专题02 全等三角形期末汇编(10题型88题)-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题02 全等三角形 题型01添加条件证明三角形全等 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，，若只添加一个条件，不能使得与全等的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 题型02 全等三角形的判定 3．（23-24八年级上·河北衡水·期末）与下图全等的三角形是（    ）    A．  B．  C．  D．   4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）与如图所示的三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 6．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？（   ） A．重合 B．不重合 C．不一定重合 D．无法判断 7．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知E是上一点，，则与的关系是（   ）      A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 8．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 9．（20-21八年级上·河北石家庄·期末）已知∶在中，，，是过点A的一条直线，且，垂足为点D，，垂足为点E． (1)当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由； (2)当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由． 题型03 尺规作图 10．（21-22八年级上·河北邢台·期末）已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 11．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在如图所示的三个图形中，由作图痕迹，能判断射线平分的是（　　） A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 本题考查了角平分线作图．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可． 解：根据基本作图可判断： 图1中：平分，图2中为边上的中线，图3中为的平分线 故选：C． 13．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 14．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，过点C作于点D，且，点E是射线上一点，则的长度不可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．5 15．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，利用尺规作的平分线，作法如下：①以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧在的内部交于点；③画射线，射线就是的平分线．则，需要满足的条件是（    ） A．，均无限制 B．，的长度 C．有最小限制，无限制 D．，的长度 16．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）尺规作图：作一个角等于已知角. 如图①，已知：． 求作：，使． 作法： 步骤1：如图②，以点甲为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、； 步骤2：作射线，以点为圆心，乙长为半径画弧，交于点； 步骤3：以点为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 步骤4：经过点画射线，则．则甲、乙、丙所表示的内容为：（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．（23-24八年级上·河北衡水·期末）对于题目：“已知，用直尺和圆规作出的平分线”，有以下四种作法，其中作法错误的是（    ） A． B． C． D． 题型04 角平分线判定 19．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：点O在的平分线上． 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知，平分，定点C在射线上，与射线交于点B，与直线交于点D，且，当时，的长为5．           【证明】（1）如图1，当点D在射线上，且时． 求证：①；②； 【探究】（2）如图2，当点D在射线上，且与不垂直时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展】（3）如图3，当点D在射线的反向延长线上时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由． 21．（19-20八年级上·河北张家口·期末）本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，那么，你是否还记得它们的具体内容． （1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到______的距离相等． 角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在______． （2）老师在黑板上画出了图形，把逆定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整． 已知：如右图，点是内一点，，，垂足分别为、，且______． 求证：点在的______上 （3）请你完成证明过程： （4）知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有______处． 题型05 全等三角形的性质与判定的应用问题 22．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面米高的B处接住他，然后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离米，米，且，求爸爸接住小明的位置C距地面的高度． 23．（23-24八年级上·河北保定·期末）问题  如图，小明和爸爸的身高分别是，，即，，二人配合测量树的高度． 操作  小明在距离树的处（）看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸可以前后移动，当时爸爸站着不动，这时小明测得． 问题解决  已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 24．（22-23八年级上·河北邢台·期末）小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千. 如图，小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面米高的B处接住他，然后用力一推，爸爸在处接住他. 若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离米，米，且，则爸爸接住小明的位置C距地面的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．2米 25．（22-23八年级上·河北唐山·期末）为测量一池塘两端，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点．则测出的长即为，间的距离； 乙：如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长，即可得到，间的距离． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 题型06 全等三角形的判定和性质 26．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知：如图，，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的度数是（　　）． A．35° B．50° C．55° D．95° 28．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 30．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则 ； 31．（21-22八年级上·河北保定·期末）已知，，，，则 °， ． 32．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，在正方形中，，E是上一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当和全等时，t的值是 ． 33．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， （1） 厘米， 厘米.（用含t的代数式表示） （2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为 . 34．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 35．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，，，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 36．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，是的两条高线，，，则（    ）度． A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 38．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 39．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）如图，，，，点在线段上．若，，则 ． 40．（24-25八年级上·河北沧州·期末）公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 41．