专题03 等腰三角形期末汇编（15题型100题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题03等腰三角形 题型01 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解： B、C、D项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义进行分析即可．掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 3．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：C． 4．（22-23八年级上·河北保定·期末）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到给出的有字母标号的四个空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质对各项分析即可得出结论． 【详解】解：项将①移动到处，可以得到对称图形，故项不符合题意； 项将①移动到处，可以得到对称图形，故项不符合题意； 项将①移动到处，得到图形不对称，故项符合题意； 项将①移动到处，可以得到对称图形，故不符合题意． 故选： 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 题型02 画轴对称图形 6．（23-24八年级下·河北承德·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，熟练掌握点的对称特点是解决本题的关键． 根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：D． 7．（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知点和关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了关于y轴对称的点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，及已知字母的值求代数式的值，正确理解关于y轴对称的点坐标特点求得是解题的关键 【详解】解：∵点和关于y轴对称， ∴， ∴， ∴ 故答案为1 8．（22-23八年级上·河北承德·期末）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据割补法求三角形的面积即可求解； （2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线m，即可求解； （3）根据轴对称的性质作出，即可． 【详解】（1）解：（1）的面积为， 故答案为：5； （2）解：如图1，直线m即为所求． （3）解：如图2，即为所求． 9．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的； (3)已知P为x轴上一点，若 的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．   【答案】(1)4 (2)，图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于y轴对称点的性质，三角形的面积公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用割补法求三角形的面积即可． （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点D的坐标；根据轴对称的性质作图即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为1，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求． 的面积是． 故答案为：4． （2）∵点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为． 如图，即为所求． 故答案为：． （3）设点P的坐标为， ∵的面积为1， ∴， 解得或0， ∴点P的坐标为或． 10．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)请画出关于轴对称的图形（其中分别是、、的对应点，不写画法）； (2)直接写出三点的坐标； (3)平面内一点关于直线轴对称点的坐标为___________． (4)若点为轴上动点，当周长最小时，画出点的位置（不写画法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)见解析 【分析】（1）根据轴对称线的性质找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标即可求解； （3）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解； （4）根据对称性，连接，交于点轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， （2）三点的坐标：； （3）平面内一点关于直线轴对称点的坐标为， 故答案为：． （4）根据对称性，连接，交于点轴于点，则点即为所求，如图所示， 【点睛】本题考查了轴对称作图，关于轴对称轴的坐标特征，轴对称求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型03 用等腰三角形的性质求解 11．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可．本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解： 在三角形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，则（   ）度． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角和性质的应用． 已知，则可根据等腰三角形的性质得到几组相等的角，从而可推出与之间的关系，再根据三角形外角的性质即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：B． 13．（23-24八年级上·河北张家口·期末）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不和、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质， 根据线段垂线的定义得到，从而求得，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键． 【详解】解：①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上所述：或 故选：C． 14．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，已知是正六边形与正五边形的公共边，连接，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正六边形和正五边形的内角，再求出的度数，根据，得到等腰三角形两底角相等即可得到答案． 【详解】解：，， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角，等腰三角形的性质，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键． 15．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，是的中线，边的垂直平分线交于点，连接，交于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解： ∵，是的中线，，， ∴，，即， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 16．（23-24八年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰三角形中，，，为的中点． （1）连结，则 ； （2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可； （2）过D作于G，于H，先由角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定与性质，结合四边形的内角和为求解即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故答案为：； （2）过D作于G，于H，则，， 如图，若，，则， ∴， ∵， ∴； 若，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，符合条件的的度数为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质以及四边形的内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 17．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，． (1)作出边的垂直平分线，与，分别交于点D和点E； (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在，两边相交于，两点，然后过这两点作直线即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据，得到，由三角形内角和定理得，推出，然后根据等边对等角的性质得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的边的垂直平分线； （2）证明：如图，连接， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，正确作出图形是解题的关键． 18．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直半分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．    (1)求线段的长； (2)连接，求线段的长； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． 【详解】（1）解： 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为，即 ； （2）解：连接，如图所示：    是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ，， ； （3）解：， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型04 等腰三角形的判定 19．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及外角的性质等知识；先由平行线的性质得，等量代换得到，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】解：∵③， ∴④， ∵①， ∴②， ∴⑤， 故证明步骤正确的顺序是， 故选：A． 20．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先利用三角形的内角和定理求解第三个角的大小，再判断即可． 【详解】解：由， ∴三角形中有两个角相等，是等腰三角形，故A符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故B不符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故C不符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的判定方法是解本题的关键． 21．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确 【答案】D 【分析】通过①②可证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断甲的说法；通过②③可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得判断乙的说法；延长至点，使，连接，先证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断丙的说法． 【详解】解：当①②同时成立时， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ，即甲的说法正确； 当②③同时成立时，则垂直平分， ，即乙的说法正确； 当①③同时成立时， 如图，延长至点，使，连接， 为中点， ， 在和中，， ， ， 平分， ， ， ， ，即丙的说法正确； 综上，甲、乙、丙都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，较难的是证明丙的说法，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 22．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，将长方形沿折叠，B，C分别落在点H，G的位置，与交于点M．下列说法中，不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质知，，，结合平行线的性质可证，可证选项B正确；由点到直线的距离可得，故选项A不正确；由折叠的性质知，再由，可得选项C正确，利用平行线的性质可得，，可证选项D正确． 【详解】解：如图，过点M作， 由折叠的性质知，，， 由题意知，， ∴，， ∴， ∴，故选项B正确，不合题意； ∵， ∴，故选项A不正确，符合题意； 由折叠的性质得：， ∵， ∴，故选项C正确，不合题意； ∵， ∴， 由题意知， ∴， ∴，故选项D正确，不合题意； 故选A． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是牢记折叠前后对应边相等、对应角相等． 23．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是（    ） A．是的平分线 B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图知是的平分线，可得，由等角对等边得，再由的直角三角形的性质得，再由得． 