，且，则（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 6．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）已知数列满足，且，，则=（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24高二下·湖南湘西·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 二、多选题 9．（22-23高二上·甘肃金昌·期中）若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 10．（22-23高二上·甘肃武威·期中）已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 11．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，若（，，p为常数），则称为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有（   ） A．若是等方差数列，则是等差数列 B．数列是等方差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则数列一定是常数列 D．若数列是等方差数列，则数列（，k为常数）也是等方差数列 三、填空题 12．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）在数列中，，，若，则 ． 13．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知，，则 . 14．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 四、解答题 15．（23-24高二上·全国·课后作业）已知数列是等差数列. (1)如果，，求公差d和； (2)如果，，求公差d和. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 17．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 18．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围. 19．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$