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，D为边上的一点，，以线段为边作，使得，求证：． 42．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，点在同一条直线上，与交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 43．（20-21八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在中，D是上一点，点F、G都在上，，，连接，分别延长，，且它们相交于点E． (1)求证：； (2)若，点F，G是上的三等分点，，，求的周长． 44．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 45．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，，为中点，过点作直线分别交射线、于点、（分别不与点、重合），设． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求的度数． 46．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，是边的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为4，求的面积． 47．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在和中，，E是的中点，于F，且． (1)观察并猜想，与有何数量关系？并证明你猜想的结论； (2)若，试求的长． 题型07 角平分线性质定理 48．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点D到的距离是（   ）    A．6 B．2 C．3 D．4 49．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，点D为上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为的中点． 嘉嘉说：若①②同时成立，可证明； 淇淇说：若②③同时成立，也可以证明． 针对两人的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．两人的说法都对 D．两人的说法都不对 50．（18-19八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为 ．    51．（10-11八年级下·重庆·期中）如图，中，，平分，，则的面积是 52．（21-22八年级上·河北唐山·期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 53．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 若，的面积为18，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．27 题型08 尺规作图背景几何问题 54．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，按下列步骤作图： 第一步：在上分别截取，使； 第二步：分别以E，F为圆心，适当长（大于的一半）为 半径画弧，两弧交于点M； 第三步：作射线交于点D； 第四步：过点D作于点P． 下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 55．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（    ） A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确 C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确 56．（19-20九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①以点C为圆心，长为半径画，交于点M．②作射线，则．③以点M为圆心，长为半径画弧，交于点D．④以点O为圆心，任意长为半径画，分别交，于点E，E则正确的作图顺序是（　　）    A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 57．（22-23八年级上·四川宜宾·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 58．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． （1）若，则 ； （2）如果，，的面积为，则的面积为 ． 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得点Q到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 60．（23-24八年级上·河北保定·期末）数学活动课上，老师利用平分角的仪器的工作原理引入了角的平分线的尺规作图的课程．小明受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法（如图）．请仔细阅读并完成相应任务． 【作法】 ①以点M为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于点A，B； ②再以点M为圆心，另一个半径长画弧，交角的两边于点C，D； ③连接，交于点E； ④作射线． 射线即为的平分线． 【任务】 (1)由尺规作图可直接得到线段相等的有：和_____． (2)由（1）中的条件，可证，依据是______．（填判定方法） (3)如果把（2）中已得的作为条件，求证：． 题型09 角平分线的性质定理综合问题 61．（19-20八年级上·安徽淮北·期末）如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 62．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，在和中，，连接，交于点，连接．甲、乙、丙三人的说法如下，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙：平分 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 63．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为和．过点作于，则 （填“、、”）；的面积为 ． 64．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知，M是的中点，平分，，则等于 ．    65．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，平分，于点，点在边 上，． (1)求证： ． (2)若，求的长． 66．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图把剪成三部分边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 67．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知平分，于点E，的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 68．（2017·山东滨州·中考真题）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 69．（21-22八年级上·河北承德·期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答： 已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 题型10 全等三角形的判断与性质的综合问题 70．（23-24八年级下·河北保定·期末）判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行 71．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 72．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 73．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，作平分交边于D，过A作于E，延长交边于点F，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 74．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，、E是直线上不重合的两点，是的角平分线，于点A，若的周长为10，则的周长可能是（     ）    A．8 B．9 C．10 D．11 75．（23-24八年级上·河北保定·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 76．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，八边形每条边都相等，且，若，四边形的周长分别为，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．，大小无法比较 77．（23-24八年级上·河北邢台·期末）如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法： 甲：作底边的中线 乙：作平分交于C，则（    ）    A．甲、乙两种作法都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确、乙正确 D．甲乙两种作法都不正确 78．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 79．（23-24八年级上·河北沧州·期末）问题情境：如图，等腰，D是斜边上一点，连接，在AD右侧作，且，平分交边于点E，连接和，请直接写出线段的关系：   ；      猜想验证：若 D是斜边上一动点，且平分交边于点E，其他条件不变，此时上面的结论是否还成立，请说明理由． 拓展延伸：若点D运动到斜边的延长线上，平分交边于点E，其他条件不变，请直接写出线段的关系： ． 80．（23-24八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    81．（23-24八年级上·河北保定·期末）小明在物理课．上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)试说明； (2)求的长． 