【详解】解：由尺规作图可知是的平分线， 故选项A正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选项B正确； 在中，，， ∴ 故选项C错误； ∵ ∴ 故选项D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，等边对等角，理解所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 24．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ． 【答案】（或） 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形， ∴可添加（或）． 故答案为：（或） 题型05 利用等腰三角形的性质证明 25．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，是边的中线，于点，于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质求得，，根据角平分线的性质求得，再根据证明，推出，，进一步求解即可判断． 【详解】解：∵，是边的中线， ∴，， ∵，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上，①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 26．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，为内一点，且平分为延长线上一点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)点在上，连接，若，判断和的数量关系，并说明理由． 小明的解答是：和相等；理由： ，． ． ． 又． 请你判断小明的结论和理由是否都正确？若不正确，请指出问题，并给出正确解答． 【答案】(1)见解析 (2) (3)小明的结论正确，理由不正确，因为两边及一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等；正确解答见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得，然后根据即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得答案； （3）根据等腰三角形的性质得，再根据可得，由全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分，∴． 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴； （3）小明的结论正确，理由不正确，因为两边及一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等． ∵， ∴ ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解决此题关键． 27．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示方式放置，图2是由图1抽象出的几何图形，其中，，，，，在同一条直线上．连接．    (1)请找出图2中与全等的三角形，并给予证明； (2)试判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)．证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键． （1）由得到．由，，根据即可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； （2）由，，得到，由全等三角形的性质得到，进一步即可证明．利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】（1）解：． 证明：∵， ∴， 即． 在与中， ∴． （2）． 理由如下：∵，， ∴， 由（1），得， 则． ∴， ∴． 28．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，D为BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E． (1)如图1，过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，求证：△ACD≌△CBF； (2)如图2，若D为BC的中点，CE的延长线交AB于点M，连接DM．求证：∠BDM=∠ADC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由BF⊥BC，CE⊥AD，可得∠CAD=∠BCF，在利用ASA即可证明△ACD≌△CBF； （2））过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，由△ACD≌△CBF，得∠ADC=∠F，CD=BF，再结合D为BC的中点，∠ACB=90°，AC=BC，利用SAS可推出△BDM≌△BFM，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵BF⊥BC，CE⊥AD， ∴∠AEC=∠CBF=∠ACB=90°， ∴∠CAD+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90°， ∴∠CAD=∠BCF， 在△ACD与△CBF中， ， ∴△ACD≌△CBF（ASA）； （2）证明：过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F， 由（1）知，△ACD≌△CBF， ∴∠ADC=∠F，CD=BF， ∵D为BC的中点， ∴CD=BD， ∴BD=BF， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°， ∵∠CBF=90°， ∴∠FBM=90°-45°=45°， ∴∠DBM=∠FBM， 在△BDM与△BFM中， ， ∴△BDM≌△BFM（SAS）， ∴∠BDM=∠F， ∴∠BDM=∠ADC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，正确证出辅助线构造两个全等三角形是解题的关键． 29．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图所示，在中，，点D是线段CA延长线上一点，且．点F是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且． (1)若，则_______； (2)过D点作，垂足为G． ①填空： _______； ②求证：； (3)如图2，若点F是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段之间的数量关系，并简要说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；②见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）在等腰直角三角形中，， ，根据余角的定义得到，根据三角形的内角和得到，然后根据三角形内角和定理即可解答； （2）①如图1，过D作于G，在中，由余角的定义得到，由于，推出，证得；②根据可得，根据三角形的内角和和余角的定义得到，推出，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （3）如图2，过D作交的延长线于M根据余角的定义和三角形的内角和得到，证得，由全等三角形的性质得到，由于，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1： 在等腰直角三角形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60 （2）解：①如图1，过D作于G， 在中， ， ∵， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， 故答案是：； ②∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图2，过D作交的延长线于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理以及同角的余角相等，正确的作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 题型06 用轴对称图形的性质求解 30．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ，， ∵， ∴， 故选：D． 31．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求得，进而根据轴对称的性质可得，即可求解． 【详解】解∶连接， 点分别以、为对称轴，画出对称点、， ，， ，， ， ， 故答案为： 32．（20-21八年级上·河北唐山·期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N． （1）①若∠AOB＝70°，则∠COD＝　 °； ②若∠AOB＝α，求∠COD的度数． （2）若CD＝8，则求△PMN的周长． 【答案】（1）①140°；②∠COD＝2α；（2）△PMN的周长为8． 【分析】（1）①由点C和点P关于OA对称．可得∠AOC＝∠AOP ，由点P关于OB对称点是D，可得∠BOD＝∠BOP，可求∠COD＝2（∠AOP+∠BOP）＝2∠AOB=140°即可； ②由点C和点P关于OA对称．可得∠AOC＝∠AOP ，由点P关于OB对称点是D，可得∠BOD＝∠BOP，可求∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD＝2α； (2)根据轴对称的性质，可知CM＝PM，DN＝PN 可求△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CD＝8即可； 【详解】解：（1）①∵点C和点P关于OA对称， ∴∠AOC＝∠AOP ， ∵点P关于OB对称点是D， ∴∠BOD＝∠BOP， ∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD ＝2（∠AOP+∠BOP） ＝2∠AOB =2×70° =140°， 故答案为：140°， ②∵点C和点P关于OA对称． ∴∠AOC＝∠AOP ， ∵点P关于OB对称点是D， ∴∠BOD＝∠BOP， ∴∠COD＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD ＝2（∠AOP+∠BOP） ＝2∠AOB ＝2α， (2)根据轴对称的性质，可知CM＝PM， DN＝PN ， 所以△PMN的周长为：PM+PN+MN＝CM+DN+MN＝CD＝8． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，角的和差，掌握轴对称性质是解题关键． 33．（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图，在中，，．的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为 ． （2）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】 2 36 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，解题关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等、角平分线上的点到角两边的距离相等、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． （1）根据垂直平分线的性质，得到，，即可求出的周长； （2）过点作于点，由角平分线的性质，得到，进而得到，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出的面积． 【详解】解：（1）垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， 故答案为：2； （2）如图，过点作于点， 平分，， ， ， ， 点E为的中点， ， 故答案为：36． 34．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若的周长为5，，则的长为 ，边长的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】先根据三角形的周长公式可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得；然后利用三角形的三边关系即可得边长的取值范围． 【详解】解：的周长为5，， ， ， 的垂直平分线交于点， ， ， 由三角形的三边关系得：，即， 则边长的取值范围， 故答案为：3，． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 35．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 【答案】3 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】解：连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，   ， ； 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 36．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图所示，在中，、、分别在、、边上，，，是的垂直平分线，试判断是哪种类型的三角形，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】连接、，由垂直平分线的性质可得，再利用SSS证明，可得，即可得，可证得是等腰三角形． 【详解】是等腰三角形 证明：连接、，如图所示 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ． 即是等腰三角形． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 37．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条直平分线分别交于点、．