15.2 线段的垂直平分线（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.能够利用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性. 2.能够运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理. 3.知道三角形三边的垂直平分线的交点的性质. ◎重点:线段的垂直平分线的性质定理和逆定理. ◎难点:尺规作图的证明. 根据之前所学知识，请你写出垂直平分线的定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 ,又叫做线段的中垂线. 你知道如何作出线段的垂直平分线吗？你能想到几种方法？ 情景导入 通过折纸可以作出线段的垂直平分线.在半透明纸上画一条线段AA',折纸,使A 与A'重合,得到的折痕l是线段AA'的垂直平分线. 方法1 新知探究 也可以用刻度尺量出线段的中点,再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线. 下面介绍用尺规作图,作出线段AB的垂直平分线. 作法: 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 2. 过点C,D作直线CD. 1.分别以点A，B为圆心, 大于 AB长为半径作弧, 两弧交于点C和D. A B C D 方法2 为什么这样作出的直线CD,就是线段AB的垂直平分线呢?设所作直线CD交AB于点О,你能给出证明吗? A B C D 证：设CD与AB相交于点E 在△ACD和△BCD中 AC=BC AD=BD CD=CD ∴△ACD ≌△BCD(SSS) ∴∠ACD=∠BCD ∴CD是AB的垂直平分线 E AC=BC ∠ACD=∠BCD CE=CE ∴△ACE ≌△BCE(SAS) ∴∠AEC=∠BEC=90° ∴AO=BO ∴AB⊥CD PA=PB P1A=P1B …… 作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； 量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得到什么规律？ A B P1 P M N C 线段的垂直平分线有如下性质: 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. A B P M N O 例1：如图直线MN经过AB的中点O，且MN⊥AB, P是MN上任意一点上. 求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB ∴ ∠POA= ∠BOP=90º 在 ΔAOP和Δ BOP中， AO=BO ∠AOP=∠BOP PO=PO ∴ ΔAOP ≌Δ BOP （SAS） ∴PA=PB 课本例题 你能写出上面定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是真命题,请给出证明. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 证明： 如图，过点P作 PO⊥ AB，垂足为点O， 在△PAO和△PBO，因为∠POA =∠POB=90° △PAO≌△PBO,因此 AO=BO，即PO是线段AB的垂直平分线. A B P M N O 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB, AC的垂直平分线上,（已知） ∴PA = PB, PA = PC. (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴PB = PC.(等量代换） ∴点P在BC的垂直平分线上. （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） 例2 已知：如图，△ABC的边AB, AC的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在BC的垂直平分线上. 课本例题 这个例子说明:三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 概念归纳 课堂练习 1.公路l同侧的 A,B 两村,共同出资在公路边修建一个停靠站C,使停靠站到 A,B两村距离相等.请你确定停靠站的C位置. 解:如图 15 -9 所示, 作法:作AB的垂直平分线交于点C,点C即为停靠站的位置 2.已知: 直线l是线段 AB 的垂直平分线,C,D 是l上任意两点(除 AB 的中点外)求证:(1)△ABC，△ABD 是等腰三角形; (2)∠CAD=∠CBD. 证明:如图15-10所示,设!和A8 交于点 0. (1)∵l垂直平分AB,C,D是l上的两点，图15-10 ∴AC=BC,AD=BD.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴△ABC,△ABD是等腰三角形, (2)由(1)知AC=C.AD=BD.在△ACD和△BCD中， AC=BC,AD=BD,CD =CD, ∴△ACD≌△BCD.(SSS)∴∠CAD=∠CBD.(全等三角形的对应角相等) 3. 已知:C,D是线段 AB 外的两点,且 CA =CB,DA =DB. 