82．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知：于点，，点是，的平分线的交点，连接，． (1)___________度； (2)求证：且； (3)探究： ___________度； ___________．（填“”“”“”） 83．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________    84．（22-23八年级上·河北承德·期末）如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E． (1)请你在图1中写出一对全等三角形：___________ (2)请证明你所写结论． (3)尝试探究：若，； ①图1中四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，） ②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，） (4)拓展应用：，，则B点坐标为：___________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：___________ 85．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为. 【解决问题】 若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题： (1)； (2)此时与是否全等，请说明理由； (3)求证：； 【变式探究】 若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.                           86．（19-20八年级上·河北张家口·期末）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ． 【理解与应用】（2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ． （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 87．（21-22八年级上·河北沧州·期末）如图，已知在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，CD＝8厘米，点M以6厘米/秒的速度运动，点M从点C出发，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒． (1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等． ①当t＝2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由； ②当点M，N的运动时间t为______秒时，△BMN是一个直角三角形； (2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由； (3)已知点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，经过50秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒． 88．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，为边上的高，在直线上. （1）若，则 °； （2）若点从点出发，在直线上以每秒2cm的速度向一个⽅向移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 秒时，. 试卷第2页，共95页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 题型01添加条件证明三角形全等 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，，若只添加一个条件，不能使得与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：已知在和中，，， A．∵， 由，可以证得，故本选项不符合题意； B．∵，不能证得，故本选项符合题意； C．∵， 由，可证得，故本选项不符合题意． D．∵，， ∴， 由，可证得，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（21-22八年级上·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 题型02 全等三角形的判定 3．（23-24八年级上·河北衡水·期末）与下图全等的三角形是（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：由全等三角形的判定定理可知只有A选项的三角形可以通过证明与题干三角形全等，其他三个选项中的三角形不能证明与题干三角形全等， 故选A． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）与如图所示的三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得：另一条直角边为， A、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意； B、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意； C、不能得到两个三角形全等，故该选项符合题意； D、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④， 满足的为①④， 故选D． 6．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？（   ） A．重合 B．不重合 C．不一定重合 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可知全等即可得到本题答案． 【详解】解：在和中， ， ∴（SSS）， ∴将剪下来放到上，它们完全重合， 故选：A． 7．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知E是上一点，，则与的关系是（   ）      A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出是证明三角形全等的关键． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ． ． 故选：B 8．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴平分，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B． 9．（20-21八年级上·河北石家庄·期末）已知∶在中，，，是过点A的一条直线，且，垂足为点D，，垂足为点E． (1)当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由； (2)当直线AE处于如图②的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得； （2）同（1）的方法，先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 又， ； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 题型03 尺规作图 10．（21-22八年级上·河北邢台·期末）已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据证明三角形全等即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知，，，， 在和中， ， 故选：D． 11．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 12．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在如图所示的三个图形中，由作图痕迹，能判断射线平分的是（　　） A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线作图．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可． 【详解】 解：根据基本作图可判断： 图1中：平分，图2中为边上的中线，图3中为的平分线 故选：C． 13．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 14．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点A，交于点B，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，过点C作于点D，且，点E是射线上一点，则的长度不可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线上点到角两端的距离相等可得，由点为边上任意一点即可得出即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知：为的平分线，过点作， 为的平分线且，，， ， ，点为边上任意一点， ，即， 的长度不可能为， 故选：A． 15．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，利用尺规作的平分线，作法如下：①以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧在的内部交于点；③画射线，射线就是的平分线．则，需要满足的条件是（    ） A．，均无限制 B．，的长度 C．有最小限制，无限制 D．，的长度 【答案】B 【分析】根据角平分线的作法，进行判断即可． 【详解】解：由角平分线的作图可知： 以点为圆心，任意长为半径画弧，可知：； 分别以点，为圆心，以的长度为半径画弧，可知：的长度； 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图．熟练掌握角平分线的作图方法，是解题的关键． 16．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据这两个条件即可逐项判断 【详解】∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键 17．（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）尺规作图：作一个角等于已知角. 