已知的周长为． (1)求线段； (2)分别连接、、． ①若的周长为，求的长度； ②若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得到； （2）①由结合得到，根据线段垂直平分线的性质可得，继而求得的长； ②根据垂直平分线的定义及四边形内角和即可得答案． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 同理，， ∵的周长， ∴， ∴； （2）①连接，， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 同理，， ∴； ②∵，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质以及多边形内角和，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解决问题的关键． 题型07 等边三角形的性质、判定 38．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，D是的中点，于E，已知，则的长为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，即可得出答案． 【详解】解：∵在等边中，D是的中点，， ∴， ∵于E， ∴，＋， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，属于基础题要牢牢掌握． 39．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接．根据等边三角形的性质可知，根据三角形外角的性质可知，得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 是等边三角形， ， ，， ， 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是求出的取值范围． 40．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，，平分，且，若点M、N分别在直线上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．在上截取，作，证明，得出是等边三角形，则只要就是等边三角形，则这样的三角形有无数个． 【详解】解：如图，在上截取，作． ∵平分∠， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴则只要就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选：D． 41．（23-24八年级上·河北沧州·期末） 如图，在平面直角坐标系中，射线和x轴形成的角是，且点…在x轴上，点…在射线上，若…均为等边三角形，且点，则的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标的规律，等边三角形的性质和三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得出，然后利用三角形外角的性质得出，从而有，得出规律，然后进行计算即可． 【详解】解：∵…均为等边三角形， ， ， ， ∵点坐标是 同理，， ∴，即点坐标是，的横坐标是. 故选：A． 42．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）已知是等腰三角形，边上的高恰好等于边长的一半，则的度数为（    ） A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当在三角形的内部，②在三角形的外部以，③边为等腰三角形的底边三种情况． 【详解】解：如图，分三种情况：①在三角形的内部， 延长到点，使， ∵， ∴， 又 ∴ ∴,, 又， ∴即是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴； ②在三角形的外部， 同理可得 ∵, ∴ 又， ∴； ③边为等腰三角形的底边， 由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合知，点D为的中点， 由题意知，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为或或， 故选：D． 43．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，是等边三角形，，于点D，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角的性质，根据等边三角形的定义以及三线合一的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：． 44．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，和是等边三角形，连接，交于点F． （1）的值为 ； （2）的度数为 . 【答案】 1 60 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，，，再由，得出，利用可证得，从而可得出结论； （2）由，可得，再根据，结合三角形内角和即可求解． 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 故答案为：1； （2）由，可得， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 60． 45．（23-24八年级下·河北保定·期末）数学课上，欲证明命题：“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”． 老师仅给出了较短直角边，要求大家利用尺规作出以为直角的，并借助所作图形证明上述命题． (1)下面是嘉琪的部分作法及作出的部分图形，请你用尺规作图的方法在图2中完成后续作图；（只保留作图痕迹，不写作法，作图要用铅笔，如果笔迹太细、太轻，可以描重一些） (2)嘉琪依据（1）中作出的，写出了已知、求证和证明的过程，请你补充完整． 已知：中，，______________． 求证：______________． 证明：延长至，使，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，等边三角形的判定性质，垂直平分线的性质． （1）先作的垂直平分线，再以点B为圆心，为半径画弧，所画弧与的垂直平分线相交于点A，连接； （2）延长至，使，连接，易得，根据垂直平分线的性质得出，即可推出为等边三角形，根据三线合一即可求证． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）已知：中，，． 求证：． 证明：延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，则为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 46．（23-24八年级上·河北保定·期末）在等边三角形中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点．若，，求的长度； 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质，结合已知证明即可． （2）利用，得证，结合已知得到，得证，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：根据（1）得， ∴，； ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 47．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图1，在中，，，是的角平分线，于点E，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)如图2，点M为线段上一点（点M不与点C，E重合），连接，向右侧作等边，连接． ①求证：； ②若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ；② 【分析】（1）先利用角平分线的性质得到，从而根据三线合一得到，故，从而得证； （2）①先证明，然后得到，从而得证；②由可得，，最后由角的直角三角形的性质得解； 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∵BD是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又， ∴是等边三角形． （2）①证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②， 由（1）可知是等边三角形， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用这些性质进行证明是解题的关键． 48．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图1，点、分别是边长为5cm的等边边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为1cm/s． (1)连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形，求的值？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，直接写出它的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当第秒或第秒时，为直角三角形 (3)，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以．因而运用边角边定理可知，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）设时间为t，则．分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得t的值． （3）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到．再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵等边中，，， ∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设时间为，则，， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． （3）解：，理由如下： ∵在等边中，，， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴ 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键． 49．（22-23八年级上·河北沧州·期末）阅读下列材料，解答相应问题： 已知是等边三角形，是高，设．点不与点、、重合到的距离，到的距离，到的距离． 如图1，当点与点重合时，我们容易发现：，因此得到：．    (1)小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论还成立吗？若成立，借助图证明你的猜想 (2)进一步猜想：当点在的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 之间的数量关系，并证明．(借助答题卡上的图4) (3)延伸，当点在直线，上时，借助图，直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)成立，见证明解析 (2)不成立，应为：，证明见解析 (3)当在上时，；当在的延长线上时，；当在的延长线上时，；当在上时， ； 当在延长线上时，；当在延长线上时， 【分析】（1）根据，设等边三角形的边长．进而即可求解； （2）根据题意画出图形，根据三角形的面积即可求解； （3）分六种情况讨论，分别画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图3，连接．    ∴． 设等边三角形的边长． ∵， ∴ ∴ ∴ （2）当点在的延长线上，上述结论不成立； 应为：． 证明：如图，连接．    设等边三角形的边长． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）如图，设等边三角形的边长． 当在上时，，即    当在的延长线上时，，即      当在的延长线上时，同理可得，    当在上时，同理可得，    当在延长线上时，    当在延长线上时，    综上所述，当在上时，；当在的延长线上时，；当在的延长线上时，；当在上时， ； 当在延长线上时，；当在延长线上时， 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积公式，分类讨论是解题的关键． 题型08 线段垂直平分线的判定 50．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）下列说法错误的是（    ） A．若点P是线段的垂直平分线上的点，则 B．若，，则直线是线段的垂直平分线 C．若，则点P在线段的垂直平分线上 D．若，则过点P的直线是线段的垂直平分线 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定． 【详解】解：A.若点P是线段的垂直平分线上的点，则，故该说法正确，不符合题意； B.若，，则直线是线段的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意； C.若，则点P在线段的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意； D.若，则过点P的直线不一定是线段的垂直平分线，故该说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定方法，熟练掌握和运用线段垂直平分线的判定方法是解决本题的关键． 51．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可． 【详解】解：∵点到和两边的距离相等， ∴点在的角平分线上， 甲图所作为和的角平分线的交点，点不在边上，不符合题意； 乙图与没有相交，不符合题意； 丙图所作为的角平分线与交于点，符合题意； 丁图所作为线段的垂直平分线，不能使到和两边的距离相等，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了尺规作图，作角平分线以及垂直平分线，熟练掌握尺规作图作角平分线以及垂直平分线是解本题的关键． 