求证:直线 CD 垂直平分线段 AB. 证明:因为CA=CB,所以点C在线段A8的垂直平分线上,同理,由DA=DB知,点D也在线段AB的垂直平分线上,所以直线CD垂直平分线段AB. 课堂练习 1. [新考法·性质辨析法]如图，在四边形 ABCD 中， AC 垂直平分 BD ，垂足为 E ，下列结论不一定成立的是(　C　) A. AB ＝ AD B. CA 平分∠ BCD C. AB ＝ BD D. △ BEC ≌△ DEC (第1题) C 分层练习-基础 2. 如图，在△ ABC 中， AB 的垂直平分线分别交 AB ， BC 于点 D ， E ，连接 AE ，若 AE ＝4， EC ＝2，则 BC 的长是(　C　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 (第2题) C 3. 如图，在△ ABC 中， BC 的垂直平分线交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，连接 CE . 若 CE ＝ CA ，∠ ACE ＝40°，则∠ B 的度数为 ⁠. (第3题) 35°　 【点拨】 因为 CE ＝ AC ，所以∠ A ＝∠ AEC . 因为∠ A ＋∠ AEC ＋∠ ACE ＝180°，∠ ACE ＝40°， 所以∠ AEC ＝70°. 因为 DE 垂直平分 BC ， 所以 BE ＝ CE ，所以∠ B ＝∠ BCE . 因为∠ AEC ＝∠ B ＋∠ BCE ，所以∠ B ＝35°. 4. 如图， AC ＝ AD ， BC ＝ BD ，则有(　A　) A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. 以上都不正确 (第4题) A 【点拨】 因为 AC ＝ AD ， BC ＝ BD ，所以 AB 垂直平分 CD . 5. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，且 BC ＝ BD ＋ AD ，则点 D 在某一线段的垂直平分线上.这条线段是(　B　) A. AB B. AC C. BC D. 不确定 【点拨】 因为 BC ＝ BD ＋ DC ＝ BD ＋ AD ，所以 AD ＝ CD ， 所以点 D 在 AC 的垂直平分线上. B 6. 已知在同一平面内， C ， D 是线段 AB 外的两点， AC ＝ BC ， AD ＝ BD ，点 P 在直线 CD 上.若 AP ＝5，则 BP 的长为(　B　) A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 25 B 7. [2023·青岛]请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：△ ABC . 求作：点 P ，使 PA ＝ PC ，且点 P 在△ ABC 边 AB 的高上. 【解】如图，点 P 为所作. 易错点　 对基本图形掌握不准确而出错 8. [2022·台州]如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，点 P 在射线 AD 上(不与点 A ， D 重合)，连接 PB ， PC ，下列说法中错误的是(　D　) A. 若 AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，则 PB ＝ PC B. 若 PB ＝ PC ， AD ⊥ BC ，则 AB ＝ AC C. 若 AB ＝ AC ，∠1＝∠2，则 PB ＝ PC D. 若 PB ＝ PC ，∠1＝∠2，则 AB ＝ AC D 解本题的关键是证明三角形全等及掌握线段垂直平分线的性质. 9. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， G 为三角形外一点，且 GB ＝ GC . (1)求证： AG 垂直平分 BC ； 【证明】∵ GB ＝ GC ， AB ＝ AC ， ∴点 G ， A 在 BC 的垂直平分线上. 又∵两点确定一条直线， ∴ AG 垂直平分 BC . 分层练习-巩固 (2)点 D 在 AG 上，求证： DB ＝ DC . 【证明】∵ AG 垂直平分 BC ，点 D 在 AG 上，∴ DB ＝ DC . 一是定义法，二是判定定理.一般习惯用定义法进 行判断，而利用判定定理判断更简单. 　用判定定理判 定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线 上有两点到线段两个端点的距离相等.　 一是定义法，二是判定定理.一般习惯用定义法进 行判断，而利用判定定理判断更简单. 　用判定定理判 定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线 上有两点到线段两个端点的距离相等.　 【点方法】 判断线段垂直平分线的两种方法. 10. 如图，在△ ABC 中， E 是 BC 边上一点，连接 AE ， BD 垂直平分 AE ， 垂足为点 F ，交 AC 于点 D ，连接 DE . (1)若△ ABC 的周长为18，△ DEC 的周长为6，求 AB 的长； 【解】因为 BD 垂直平分 AE ，所以 AB ＝ BE ， AD ＝ DE . 