如图①，已知：． 求作：，使． 作法： 步骤1：如图②，以点甲为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、； 步骤2：作射线，以点为圆心，乙长为半径画弧，交于点； 步骤3：以点为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 步骤4：经过点画射线，则．则甲、乙、丙所表示的内容为：（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤分析即可求解． 【详解】解：步骤1：如图②，以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、； 步骤2：作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤3：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 步骤4：经过点画射线，则． 故选：A． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，掌握基本作图是解题的关键． 18．（23-24八年级上·河北衡水·期末）对于题目：“已知，用直尺和圆规作出的平分线”，有以下四种作法，其中作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的尺规作图方法可直接判断A作法正确；根据全等三角形的判定与性质可判断B作法正确；根据角平分线的判定与性质可判断C作法正确；根据作图方法无法判断D作法正确． 【详解】解：A选项中，由作图痕迹可知是的平分线， 故A选项作法正确，不符合题意； B选项中，如图， 由作法可知，点P是垂直平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B选项作法正确，不符合题意； C选项中，点P为与的平分线的交点， ∴点P到线段的距离都相等， ∴为的平分线， 故C选项作法正确，不符合题意； D选项中，点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点， 无法说明为的平分线， 故D选项作法不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 题型04 角平分线判定 19．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：点O在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理是解题的关键． （1）证明，则，根据，可证； （2）由（1）可知，，证明，则，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：由（1）可知，． ∵， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上． 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知，平分，定点C在射线上，与射线交于点B，与直线交于点D，且，当时，的长为5．           【证明】（1）如图1，当点D在射线上，且时． 求证：①；②； 【探究】（2）如图2，当点D在射线上，且与不垂直时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展】（3）如图3，当点D在射线的反向延长线上时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）仍然成立，证明见解析；（3）不成立，结论为，理由见解析． 【分析】题目主要考查四边形内角和，角平分线的性质定理及全等三角形的判定和性质， （1）①直接利用角平分线的性质定理即可证明；②利用全等三角形的判定和性质即可证明； （2）过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F，同（1）类似，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F，利用全等三角形的判定和性质证明求解即可； 熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：（1）证明：①在四边形中，， ． ∵， ， ， 平分， ； ②在和中， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中的结论②仍然成立； 理由：如图1，过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F， ∴，与（1）同理可得． ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）（1）中结论②不成立，． 理由：如图2，过点C分别作与的垂线，垂足分别为E，F， ∴，与（1）同理可得． ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∴． 21．（19-20八年级上·河北张家口·期末）本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，那么，你是否还记得它们的具体内容． （1）请把下面两个定理所缺的内容补充完整： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到______的距离相等． 角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在______． （2）老师在黑板上画出了图形，把逆定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整． 已知：如右图，点是内一点，，，垂足分别为、，且______． 求证：点在的______上 （3）请你完成证明过程： （4）知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有______处． 【答案】（1）这个角的两边，角平分线上；（2）PE，平分线上；（3）见解析；（4）4 【分析】（1）根据角平分线的性质定理和判定定理解答； （2）根据题意结合图形写出已知； （3）作射线OP，证明Rt△OPD≌Rt△OPE即可； （4）根据角平分线的性质定理解答． 【详解】解：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线判定定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上， 故答案为：这个角的两边；角平分线上； （2）已知：如图1，点P是∠AOB内一点，PD⊥AO，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上． 故答案为：PE；平分线上； （3）如图：作射线， ，， 在和中， ∴ ∴ ∴是的平分线，即点在的平分线上． （4）如图2，M、N、G、H即为所求， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理和判定定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 题型05 全等三角形的性质与判定的应用问题 22．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面米高的B处接住他，然后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离米，米，且，求爸爸接住小明的位置C距地面的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，，计算，结合计算即可． 【详解】解： ，，， ， ， ， ，， 米，米， 米， 米， 爸爸接住小明的位置C距地面的高度是米． 23．（23-24八年级上·河北保定·期末）问题  如图，小明和爸爸的身高分别是，，即，，二人配合测量树的高度． 操作  小明在距离树的处（）看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸可以前后移动，当时爸爸站着不动，这时小明测得． 问题解决  已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．作交于点M，交于点N，则四边形，，是长方形，从而，，根据证明得，进而可求出树的高度． 【详解】作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∴四边形，，是长方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（22-23八年级上·河北邢台·期末）小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千. 如图，小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面米高的B处接住他，然后用力一推，爸爸在处接住他. 若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离米，米，且，则爸爸接住小明的位置C距地面的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．2米 【答案】B 【分析】先证明得到，计算，结合计算即可． 【详解】∵，， ∴, ∵， ∴ ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型是解题的关键． 25．（22-23八年级上·河北唐山·期末）为测量一池塘两端，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点．则测出的长即为，间的距离； 乙：如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长，即可得到，间的距离． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性． 【详解】解：方案一：由题意得，，， ， 在和中， ， ， ； 测出的长即为A，B间的距离； 方案二：， ， 在和中， ， ， ； 测出的长即为，间的距离， ∴两个同学的方案均可行， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 题型06 全等三角形的判定和性质 26．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知：如图，，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出的对应边是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴． 