52．（15-16八年级上·北京平谷·期末）如图所示，小兰用尺规作图作边上的高，作法如下： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F； ②作射线，交边于点H； ③以B为圆心，长为半径作弧，交直线于点D和E； ④取一点K使K和B在的两侧； 所以就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（　　） A．①②③④ B．④③①② C．②④③① D．④③②① 【答案】B 【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作即可． 【详解】用尺规作图作边上的高，做法如下： ④取一点使和在的两侧； ③以为圆心，长为半径作弧，交直线于点和； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于； ②作射线，交边于点； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法． 53．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，D为中点，，，过点E作交于F，作交的延长线于点G，连接， （1） ． （2） ．（填入数值） 【答案】 /0.5 10 【分析】（1）根据，，得出，即可得出结论； （2）根据题意得出垂直平分，先证明，得出，再证明，得出，设，则， ，，进而得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵D为中点，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ，， ∵， ∴， 解得：，即， 故答案为：10． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，正确得出三角形全等是解题的关键． 题型09 用线段垂直平分线的性质解决问题 54．（20-21八年级下·河北保定·期末）如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义；连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 55．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接，延长交于D， ∴， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∴， 故选A． 56．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有______（请填序号） ①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法； （1）根据证明即可； （2）证明，得出，即可证明； （3）根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； （4）根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分， 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故①正确； ，， ， ， ， ∴ D为中点， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故②正确； 连接， ， ， 在中，， ， 不可能是等边三角形， 故③错误； ， ，， 点M、B在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故选：B． 题型01 图形的折叠问题 57．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将沿折痕折叠，使边落在边上，则得到结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：将沿折痕折叠，使边落在边上， ∴，故D正确， 而，，不一定正确； 故选：D． 58．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，.沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，进一步即可得出答案. 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，属于基础题目，熟知折叠的性质是关键. 59．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，那么，，三个角的关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，由折叠得：，根据将三角形的外角的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 设交于点， 由折叠得：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，折叠问题，熟练掌握三角形外角的性质以及折叠的性质是解题的关键． 60．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝70°，则∠BDF等于（　　） A．65° B．50° C．40° D．37.5° 【答案】C 【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：是沿直线翻折变换而来， ， 是边的中点， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 61．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，再将剪下的角展开，得到一个四边形，根据图中所给数据，下列判断正确的是（    ）    甲：展开后的图形是正方形；     乙：展开后的图形的面积为64 A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【分析】通过观察发现剪下的部分为一个等腰直角三角形，进而得到展开后的图形是正方形；通过题中数据可求该三角形面积，然后由折叠2次可知，展开图像面积为该三角形面积的4倍，即可求得结果． 【详解】解：观察发现剪下的部分为一个等腰直角三角形， ∴展开后的图形是4个该等腰直角三角形拼接而成， ∴展开后的图形是正方形； 由折叠2次可知，展开图像面积为该三角形面积的4倍， 所以剪下部分展开得到的四边形的面积为， ∴只有甲对． 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠问题，直角三角形的面积，求出直角三角形的面积是解题的关键． 62．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图1，将长方形沿折叠，点落在处，设． (1)若，求的度数； (2)如图2，若沿折叠后，点落在上，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，求出，可得； （2）根据折叠的性质和余角的性质得到，从而得到． 【详解】（1）解：若，则， 由折叠可知：， ， ∴， ∴； （2）∵点落在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，三角形内角和，余角的性质，解题的关键是根据折叠得到相等的角． 63．（23-24七年级上·福建南平·期末）在长方形纸片中，点E在边上，点M，N分别在，上，将沿折叠得到，将沿折叠得到． (1)如图1，点G恰好落在直线上，求的大小； (2)如图2，当点G落在内． ①已知，求重叠部分的的大小； ②若的度数为，的度数为，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． （1）根据折叠得出，，根据，即可得出答案； （2）①根据，求出，得出，即可得出答案； ②求出，得出，根据，求出即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知，，， ∵， ∴． （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型02 等腰三角形的个数确定 64．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． 65．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 66．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点． 则符合条件的点共有5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键． 67．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意；   当时，存在满足条件的点只有一个； ∴；   当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，不存在满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形． 题型03 等腰三角形的性质与判定的综合问题 68．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 69．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个等腰直角三角形 按如图方式折叠，若 ，，下列四个结论：①平分 ；② 长为 ；③是等腰三角形；④ 的周长等于 的长．其中，正确的是（　） A．② B．②③④ C．③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质． 由为等腰直角三角形，得，根据折叠可得，可判定①错误；而可判定②正确；由，可判定③正确；又的周长，可判定④正确，即可得到答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵折叠得到， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵由折叠得到， ∴ ∴ ∴不平分，所以①错误； ∵， ∴ ，所以②正确； ∵， ∴是等腰三角形，所以③正确； ∵的周长 ∴的周长等于的长，所以④正确． 故答案为：②③④， 故选：B． 70．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，点P在的角平分线上，，，垂足为点D，，点M是射线上一动点，设，若对于d的一个数值，只能得到唯一一个，求d的取值范围．对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】根据垂线段唯一性，等腰三角形的性质判定即可． 【详解】当时，根据垂线段的唯一性，得到唯一的； 当时，与有唯一交点，故得到唯一的； ∴甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段的唯一性，等腰三角形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 71．（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，直线平分，过点作交于点．动点同时从点A出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点的运动时间为．    （1）的度数为 ． （2）当点沿射线运动时，若，则的值为 ． （3）当动点在直线上朝一个方向运动时，若与全等，则的值为 ． 【答案】 /45度 2.4或4 2或6 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质即可得； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式可得，再分两种情况：①点在上，②点在点的右侧，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①点在点A的上方，②点在点A的下方，根据全等三角形的判定求解即可得． 【详解】解：（1）， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，作于点，      则， ，，， ，即， 由题意得：，， ①当点在上时，， 则， 解得； ②当点在点的右侧时，， 则， 解得， 综上，的值为或4， 故答案为：或4； （3）①如图，当点在点A的上方时，      由（1）可知，， ， 则要使与全等，需满足，且点在上， ， 解得； ②如图，当点在点A的下方时，      由（1）可知，， ，， 则要使与全等，需满足，且点在点的右侧， ， 解得， 综上，的值为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形全等的判定、等腰三角形的判定等知识点，正确分情况讨论是解题关键． 72．（23-24七年级下·河北保定·期末）淇淇小组在合作探究“如图，在中，，把分成两个等腰三角形”，对于分法产生了不同意见： ① 淇淇认为，以A 为顶点，为一边在内部作一个角等于，即可． ② 嘉嘉认为，作边的垂直平分线与边相交与点D，连接,则能完成任务． ③ 小豪认为，以C为顶点，为一边在内部作一个角等于也是可以的． 你认为 想法正确（填序号) 请利用直尺和圆规在下图中完成这一任务，并用所学知识解释你的分法的合理性．（要求：在答题卡上作答，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】②③，见解析 【分析】本题主要考查尺规作图和等腰三角形的判定，根据嘉嘉和小豪的想法可得出，从而可将分成两个等腰三角形 【详解】解：②嘉嘉和③小豪 ②嘉嘉想法正确的理由如下：如图， 由垂直平分线的性质得： ∴是等腰三角形； ∴ ∵ ∴， 又， ∴ ∴， ∴是等三角形； ③小豪想法正确的理由如下，如图， 由作图得， ∴ ∴是等腰三角形； ∵ ∴， 又， ∴ ∴， ∴是等三角形； 故答案为：②③ 73．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 74．