第02讲 数列中的递推（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第02讲 数列中的递推 课程标准 学习目标 1．理解递推公式的含义． 2．掌握递推公式的应用． 3．会利用an与Sn的关系求通项公式． 1．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养. 知识点01 数列的递推关系 1.数列的递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 2.通项公式与递推公式的区别与联系 类别 区别 联系 通项公式 an是序号n的函数式an=f(n) 都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项 递推公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 【即学即练1】 （1）设数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． （2）数列1，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＋1＝an D．an＋1＝2an 知识点02 数列的前n项和 1、数列的前n项和的定义 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． 2、 an与Sn的关系 一般地，如果数列的前项和为，那么当，由， ，所以，因此 【即学即练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________. 题型01 由递推关系求数列的项 【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列满足 ，则 （    ） A． B． C．3 D．2 【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）数列满足，若，则 ． 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的首项为，递推公式为（）， 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则 ． 【变式4】（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则 . 题型02 求数列的递推关系 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则 ，与的关系为 ． 【变式3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则 ，与的关系为 ． 题型03 数列的周期性及应用 【典例3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 题型04 已知Sn求通项公式an 【典例4】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，则 . 【变式1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式4】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 题型05 累加法求数列的通项 【典例5】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型06 累乘法求数列的通项 【典例6】．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2 023＝ 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式3】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 题型07 根据Sn与an的递推关系求通项 【典例7】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【变式1】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【变式2】已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2021 C． D．0 一、单选题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知数列满足，，则数列的前9项和为（    ） A．6 B． C．3 D． 6．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建龙岩·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 8．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知正项数列满足，，则下列错误的是（   ） A． B．是递增数列 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河南漯河·期末）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 三、填空题 12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知数列满足：且，则 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和，若，恒成立，则实数λ的最大值是 . 14．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）小明同学在研究数列时，发现其递推公式可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则等于 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的数列中，且. (1)当时，求与的值； (2)求证：当时，. 18.已知数列满足． （1）求和； （2）证明：数列为单调递增数列． 19．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数列中的递推 课程标准 学习目标 1．理解递推公式的含义． 2．掌握递推公式的应用． 3．会利用an与Sn的关系求通项公式． 1．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养． 2．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养. 知识点01 数列的递推关系 1.数列的递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 2.通项公式与递推公式的区别与联系 类别 区别 联系 通项公式 an是序号n的函数式an=f(n) 都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项 递推公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 【即学即练1】 （1）设数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 依次代入和即可得到结果. 【详解】 当时，；当时，. 故选：A. （2）数列1，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＋1＝an D．an＋1＝2an 【答案】C　 【解析】由题意可知C选项符合，故选C. 知识点02 数列的前n项和 1、数列的前n项和的定义 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． 2、 an与Sn的关系 一般地，如果数列的前项和为，那么当，由， ，所以，因此 【即学即练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________. 【答案】3　 【解析】a2＝S2－S1＝4－1＝3. 题型01 由递推关系求数列的项 【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列满足 ，则 （    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据递推关系直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，，，． 故选：C 【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）数列满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据条件等式，代入求，再赋值求. 【详解】由，得，，所以，． 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列的首项为，递推公式为（）， 【答案】/1.6 【分析】根据递推公式依次代值计算即可. 【详解】由（），， 则，， ，. 故答案为：. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知数列为，若关于n的图象是一条抛物线上的孤立的点，且，，，则 ． 【答案】21 【分析】利用待定系数法求通项，再求即可. 【详解】设（，）， 由题设可得，解得 所以，，． 故答案为：. 【变式4】（23-24高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】由递推式，结合依次求出、即可. 【详解】由，，可得， 又，可得. 故答案为：. 题型02 求数列的递推关系 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列中从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数（不为零）进行求解即可. 【详解】因为 所以， 故选：D 【变式1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，即可得到，，根据初始值，由此递推即可求得结果. 【详解】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴，，故C正确，D错误； 又∵，， 所以，， ，， ，， ，，故A、B正确. 故选：D 【变式2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则 ，与的关系为 ． 【答案】 7 【分析】由超子集的定义，列举法求出；的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，这类超子集个，从而求得的递推关系. 【详解】由题意知，，则超子集只有，所以； ，则超子集有，所以； ，则超子集有，所以. 由此可以分析，对于，的超子集可以分为两类： 第一类是超子集中不含，这类超子集有个； 第二类是超子集中含，这类超子集同样也包含两类， 一类在中取一个元素，个数为； 另一类在中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值大于1，个数为， 所以． 故答案为：7；. 【变式3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则 ，与的关系为 ． 【答案】 7 【分析】由超子集的定义，列举法求出；的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，这类超子集个，从而求得的递推关系. 【详解】由题意知，，则超子集只有，所以； ，则超子集有，所以； ，则超子集有，所以. 由此可以分析，对于，的超子集可以分为两类： 第一类是超子集中不含，这类超子集有个； 第二类是超子集中含，这类超子集同样也包含两类， 一类在中取一个元素，个数为； 另一类在中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值大于1，个数为， 所以． 故答案为：7；. 题型03 数列的周期性及应用 【典例3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【答案】C 【分析】计算数列的前几项求出周期，再结合周期性分组求和. 