故选：A． 27．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的度数是（　　）． A．35° B．50° C．55° D．95° 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和为，即可求出大小． 【详解】解：∵， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴， 又∵的内角和为， ∴． 故选：D． 28．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．确定角度之间的数量关系是解题的关键． 由图可知，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由图可知，所在的三角形与所在的三角形全等， ∴，， ∴， 故选：A． 29．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动．当与全等时，a的值为（    ） A．3 B．4 C．4或6 D．2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分和两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求得点Q的移动速度即可． 【详解】解：分两种情况： ①当时，， ∴点P运动的时间为秒， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； ②当时，， ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度为厘米/秒； 综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 故选：C． 30．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则 ； 【答案】7 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：7． 31．（21-22八年级上·河北保定·期末）已知，，，，则 °， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理，由全等三角形的性质可得，，由三角形内角和定理求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，． 32．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，在正方形中，，E是上一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为1秒，当和全等时，t的值是 ． 【答案】3.5或6.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图，    ①当点在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得， 所以（秒）； ②当点在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：， 解得（秒）． 所以，当的值为3.5秒或6.5秒时．和全等． 故答案为：或． 33．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， （1） 厘米， 厘米.（用含t的代数式表示） （2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为 . 【答案】 或4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，分类讨论的思想思考问题． （1）根据路程与速度的关系求解即可； （2）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）解：点 P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，运动的时间为 t秒， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）∵点Q在线段上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，运动的时间为t秒， ∴， 当时, ∴,即,即, ∴, ∴, 解得:; 当时, ∴,即, ∴, ∴, ∴ 即, 综上, 以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为或， 故答案为：或4. 34．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【详解】解：， ，，， 在和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选：C． 35．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，，，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据平行线的性质得出，然后证明，得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，故C正确． 故选：C． 36．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，是的两条高线，，，则（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A 37．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵H是高和的交点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 38．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 【答案】 【分析】证明，得出，，进而可得，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ． 故答案为：，． 39．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）如图，，，，点在线段上．若，，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由，可得，结合题意可证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 又，， ， ， ， 故答案为：． 40．（24-25八年级上·河北沧州·期末）公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？ 【答案】应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是根据题意，，则，根据垂直的性质，则，则，根据等量代换，，全等三角形的判定和性质，则，得到，，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵、两所学校到的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米． 41．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，D为边上的一点，，以线段为边作，使得，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，运用证得成为解题的关键． 先根据角的和差可得，再运用证得，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 42．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，点在同一条直线上，与交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先由等式的基本性质得，再根据证明即可； （2）由全等三角形对应角相等，可得，根据三角形内角和定理，可求出的度数．由可得的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）， ， 即． 在和中， ， ． （2）， ， ， ， ， ． 43．（20-21八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知在中，D是上一点，点F、G都在上，，，连接，分别延长，，且它们相交于点E． (1)求证：； (2)若，点F，G是上的三等分点，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平行线性质可得，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再利用平行线性质及等腰三角形的性质可推出，则可求得，由点，是上的三等分点得，即可求得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点，是上的三等分点，， ∴， ∴的周长 44．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定、三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据已知条件即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再利用等式的性质得到，最后利用三角形内角和定理得到答案． 【详解】（1）解：在C和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，，为中点，过点作直线分别交射线、于点、（分别不与点、重合），设． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐互余； （1）直接根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据题意，分，，根据直角三角形的两个锐互余，即可求解． 【详解】（1）解： 为的中点， ， 在和中， ， ； （2）①若，则； ②若，则； 的度数或． 46．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，是边的中点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，结合，可得； （2）由三角形的中线的性质可得，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：点D是的中点． ， 与相交于点D， ， 在和中， ， ； （2）解；是边的中点，的面积为4， ， 又∵， ∴． 