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知中，，，点D为的中点． (1)如图1，点E，F分别为线段上的点，当时，易得的形状为 三角形； (2)如图2，若点E，F分别为延长线上的点，且，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论； (3)如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段分别交于点E，F，请判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)等腰直角 (2)成立，见解析 (3)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查等腰三角形判定及性质，全等三角形判定及性质． （1）根据题意连接，证明即可得到本题答案； （2）同（1）中证明方法已知，即可得到本题答案； （3）证明即可得到本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，，点D为的中点， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角； （2）解：（1）中结论成立，理由如下： 连接，如图， ∵，，点D为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：结论：是等腰直角三角形，理由如下： 连接， ∵，，点D为的中点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 75．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的定义、含角的直角三角形性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形性质是解题的关键．当时，的值最小，此时，，先求出，再由角平分线的定义得出，然后由含角的直角三角形性质即可得出结果． 【详解】解：如图，当时，的值最小， 此时，， ，， ， 平分， ， ， 故选：B 76．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）阅读下题及证明过程 已知：如图，是的边上一点，是上一点，，． 求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以………………第一步 所以………………第二步 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由． 【答案】（1）不正确；错在第一步，详见解析；（2）全等，详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，可知第一步错误，证明时先根据等腰三角形的性质及判定，可逐步推得，再根据“边边边”判定三角形全等即可； （2）先写出已知，求证与证明，“已知，在锐角三角形和锐角三角形中，，，．求证：．”过点A作于点D，过点作于点，先根据“角角边”证明，得到，再根据“”定理证明，得到，最后由“ 角角边”即可证得结果． 【详解】（1）不正确；错在第一步． 证明：在△BEC中，∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ； （2）全等．理由如下： 已知：如图，在锐角三角形和锐角三角形中， ，，． 求证：． 证明：过点A作于点D，过点作于点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 77．（23-24八年级上·河北保定·期末）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出） 【答案】【问题情境】；【类比解答】；【拓展延伸】（1），证明见解析；（2） 【分析】问题情境：根据角平分线的性质得，垂直得性质得，结合，可利用证明； 类比解答：延长交于点F，由问题情境可知，由等腰三角形的性质得，结合三角形的外角性质即可得出结论； 拓展延伸：（1）延长、交于点F，利用证，有，结合问题情境可知，即可得出结论； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，可得和，进一步得，结合有和，利用可证得，有，即可证明． 【详解】问题情境： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； 类比解答： 延长交于点F，如图， 由问题情境可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展延伸： （1），证明如下： 延长、交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 在和中 ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键． 78．（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图1，在与中，，求证：； （2）如图2，在与中，，B、D、E 三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； （3）如图 3，与中，，与交于点F，，，的面积为9，求的值． 【答案】（1）见解析（2）；8；（3） 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论；②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ∴， ∵点F为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ∴， ∴， 在和F中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 79．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，（不与点A重合）过点H作直线于H，分别交直线于点N、E．M． (1)如图1，判断与的数量关系并证明． (2)当直线经过点C时（如图2），求证：； (3)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形底边三线合一性质即可解题； （2）连接，易证，易证，可得，即可解题； （3）过点C作交于，过点C作交直线l于点G，由（1）可得，易证，即可证明，可得，即可解题． 【详解】（1）解：∵平分，， ； （2）证明：连接， ∵平分， ， ∵直线于H， ， ， ， 是线段的中垂线， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：当M是中点时，和之间的等量关系为， 理由：证明：过点C作交于，过点C作交直线l于点G， 由（1）可得， ， ， ， ， ∵M是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形底边三线合一的性质，作出辅助线证明全等是解题的关键． 80．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，中，在上取，使，延长至，使得． （1）求证：． （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）若的延长线过的中点，求的度数． 迁移应用：如图，中，，，点在线段上，，，垂足为E，与相交于．直接写出线段与的数量关系，并在图中画出探究时所需要的辅助线． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；迁移应用： ，辅助线见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质． （1）通过“”证明即可得证结论； （2）由得到，从而得到，即可得证结论； （3）连接，在等腰直角中，可求得．又由垂直平分得到，从而，根据三角形的内角和定理即可求解； 迁移应用：过D作交延长线于H，交于点G．可证得是等腰直角三角形，从而，，又得到，从而，因此．根据， ，，证得，因此． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 在和中， ， ， ． （2） 理由： 延长，交于点F， ， ， ∵ ， ∴， ∴． （3）连接， ， ∴， ∵，                  过中点 垂直平分 ， ∴， ∵， ． 迁移应用： 理由：过D作交延长线于H，交于点G． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 81．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)是；理由见解析； (3)． 【分析】题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与等边三角形的判定与性质： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质及角的和差求出，则，根据线段垂直平分线的判定定理即可得解； （3）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，结合（2）推出是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴； （2）解：直线是线段的垂直平分线； 理由：由，得， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴直线是线段的垂直平分线； （3）解：∵， ∴． 由（2）得． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 82．（23-24八年级上·河北保定·期末）题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：当点P在线段上时， 设t时后是等腰三角形， 有， 即， 解得； 当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用， 当是等腰三角形时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得， 故或，即甲、乙合在一起才正确． 故选：C． 83．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知，中，，，点，分别在，边上，（不与、重合），．    (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为______； (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当点运动到使时，求的度数． (3)如图3，在点的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形? 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等腰与它不相邻的两个内角和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 题型04 与线段垂直平分线有关的尺规作图问题 84．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 85．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】解：可用直尺成功找到此点的是B选项， 故选：B． 86．（23-24八年级下·河北保定·期末）综合实践课上，嘉嘉和琪琪利用尺规作图如下： 嘉嘉： 作法： 过线段的端点A作任一直线，在直线上选一点D，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于点E，F，以点D为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点G，以点G为圆心，以 ▲ 为半径画弧，与上一步中的弧交于点H，连接并延长，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点P． 琪琪： 作法： 分别以线段的端点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C． 下列关于两人尺规作图的说法错误的是（   ） A．嘉嘉的作图中，若，则▲应为 B．嘉嘉的作图中，若，则平移后可与重合 C．琪琪的作图中，O为的中点 D．琪琪的作图中，绕点O顺时针旋转可与重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了做一个角等于已知角，做垂直平分线以及垂直平分线的性质，根据题意一一判断即可． 【详解】．嘉嘉的作图中，若，则▲应为，原说法错误，故该选项符合题意； ． 嘉嘉的作图中，若，则平移后可与重合，说法正确，故该选项不符合题意； ．琪琪的作图中，是的垂直平分线，∴，即O为的中点，说法正确，故该选项不符合题意； ．琪琪的作图中，是的垂直平分线，∴绕点O顺时针旋转可与重合，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 87．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为 ．    【答案】22 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 故答案为：22． 88．（21-22八年级上·河北保定·期末）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题．已知：线段AB、线段AC，AB＞AC，在AB上求作点D，使ACD的周长等于线段AB的长．小明同学的作法如下： （1）在线段AB上截取BE＝AC； （2）连接CE，作线段CE的垂直平分线交AB于点D． 老师说：“小明同学的作法正确．”请回答：小明同学的作图主要依据是（    ） A．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等 B．角的平分线上的点到角的两边距离相等 C．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 D．以上依据都不对 【答案】A 【分析】利用垂直平分线的性质可知DE＝DC，则，由此可解． 【详解】解：由作法（1）知BE＝AC， 由作法（2）知点D在线段CE的垂直平分线上， ∴DE＝DC， ∴， 即ACD的周长等于线段AB的长． 综上可知，小明同学的作图主要依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等． 故选A． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握“线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等” ． 