因为△ ABC 的周长为18，△ DEC 的周长为6，所以 AB ＋ BE ＋ EC ＋ CD ＋ AD ＝18， CD ＋ EC ＋ DE ＝ CD ＋ CE ＋ AD ＝6，所以 AB ＋ BE ＝18－6＝12，所以 AB ＝6. (2)若∠ ABC ＝30°，∠ C ＝45°，求∠ CDE 的度数. 【解】因为∠ ABC ＝30°，∠ C ＝45°，所以∠ BAC ＝180°－30° －45°＝105°.在△ BAD 和△ BED 中， 所以△ BAD ≌△ BED ( SSS )，所以∠ BED ＝∠ BAC ＝105°， 所以∠ ADE ＝360°－∠ ABC －∠ BAC －∠ BED ＝120°， 所以∠ CDE ＝180°－∠ ADE ＝180°－120°＝60°. 11. [新考法·比较发现法]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线交 AB 于点 N ，交 BC 的延长线于点 M . (1)若∠ A ＝40°，求∠ M 的度数. 【解】∵ AB ＝ AC ，∠ A ＝40°， ∴∠ B ＝∠ ACB ＝ ＝70°. ∵ MN 垂直平分 AB ，∴∠ MNB ＝90°， ∴∠ M ＝180°－90°－∠ B ＝90°－70°＝20°. (2)如果将(1)中∠ A 的度数改为70°，其余条件不变，求∠ M 的度数. 【解】同(1)可求得∠ B ＝55°，∠ MNB ＝90°， ∴∠ M ＝90°－55°＝35°. (3)由(1)(2)你发现了什么规律？并说明理由. 【解】 ∠ M ＝ ∠ A . 理由如下：连接 AM . ∵ MN 垂直平分 AB ，∴ BM ＝ AM . ∴∠ ABC ＝∠ BAM . ∵∠ ABC ＝∠ ACB ，∴∠ BAM ＝∠ ACB . 又∵∠ BAM ＝∠ BAC ＋∠ CAM ，∠ ACB ＝∠ CMA ＋∠ CAM ， ∴∠ BAC ＝∠ BMA . 易知∠ BMN ＝∠ AMN ， ∴∠ NMB ＝ ∠ BMA ＝ ∠ BAC . 【点方法】 利用线段的垂直平分线不仅可以证明线段相等，还可以借助线段相等，得到角相等，从而求一些相关角的度数. 12. [新考法·逆向思维法]如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝90°， AB ＝25 cm， DA ＝15 cm， CB ＝10 cm.动点 E 从 A 点出发，以2 cm/s的速度向 B 点移动，设移动的时间为 x s. (1)当 x 为何值时，点 E 在线段 CD 的垂直平分线上？ 分层练习-拓展 【解】当 x ＝5时，点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.理由：当 x ＝5时， AE ＝2×5＝10(cm)＝ BC . ∵ AB ＝25 cm， DA ＝15 cm， ∴ BE ＝15 cm＝ AD . 在△ ADE 和△ BEC 中， ∴△ ADE ≌△ BEC ( SAS )， ∴ DE ＝ CE ，∴点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.故当 x ＝5时，点 E 在线段 CD 的垂直平分线上. (2)在(1)的条件下，判断 DE 与 CE 的位置关系，并说明理由. 【解】 DE 与 CE 的位置关系是 DE ⊥ CE . 理由： ∵△ ADE ≌△ BEC ，∴∠ ADE ＝∠ CEB . ∵∠ A ＝90°，∴∠ ADE ＋∠ AED ＝90°， ∴∠ AED ＋∠ CEB ＝90°， ∴∠ DEC ＝180°－(∠ AED ＋∠ CEB )＝90°， ∴ DE ⊥ CE . 1.已知：如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B，C在x轴上. (1)若点C的坐标为(3，0)，则点B的坐标是什么？ 解：(1)点B的坐标是(-3，0). 习题15.2 (2)若点B的坐标为(m，0)，则点C的坐标是什么？ (2)点C的坐标是(-m，0). 2.已知：如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC=8，BC=5，则△BEC的周长等于多少？ 解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线， ∴AE=BE. ∴△BEC的周长=BE+EC+BC =AE+EC+BC=AC+BC=13. 3.已知：如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE分别与边AB，BC交于点D，E.求证：AB>AC. 证明：连接CD，∵DE是△ABC的 边BC的垂直平分线，∴BD=CD. 在△ADC中，∵AD+CD>AC, ∴AD+BD>AC, 即AB>AC. 4.已知：如图，AB=CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE=∠CDE. 证明：连接AE，CE. ∵线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E. ∴AE=CE，BE=DE. 在△ABE与△CDE中， ∵ ∴△ABE≌△CDE.(SSS) ∴∠ABE=∠CDE. 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 $$