47．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在和中，，E是的中点，于F，且． (1)观察并猜想，与有何数量关系？并证明你猜想的结论； (2)若，试求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质： （1）利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等即可； （2）根据全等三角形对应边相等求出，根据线段中点的定义求出，从而得到． 【详解】（1）猜想：， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 题型07 角平分线性质定理 48．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点D到的距离是（   ）    A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】如图，过作于，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得即可． 【详解】解：如图，过作于，    ∵，的平分线交于点D，， ∴， ∴点D到的距离是3； 故选C． 【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到的距离即为长是解决的关键． 49．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在中，点D为上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为的中点． 嘉嘉说：若①②同时成立，可证明； 淇淇说：若②③同时成立，也可以证明． 针对两人的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．两人的说法都对 D．两人的说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键．若①②同时成立，可证，进而可判断嘉嘉的正误；若②③同时成立，可证，进而可判断淇淇的正误． 【详解】解：若①②同时成立， ∴， ∵，，， ∴， ∴，嘉嘉正确，故符合要求； 若②③同时成立， ∴， ∵，，， ∴， ∴，淇淇正确，故符合要求； 故选：C． 50．（18-19八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可． 【详解】解：作于，    ∵平分，，， ∴， 又∵为上动点， ∴， ∴，最小值为8， 故答案为：8． 51．（10-11八年级下·重庆·期中）如图，中，，平分，，则的面积是 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 52．（21-22八年级上·河北唐山·期末）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于 ． 【答案】2：3：4 【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案． 【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点． ∵CO、BO、AO分别平分 ∴ ∵，， ∴ 故答案为：2：3：4 【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键． 53．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 若，的面积为18，则的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质及三角形面积公式的应用； 作，，根据作图过程可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，再根据的面积为18，求出的长，进而可得结果． 【详解】如图，过点作于点，于点 根据作图过程可知： 是的角平分线 ∵ 故选：D． 题型08 尺规作图背景几何问题 54．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，按下列步骤作图： 第一步：在上分别截取，使； 第二步：分别以E，F为圆心，适当长（大于的一半）为 半径画弧，两弧交于点M； 第三步：作射线交于点D； 第四步：过点D作于点P． 下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，根据作图方法可知平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，根据三角形面积公式可得，由此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知平分， 设点D到的距离为h， ∵平分，，点D到的距离为h， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选C． 55．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（    ） A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确 C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确 【答案】A 【分析】由作图可知，作出的三角形全等，利用全等三角形的性质可以解题． 【详解】如图， ， ； 小亮作图正确； 由作图可知， C是线段垂直平分线， ， ， ， 小明作图正确； 故选A． 【点睛】本题考查作图——基本作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键． 56．（19-20九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点C在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程： ①以点C为圆心，长为半径画，交于点M．②作射线，则．③以点M为圆心，长为半径画弧，交于点D．④以点O为圆心，任意长为半径画，分别交，于点E，E则正确的作图顺序是（　　）    A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 【答案】C 【分析】根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，． ①以为圆心，长为半径画，交于点． ③以为圆心，长为半径画弧，交于点． ②作射线，则． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程． 57．（22-23八年级上·四川宜宾·期中）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 58．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． （1）若，则 ； （2）如果，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 34 24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的性质和角平分线的尺规作图： （1）根据作图方法可知平分，则由角平分线的定义可得答案； （2）过作于点，于点，由角平分线的性质得到，根据三角形面积公式求出，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意可知，平分， ∴， 故答案为：34， （2）如图，过作于点，于点， ∵平分，，，      ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 59．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得点Q到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，尺规作图-作角平分线，根据点Q到边的距离等于可判断点Q在上，然后作出的平分线与的交点即可． 【详解】解∶如图，点Q即为所求， 60．（23-24八年级上·河北保定·期末）数学活动课上，老师利用平分角的仪器的工作原理引入了角的平分线的尺规作图的课程．小明受此问题启发，利用轴对称性又发现了一种作角平分线的方法（如图）．请仔细阅读并完成相应任务． 【作法】 ①以点M为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于点A，B； ②再以点M为圆心，另一个半径长画弧，交角的两边于点C，D； ③连接，交于点E； ④作射线． 射线即为的平分线． 【任务】 (1)由尺规作图可直接得到线段相等的有：和_____． (2)由（1）中的条件，可证，依据是______．（填判定方法） (3)如果把（2）中已得的作为条件，求证：． 【答案】(1) (2)（或边角边） (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接由尺规作图得出结论即可； （2）根据全等三角形的判定方法求解即可； （3）证明即可． 【详解】（1）解：由作图可知：； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：（或边角边）； （3）证明：， ，，， ，即． 在和中，， ， ． 题型09 角平分线的性质定理综合问题 61．（19-20八年级上·安徽淮北·期末）如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键． 根据全等三角形的判定分别证明，，，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵平分， ∴， ∵于点，于点， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴图中全等三角形有3对 故选C． 62．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，在和中，，连接，交于点，连接．甲、乙、丙三人的说法如下，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙：平分 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 【答案】A 【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，对应的高相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在和中 ∴ ∴， ∴，故甲正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故乙错误； 如图所示：过点作，， ∵ ∴， ∴平分，故丙正确； 故选 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的判定等相关知识点，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 63．