89．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，则根据作图痕迹，可知的度数为 ，的度数为 ．    【答案】 /40度 /25度 【分析】根据作图痕迹判断出是的垂直平分线，是的角平分线，再根据垂直平分线的性质，三角形的内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】由作图痕迹可知，是的垂直平分线，是的角平分线， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵在中，，， ∴． ∴． ∵是的角平分线， ∴． 故答案是；． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握垂直平分线的定义和三角形的内角和定理是解题的关键． 90．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）尺规作图要求：I、过直线外一点作这条直线的垂线；II、作线段的垂直平分线；III、过直线上一点作这条直线的垂线；IV、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：（   ）    A．①—Ⅳ，②—Ⅱ，③—Ⅰ.④—Ⅲ B．①—Ⅳ，②—Ⅲ，③—Ⅱ.④—Ⅰ C．①—Ⅳ，②—Ⅳ，③—Ⅲ.④—Ⅰ D．①—Ⅳ，②—Ⅰ，③—Ⅱ.④—Ⅲ 【答案】D 【分析】根据题中描述，数形结合，由基本尺规作图操作即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线； Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线； Ⅳ、作角的平分线；    即正确的配对是：①﹣Ⅳ；②﹣Ⅰ；③﹣Ⅱ；④﹣Ⅲ.； 故选：D． 【点睛】本题考查基本尺规作图，熟练掌握常见尺规作图方法是解决问题的关键． 题型05 轴对称图形性质的综合问题 91．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE=30°，判断出④错误． 【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD， ∴∠EAD＝3∠BAC−360°＝3×150°−360°＝90°， ∴，故①正确． ∴∠BAE＝∠CAD＝（360°−90°−150°）＝60°， 由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC， 又∵∠EPO＝∠BPA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确． ∵△ACE≌△ADB， ∴，BD＝CE， ∴BD边上的高与CE边上的高相等， 即点A到∠BOC两边的距离相等， ∴OA平分∠BOC，故③正确． 在△EAD中，∠EAD＝90°， 当∠ADE=30°时，， ∵题中条件无法证明∠ADE=30°，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 92．（22-23八年级上·河北邢台·期末）在中，延长到D，使，点E是下方一点，连接，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，当时，求的长度； (3)如图3，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，交于H，若，求线段的长度（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据条件和可得，即可证明； （2）根据条件和可得，进而得到即可求出； （3）证明， ，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴，由翻折变换的性质，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（1）可知，， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 93．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）在中，，直线l过点C．               (1)当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长； (2)当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒． ①______；（用含t的代数式表示） ②当N在路径上时， ______；（用含的代数式表示） ③直接写出当与全等时的值． 【答案】(1)； (2)①；②；③当与全等时，或5或． 【分析】（1）利用垂直与三角形内角和定理，得到，，利用“”证明，得到，，即可求出的长； （2）①利用，即可求出的长； ②利用对称性，得到，再根据，即可求出的长； ③根据三角形全等，得到，分四种情况讨论：点在上；点在上；点在上；点在上，分别表示出的长，再根据对应边相等即可求出值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ； （2）解：①由题意得：， , ， 故答案为：； ②由题意得：， 点与点关于直线对称， ， ， 故答案为：； ③当与全等时，和是对应边， ， 当点在时，， 即， 解得，不符合题意； 当点在时，， 即， 解得：； 当点在时，， 即， 解得：； 当点在时，， 即， 解得：， 综上所述，当与全等时，或5或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对称的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 题型06 等边三角形的综合问题 94．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，点C、D在线段的同侧，，M是的中点， ； ②长的最大值是 . 【答案】 /60度 19 【分析】根据补角的定义即可求解；②作点A关于的对称点，作点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：，， ， 故答案为：； ②如图，作点A关于的对称点，作点B关于的对称点， ∵，， ， ， ， 为等边三角形， ， 的最大值为19， 故答案为：19． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题． 95．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知点P是角平分线上的一点，,如果点C是上一个动点．    （1）若时，与的位置关系 ; （2）最小值为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的判定进行解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果． 【详解】解：（1）∵平分， ， ∵， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作，   是角平分线上的一点，， ， ，， ， ∵平分，， ， 点是上一个动点， 的最小值为到距离，即的长， 的最小值． 故答案为：4． 96．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，，， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值，   ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故选B． 97．（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合与实践 【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）若，，求的长． 【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】问题解决：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；类比探究：线段，与之间的等量关系是． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定是解答本题的关键． 问题解决： （1）利用等边三角形的性质，得到是等边三角形． （2）由于是等边三角形，得到，从而，所以，进而，得到答案． 类比探究： 过点作，交的延长线于点，由平行线的性质得到，得出为等边三角形，则，证明，得出，进而得到． 【详解】问题解决： 解：（1）是等边三角形理由是： 是等边三角形 又 是等边三角形． （2）是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ． 类比探究： 线段，与之间的等量关系是理由是： 是等边三角形， ， 过点作，交的延长线于点，如图， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 98．（22-23八年级上·河北张家口·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． 【发现】（1）如图1，点D在线段上． ①当时，求证：，并求的度数； ②当时，直接写出的度数； 【探究】（2）如图2，设．当点D在线段的延长线上时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【拓展】（3）若为锐角三角形，且．在点D的运动过程中，当垂直于的某边所在直线时，直接写出的度数．（用含γ的式子表示）    【答案】（1）①证明见解析，；②；（2）；（3）的值为或或． 【分析】（1）①由“”可证，得，可求的度数；②同理由“”可证，得，可求的度数； （2）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论； （3）分三种情形：如图3-1中，当时，平分，如图3-2中，当时，如图3-3中，当时，利用三角形内角和定理以及全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，    在和中，， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴， 同理，， ∴， ∴； （2）当点D在的延长线上时，，    理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图3-1中，当时，则平分，    同理， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图3-2中，当时，    ； 如图3-3中，当时，    ． 综上所述，满足条件的值为或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 99．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）完成下列各题 问题初探 如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则____________．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移 如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？____________（直接写出答案） 拓展创新 如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由． 【答案】问题初探：理由见解析；类比再探：，图形见解析；方法迁移：；拓展创新：，理由见解析 【分析】问题初探：证明，得到； 类比再探：过点M作交于点F，得出，证明，得到，根据，即可得解； 方法迁移：证明，得到，即可得到； 拓展创新：过点M作交于点G，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：问题初探： 理由如下： ， ， ， ， ． 类比再探：， 理由如下：过点M作交于点F，则：， 在中，， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； 方法迁移：， 理由如下： 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 拓展创新：， 理由：过点M作交于点G， 则，， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． 100．（11-12八年级上·江苏无锡·期中）数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． (2)特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． 【答案】(1)= (2)=，过程见解析 (3)1或3 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质，得，因为，且，得，即可作答． （2）过E作交于F，由是等边三角形，得是等边三角形，从而通过证明，则； （3）要注意分类讨论，①如图1：过A作于M，过E作于N，先得证，则，即；②如图2，作于M，过E作于N，由等腰三角形的三线合一，得，列式，即可作答． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，点E为的中点 ∴ 则 ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴； 故答案为：； （2）解：过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 即， 故答案为：=． （3）解：或3， 理由是：分为两种情况： ①如图1：过A作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴； ②如图2，作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 即或1． 试卷第2页，共131页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03等腰三角形 题型01 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·河北保定·期末）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到给出的有字母标号的四个空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型02 画轴对称图形 6．