【详解】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，进而可得结果. 【详解】因为，， 令，则； 令，则； 令，则； 可知数列为周期为的周期数列，所以. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据斐波那契数列性质得出数列中数字规律即可求得新数列的规律，再利用数列的周期性即可得结果. 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 【变式3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的前项和，则等于（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】利用即可求得的值. 【详解】因为数列的前项和， 所以. 故选：B. 题型04 已知Sn求通项公式an 【典例4】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，，则 . 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】，，， 当时， 两式相减得，而， 则. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，，则. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据求值即可. 【详解】因为. 故选：D 【变式3】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据求值即可. 【详解】因为. 故选：D 【变式4】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由与的关系，化简可得所求通项公式． 【详解】由，可得时，； 当时，． 此时，当时，， 综上，可得． 故答案为：． 题型05 累加法求数列的通项 【典例5】（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【分析】求出，利用累加法求和得到通项公式. 【详解】， 故， 所以 . 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：8 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 【答案】， 【分析】利用累加法可求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以. 所以，，…， 以上各式相加，得： 所以 又也符合上式， 所以，. 故答案为：， 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以采用累加法进行求解. 【详解】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 题型06 累乘法求数列的通项 【典例6】．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2 023＝ 【答案】4045 【详解】 ∵＝2n，∴ an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴ a2 023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4 045. 【变式2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案. 【详解】依题意，数列满足，， ，所以 ，也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为. 故选：B 【变式3】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【答案】B 【分析】 依题意对化简，采用累乘法得到，从而得到 【详解】因为，所以，即，得. 所以. 因为，所以. 故选：B. 题型07 根据Sn与an的递推关系求通项 【典例7】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可. 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 【变式1】（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 【变式3】已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与之间的关系分析可得，令即可得结果. 【详解】因为，则， 两式相减可得：，即， 令，可得， 且，所以. 故选：A. 【变式4】设为数列的前项和，且，则（    ） A． B．2021 C． D．0 【答案】C 【分析】根据数列递推式求出，再利用的关系推出，结合并项求和法，即可得答案. 【详解】由题意知，故，即， 当时，，和相减， 得，即， 故， 故选：C 一、单选题 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推公式求出、即可. 【详解】因为且， 所以，解得，则，即，解得. 故选：C 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】按照数列的递推定义即可求解. 【详解】因为数列满足， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果. 【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足：，，则（    ） A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得. 【详解】在数列中，，， 所以. 故选：B 5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知数列满足，，则数列的前9项和为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用数列递推公式对进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得. 【详解】因，由可推得，， 则，，， 故数列是周期为3的数列， 从而数列的前9项和为. 故选:. 6．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可. 【详解】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 7．（24-25高二上·福建龙岩·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 【答案】A 【分析】设级台阶的走法为，找出数列的递推公式，即可求解. 【详解】设级台阶的走法为， 则，， 当时，， 所以，， ，， . 故选：. 8．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知正项数列满足，，则下列错误的是（   ） A． B．是递增数列 C． D． 【答案】C 【分析】结合数列的递推公式、单调性、以及放缩法、累加法的应用，对各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】对于A：∵，，∴，即 因为在正项数列中，，∴，故A正确； 对于B：， 即，∴是递增数列，故B正确； 对于C：， ∵ ∴，故C不正确； 对于D：∵，，……，， ∴. 故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，，，，故A错误，B正确； 所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 10．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 11．（23-24高二上·河南漯河·期末）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 【答案】BCD 【分析】根据斐波那契数列的定义列出前几项，即可判断A、B，根据递推关系判断C，依题意可得，即可得到，解得即可判断D. 【详解】“斐波那契数列”为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 因为，所以该数列不是一个递增数列，故A错误； 因为，即89是该数列的一项，故B正确； 因为，，， 所以，， ，…， ， 所以，故C正确； 因为，两边同除，可得， 又随着的增大，逐渐趋近于一个常数，所以，解得（负值已舍去），故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）已知数列满足：且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据递推式判断数列的周期性，利用周期性求目标项. 【详解】由题设，则，，，， 由上，是周期为3的数列，则. 故答案为： 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列{an}的前n项和，若，恒成立，则实数λ的最大值是 . 【答案】5 【分析】先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】数列的前n项和， 当时，；当时，满足上式，则， 由，恒成立，得，恒成立， 令， 则对任意都成立， 即，数列单调递增，因此，即的最小值为， 所以，即实数的最大值是. 故答案为：5 14．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）小明同学在研究数列时，发现其递推公式可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则等于 ． 【答案】 【分析】根据，得，将中每一项逐一拆解，即可求解. 【详解】由，可得， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用递推公式的变形对每一项拆解是求和问题的技巧之一. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列满足，，求. 【答案】， 【分析】运用累加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 所以 . 又也符合上式， 所以，. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列满足：（m为正整数），若，求m所有可能的取值． 【答案】m所有可能的取值为4，5，32． 【分析】由根据关系式，分情况讨论，分别求出的值即可. 【详解】若为奇数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，； 若为偶数，则，． 若为奇数，则，（舍去），若为偶数，则，． 若为奇数，则，，若为偶数，则，． 故m所有可能的取值为4，5，32． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的数列中，且. (1)当时，求与的值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系代入，解方程可得；利用的关系，代入可得； （2）通过分析法转化为证明，再利用基本不等式可证. 【详解】（1），， ，得. 又，，得. ，，. （2）要证当时，，由题意，故只需证， 即证，即证，. 即证，即证. 当时，由题意， 则， 当且仅当时，等号成立，得证. ∴当时，. 18.已知数列满足． （1）求和； （2）证明：数列为单调递增数列． 【答案】（1），，；（2）证明见解析 【解析】（1）因为①， 当时，， 当时，②， 由①②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，，. （2）由（1）知，，易知，则， 又对一切恒成立， 所以，得到对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 19．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）由数列的递推式，分别令和，计算可得所求值； （2）猜想，由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明. 【详解】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$