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为和．过点作于，则 （填“、、”）；的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，先利用角平分线的性质，即可得出与的数量关系；证明，从而可得，再证明，从而可得，然后结合图形利用面积的和差关系进行计算即可解答．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的角平分线，，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和的面积分别为和， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的面积为． 故答案为：；． 64．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）如图，已知，M是的中点，平分，，则等于 ．    【答案】/35度 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，进而得出，根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：过点作于，   平分，，， ， ， ， ，， 平分， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 65．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，平分，于点，点在边 上，． (1)求证： ． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线性质，得到，从里利用两个直角三角形全等的判定定理得到，从而根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）由（1）可知，根据已知条件得到，从而得到，根据即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ，即， ，解得． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 66．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图把剪成三部分边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O为三角形三个内角平分线的交点，从而容易得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，过点O分别作于D，于E，于F， ∵直线， ∴， ∴点O是的内心，点O为三个内角平分线的交点， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形角平分线的性质定理，利用平行线间的距离处处相等判定点O为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键． 67．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知平分，于点E，的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，利用即可证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，然后根据全等三角形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，于点E，的延长线于点F， ∴， 在与中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 68．（2017·山东滨州·中考真题）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，， ∴在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①正确可得，， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 69．（21-22八年级上·河北承德·期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答： 已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 【答案】(1)角两边的距离相等；， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据角平分线性质，写出结果； （2）作于，作于，证明，从而得出结论； （3）作射线，交于，作，反向延长，交于； （4）当和互补时，． 【详解】（1）解：定理直接得出结果： 角两边的距离相等；，； （2）证明：证明：如图1， 作于，作于， ， 平分， ， 在四边形中，，， ， ， ， ， ， （ASA） ； （3）证明：如图2， 作射线，交于，作，反向延长，交于， 则；, （4）解：如图3， 当和互补时，，理由如下： 作于，作于， ， 平分， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， (ASA) ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型10 全等三角形的判断与性质的综合问题 70．（23-24八年级下·河北保定·期末）判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟记全等三角形的判定与性质、平行线的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：方案I： ， （内错角相等，两直线平行）， 方案II： 在和中， ， ， ， 故选：D． 71．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，三角形中线的性质，根据已知条件证明，根据全等三角形的性质可得，得出，，推出，代入求值即可． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 72．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意； 故选A． 73．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，，作平分交边于D，过A作于E，延长交边于点F，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先求出，，证明出，进一步证明，最后利用全等的性质及三角形外角的性质求解． 【详解】解：，， ， 平分交边于D，过A作于E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形全等的判定及性质、三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等． 74．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，、E是直线上不重合的两点，是的角平分线，于点A，若的周长为10，则的周长可能是（     ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键，同时熟练掌握三角形的任两边之和大于第三边． 延长延长至点F，使得，连接，证得，即得，再根据三角形的三边关系即可证得结论． 【详解】当点E在点A右侧时，延长至点F，使得，连接，如图所示，      ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴的周长大于， 如图2.26所示，当点在点A左侧时，同理可证的周长大于，    符合要求的为11， 故选D 75．（23-24八年级上·河北保定·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．分别证明，得出；证明，得出． 【详解】解：方案Ⅰ：∵，，， ∴， ∴； 方案Ⅱ： ∵，，， ∴， ∴； 综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：D． 76．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，八边形每条边都相等，且，若，四边形的周长分别为，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．，大小无法比较 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、三角形的三边关系，可先求得，根据四边形的周长，的周长，，即可求得答案． 【详解】解：在和中 ∴． ∴． 同理可得． ∴． ∵四边形的周长，， ∴四边形的周长． 又的周长，， ∴． 故选：A 77．（23-24八年级上·河北邢台·期末）如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法： 甲：作底边的中线 乙：作平分交于C，则（    ）    A．甲、乙两种作法都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确、乙正确 D．甲乙两种作法都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及性质，熟练掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．分别根据甲、乙的条件证明即可． 【详解】解：甲：作底边的中线，则， 在与中， ， ， ， 故甲的作法正确； 乙：作平分交于C，则有， 在与中， ， ， ， 故乙的作法正确． 综上所述，甲、乙都正确． 故选A． 78．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明推出，再依次证明，，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，再依次证明，，推出，可得． 