（23-24八年级下·河北承德·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知点和关于y轴对称，则的值为 ． 8．（22-23八年级上·河北承德·期末）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 9．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的； (3)已知P为x轴上一点，若 的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．   10．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)请画出关于轴对称的图形（其中分别是、、的对应点，不写画法）； (2)直接写出三点的坐标； (3)平面内一点关于直线轴对称点的坐标为___________． (4)若点为轴上动点，当周长最小时，画出点的位置（不写画法，保留作图痕迹）． 题型03 用等腰三角形的性质求解 11．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，则（   ）度． A．10 B．15 C．20 D．25 13．（23-24八年级上·河北张家口·期末）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不和、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 14．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，已知是正六边形与正五边形的公共边，连接，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 15．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，是的中线，边的垂直平分线交于点，连接，交于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰三角形中，，，为的中点． （1）连结，则 ； （2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 17．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，． (1)作出边的垂直平分线，与，分别交于点D和点E； (2)在（1）的条件下，若，求证：． 18．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直半分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．    (1)求线段的长； (2)连接，求线段的长； (3)若，求的度数． 题型04 等腰三角形的判定 19．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 21．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误 C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确 22．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，将长方形沿折叠，B，C分别落在点H，G的位置，与交于点M．下列说法中，不正确的是（    ）． A． B． C． D． 23．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是（    ） A．是的平分线 B． C． D． 24．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ． 题型05 利用等腰三角形的性质证明 25．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，是边的中线，于点，于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 26．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，为内一点，且平分为延长线上一点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)点在上，连接，若，判断和的数量关系，并说明理由． 小明的解答是：和相等；理由： ，． ． ． 又． 请你判断小明的结论和理由是否都正确？若不正确，请指出问题，并给出正确解答． 27．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示方式放置，图2是由图1抽象出的几何图形，其中，，，，，在同一条直线上．连接．    (1)请找出图2中与全等的三角形，并给予证明； (2)试判断和的位置关系，并说明理由． 28．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，D为BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E． (1)如图1，过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，求证：△ACD≌△CBF； (2)如图2，若D为BC的中点，CE的延长线交AB于点M，连接DM．求证：∠BDM=∠ADC． 29．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图所示，在中，，点D是线段CA延长线上一点，且．点F是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且． (1)若，则_______； (2)过D点作，垂足为G． ①填空： _______； ②求证：； (3)如图2，若点F是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段之间的数量关系，并简要说明理由． 题型06 用轴对称图形的性质求解 30．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为 ． 32．（20-21八年级上·河北唐山·期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N． （1）①若∠AOB＝70°，则∠COD＝　 °； ②若∠AOB＝α，求∠COD的度数． （2）若CD＝8，则求△PMN的周长． 33．（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图，在中，，．的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为 ． （2）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为 ． 34．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若的周长为5，，则的长为 ，边长的取值范围是 ． 35．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 36．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图所示，在中，、、分别在、、边上，，，是的垂直平分线，试判断是哪种类型的三角形，并说明理由． 37．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条直平分线分别交于点、．已知的周长为． (1)求线段； (2)分别连接、、． ①若的周长为，求的长度； ②若，直接写出的度数． 题型07 等边三角形的性质、判定 38．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，D是的中点，于E，已知，则的长为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 39．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 40．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，，平分，且，若点M、N分别在直线上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 41．（23-24八年级上·河北沧州·期末） 如图，在平面直角坐标系中，射线和x轴形成的角是，且点…在x轴上，点…在射线上，若…均为等边三角形，且点，则的横坐标是（   ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）已知是等腰三角形，边上的高恰好等于边长的一半，则的度数为（    ） A．或 B． C．或 D．或或 43．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，是等边三角形，，于点D，则 ． 44．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，和是等边三角形，连接，交于点F． （1）的值为 ； （2）的度数为 . 45．（23-24八年级下·河北保定·期末）数学课上，欲证明命题：“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”． 老师仅给出了较短直角边，要求大家利用尺规作出以为直角的，并借助所作图形证明上述命题． (1)下面是嘉琪的部分作法及作出的部分图形，请你用尺规作图的方法在图2中完成后续作图；（只保留作图痕迹，不写作法，作图要用铅笔，如果笔迹太细、太轻，可以描重一些） (2)嘉琪依据（1）中作出的，写出了已知、求证和证明的过程，请你补充完整． 已知：中，，______________． 求证：______________． 证明：延长至，使，连接． 46．（23-24八年级上·河北保定·期末）在等边三角形中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点．若，，求的长度； 47．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图1，在中，，，是的角平分线，于点E，连接． (1)求证：是等边三角形． (2)如图2，点M为线段上一点（点M不与点C，E重合），连接，向右侧作等边，连接． ①求证：； ②若，请直接写出与的数量关系． 48．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图1，点、分别是边长为5cm的等边边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为1cm/s． (1)连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形，求的值？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，直接写出它的度数． 49．（22-23八年级上·河北沧州·期末）阅读下列材料，解答相应问题： 已知是等边三角形，是高，设．点不与点、、重合到的距离，到的距离，到的距离． 如图1，当点与点重合时，我们容易发现：，因此得到：．    (1)小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论还成立吗？若成立，借助图证明你的猜想 (2)进一步猜想：当点在的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 之间的数量关系，并证明．(借助答题卡上的图4) (3)延伸，当点在直线，上时，借助图，直接写出结论，不必证明． 题型08 线段垂直平分线的判定 50．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）下列说法错误的是（    ） A．若点P是线段的垂直平分线上的点，则 B．若，，则直线是线段的垂直平分线 C．若，则点P在线段的垂直平分线上 D．若，则过点P的直线是线段的垂直平分线 51．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 52．（15-16八年级上·北京平谷·期末）如图所示，小兰用尺规作图作边上的高，作法如下： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F； ②作射线，交边于点H； ③以B为圆心，长为半径作弧，交直线于点D和E； ④取一点K使K和B在的两侧； 所以就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（　　） A．①②③④ B．④③①② C．②④③① D．④③②① 53．（22-23八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，D为中点，，，过点E作交于F，作交的延长线于点G，连接， （1） ． （2） ．（填入数值） 题型09 用线段垂直平分线的性质解决问题 54．（20-21八年级下·河北保定·期末）如图，在中，点为三边垂直平分线交点，是三角形角平分线的交点，连接，，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 55．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有______（请填序号） ①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 题型01 图形的折叠问题 57．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将沿折痕折叠，使边落在边上，则得到结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 58．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，.沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．2 D．4 59．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，那么，，三个角的关系是(    ) A． B． C． D． 60．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝70°，则∠BDF等于（　　） A．65° B．50° C．40° D．37.5° 61．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，再将剪下的角展开，得到一个四边形，根据图中所给数据，下列判断正确的是（    ）    甲：展开后的图形是正方形；     乙：展开后的图形的面积为64 A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 62．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图1，将长方形沿折叠，点落在处，设． (1)若，求的度数； (2)如图2，若沿折叠后，点落在上，求的度数（用含的式子表示）． 63．（23-24七年级上·福建南平·期末）在长方形纸片中，点E在边上，点M，N分别在，上，将沿折叠得到，将沿折叠得到． (1)如图1，点G恰好落在直线上，求的大小； (2)如图2，当点G落在内． ①已知，求重叠部分的的大小； ②若的度数为，的度数为，请直接写出与的数量关系． 题型02 等腰三角形的个数确定 64．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 65．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 66．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 67．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 题型03 等腰三角形的性质与判定的综合问题 68．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 69．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，将一个等腰直角三角形 按如图方式折叠，若 ，，下列四个结论：①平分 ；② 长为 ；③是等腰三角形；④ 的周长等于 的长．其中，正确的是（　） A．② B．②③④ C．③ D．②④ 70．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，点P在的角平分线上，，，垂足为点D，，点M是射线上一动点，设，若对于d的一个数值，只能得到唯一一个，求d的取值范围．对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 71．（22-23八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，直线平分，过点作交于点．动点同时从点A出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点的运动时间为．    （1）的度数为 ． （2）当点沿射线运动时，若，则的值为 ． （3）当动点在直线上朝一个方向运动时，若与全等，则的值为 ． 72．（23-24七年级下·河北保定·期末）淇淇小组在合作探究“如图，在中，，把分成两个等腰三角形”，对于分法产生了不同意见： ① 淇淇认为，以A 为顶点，为一边在内部作一个角等于，即可． ② 嘉嘉认为，作边的垂直平分线与边相交与点D，连接,则能完成任务． ③ 小豪认为，以C为顶点，为一边在内部作一个角等于也是可以的． 你认为 想法正确（填序号) 请利用直尺和圆规在下图中完成这一任务，并用所学知识解释你的分法的合理性．（要求：在答题卡上作答，保留作图痕迹，不写作法） 73．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 74．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知中，，，点D为的中点． (1)如图1，点E，F分别为线段上的点，当时，易得的形状为 三角形； (2)如图2，若点E，F分别为延长线上的点，且，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论； (3)如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段分别交于点E，F，请判断的形状，并证明你的结论． 75．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 76．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）阅读下题及证明过程 已知：如图，是的边上一点，是上一点，，． 求证：． 证明：在和中， 因为，，， 所以………………第一步 所以………………第二步 上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． （2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由． 77．（23-24八年级上·河北保定·期末）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出） 78．（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图1，在与中，，求证：； （2）如图2，在与中，，B、D、E 三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； （3）如图 3，与中，，与交于点F，，，的面积为9，求的值． 79．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，（不与点A重合）过点H作直线于H，分别交直线于点N、E．M． (1)如图1，判断与的数量关系并证明． (2)当直线经过点C时（如图2），求证：； (3)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系． 80．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，中，在上取，使，延长至，使得． （1）求证：． （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）若的延长线过的中点，求的度数． 迁移应用：如图，中，，，点在线段上，，，垂足为E，与相交于．直接写出线段与的数量关系，并在图中画出探究时所需要的辅助线． 81．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 82．（23-24八年级上·河北保定·期末）题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 83．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知，中，，，点，分别在，边上，（不与、重合），．    (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为______； (2)如图2，若，且点是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当点运动到使时，求的度数． (3)如图3，在点的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形? 题型04 与线段垂直平分线有关的尺规作图问题 84．（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（    ） A．B．C． D． 85．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（  ） A． B． C． D． 86．（23-24八年级下·河北保定·期末）综合实践课上，嘉嘉和琪琪利用尺规作图如下： 嘉嘉： 作法： 过线段的端点A作任一直线，在直线上选一点D，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于点E，F，以点D为圆心，以相同的长为半径画弧，交于点G，以点G为圆心，以 ▲ 为半径画弧，与上一步中的弧交于点H，连接并延长，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点P． 琪琪： 作法： 分别以线段的端点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C． 下列关于两人尺规作图的说法错误的是（   ） A．嘉嘉的作图中，若，则▲应为 B．嘉嘉的作图中，若，则平移后可与重合 C．琪琪的作图中，O为的中点 D．琪琪的作图中，绕点O顺时针旋转可与重合 87．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为 ．    88．（21-22八年级上·河北保定·期末）在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题．已知：线段AB、线段AC，AB＞AC，在AB上求作点D，使ACD的周长等于线段AB的长．小明同学的作法如下： （1）在线段AB上截取BE＝AC； （2）连接CE，作线段CE的垂直平分线交AB于点D． 老师说：“小明同学的作法正确．”请回答：小明同学的作图主要依据是（    ） A．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等 B．角的平分线上的点到角的两边距离相等 C．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 D．以上依据都不对 89．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，则根据作图痕迹，可知的度数为 ，的度数为 ．    90．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）尺规作图要求：I、过直线外一点作这条直线的垂线；II、作线段的垂直平分线；III、过直线上一点作这条直线的垂线；IV、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：（   ）    A．①—Ⅳ，②—Ⅱ，③—Ⅰ.④—Ⅲ B．①—Ⅳ，②—Ⅲ，③—Ⅱ.④—Ⅰ C．①—Ⅳ，②—Ⅳ，③—Ⅲ.④—Ⅰ D．①—Ⅳ，②—Ⅰ，③—Ⅱ.④—Ⅲ 题型05 轴对称图形性质的综合问题 91．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 92．（22-23八年级上·河北邢台·期末）在中，延长到D，使，点E是下方一点，连接，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，当时，求的长度； (3)如图3，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，交于H，若，求线段的长度（用含m，n的代数式表示）． 93．（21-22八年级上·河北廊坊·期末）在中，，直线l过点C．               (1)当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长； (2)当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒． ①______；（用含t的代数式表示） ②当N在路径上时， ______；（用含的代数式表示） ③直接写出当与全等时的值． 题型06 等边三角形的综合问题 94．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，点C、D在线段的同侧，，M是的中点， ； ②长的最大值是 . 95．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知点P是角平分线上的一点，,如果点C是上一个动点．    （1）若时，与的位置关系 ; （2）最小值为 ． 96．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 97．（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合与实践 【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． 【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）若，，求的长． 【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系． 98．（22-23八年级上·河北张家口·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． 【发现】（1）如图1，点D在线段上． ①当时，求证：，并求的度数； ②当时，直接写出的度数； 【探究】（2）如图2，设．当点D在线段的延长线上时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【拓展】（3）若为锐角三角形，且．在点D的运动过程中，当垂直于的某边所在直线时，直接写出的度数．（用含γ的式子表示）    99．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）完成下列各题 问题初探 如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则____________．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移 如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？____________（直接写出答案） 拓展创新 如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由． 100．（11-12八年级上·江苏无锡·期中）数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． (2)特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． （1）先根据等边三角形的性质，得，因为，且，得，即可作答． （2）过E作交于F，由是等边三角形，得是等边三角形，从而通过证明，则； 试卷第2页，共131页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$