【详解】（1）解：证明如下：在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． （2）解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点G使，连接，如图， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 79．（23-24八年级上·河北沧州·期末）问题情境：如图，等腰，D是斜边上一点，连接，在AD右侧作，且，平分交边于点E，连接和，请直接写出线段的关系：   ；      猜想验证：若 D是斜边上一动点，且平分交边于点E，其他条件不变，此时上面的结论是否还成立，请说明理由． 拓展延伸：若点D运动到斜边的延长线上，平分交边于点E，其他条件不变，请直接写出线段的关系： ． 【答案】问题情景：；猜想验证：成立，见解析；拓展延伸： 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题情景：根据作图过程可解决问题情境；猜想验证：根据等腰直角三角形和已知条件可证明可得，进而证明可得，然后根据即可证明结论；拓展延伸：先根据题意画出图形，然后参照猜想验证进行解答即可． 【详解】解：问题情境：． 猜想验证：，理由如下： ∵是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴，即： 在和中， ∴ ∴， ∵平分， ∴ 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 拓展延伸：，理由如下： ∵是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴，即： 在和中， ∴ ∴， ∵平分， ∴ 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 80．（23-24八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    【答案】(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ （全等三角形的对应角相等） 又∵是的一个外角 ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴                           即（等量代换） ∴在中，若，则 故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； （2）解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 81．（23-24八年级上·河北保定·期末）小明在物理课．上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)试说明； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键， （1）由直角三角形的性质证出，利用证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，． 【详解】（1） 又 在和中 （2） ． 82．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知：于点，，点是，的平分线的交点，连接，． (1)___________度； (2)求证：且； (3)探究： ___________度； ___________．（填“”“”“”） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)；“”． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识，熟练掌握以上知识点的应用及作出正确的辅助线是解题的关键． （）根据角平分线的定义和三角形内角和即可求解； （）证明，然后根据性质即可求解； （）由，通过性质即可求解； 连接，证明，通过性质即可求解； 【详解】（1）解：∵点是，的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵由点是，的平分线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵由点是，的平分线的交点， ∴， ∴， ∴， 即； （3）同（）理可证， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，连接， 由得：， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 83．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）下面是多媒体上的一道习题： 如图是的中线，，，求的取值范围．    请将下面的解题过程补充完整 解：延长至点E，使，连接．    ∵是的中线， ∴__________， 在和中， ∴（__________填判定定理用字母表示） ∴_________， 在中，根据“三角形三边关系可知： __________________ 又∵ ∴__________________ 【答案】见解析 【分析】主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，延长至点E，使．证明，推出，再利用三角形的三边关系，可得结论； 【详解】解：延长至点E，使，连接，    ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知： ， 又∵， ∴． 84．（22-23八年级上·河北承德·期末）如图1一直角三角板，，，过点C的直线l不经过三角形内部，过点A、B作，，垂足分别为D，E． (1)请你在图1中写出一对全等三角形：___________ (2)请证明你所写结论． (3)尝试探究：若，； ①图1中四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，） ②图2中过点C的直线l经过三角形内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含a，b的代数式表示，） (4)拓展应用：，，则B点坐标为：___________；若点P（不与B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为：___________ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，②或 (4)，或或 【分析】（1）由图可知； （2）利用可证； （3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）参照1-3，在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：和是一对全等三角形， 故答案为：； （2）证明：，， ，， ， 在和中， ， ； （3）解：①由（2）知， ，， 四边形的面积为：； ②同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：， 故答案为：，； （4）解：如图所示，作轴于点D． ，， ，． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． 85．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）如图1，在长方形中，，，点在线段上以的速度由向终点运动，同时，点在线段上由点向终点运动，它们运动的时间为. 【解决问题】 若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，回答下面的问题： (1)； (2)此时与是否全等，请说明理由； (3)求证：； 【变式探究】 若点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，请直接写出相应的的值；若不存在，请说明理由.                           【答案】解决问题（1）1；（2）全等；（3）见解析；变式探究：1或. 【分析】解决问题 （1）当t=1时，AP的长=速度×时间； （2）算出三角形的边，根据全等三角形的判定方法判定； （3）利用同角的余角相等证明∠DPQ=90°； 变式探究 若与全等，则有两种情况：①≌②≌，分别假设两种情况成立，利用对应边相等求出t值. 【详解】解：解决问题 （1）∵t=1，点P的运动速度为， ∴AP=1×1=1cm； （2）全等，理由是： 当t=1时，可知AP=1，BQ=1， 又∵AB=4，BC=3， ∴PB=3， 在△ADP与△BPQ中， ， ∴△ADP≌△BPQ（SAS） （3）∵△ADP≌△BPQ， ∴∠APD=∠PQB， ∵∠PQB+∠QPB=90°， ∴∠APD+∠QPB=90°， ∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ. 变式探究 ①若≌， 则AP=BQ， 即1×t=x×t， x=1；      ②若≌， AP=BP，即点P为AB中点， 此时AP=2，t=2÷1=2s， AD=BQ=3， ∴x=3÷2=cm/s. 综上：当与全等时，x的取值为1或. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，注意在运动中对三角形全等进行分类讨论，从而得出不同情况下的点Q速度. 86．（19-20八年级上·河北张家口·期末）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ． 【理解与应用】（2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ． （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，根据中线得到，结合，即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质及三边关系，延长至点Q，使，连接，证明结合三边关系求解即可得到答案； （3）本题考查三角形全等的判定与性质，延长到M，使，连接，先证，再证即可得到答案； 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）：如图2，延长至点Q，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴x的取值范围是； （3）证明：如图3，延长到M，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 87．（21-22八年级上·河北沧州·期末）如图，已知在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，CD＝8厘米，点M以6厘米/秒的速度运动，点M从点C出发，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒． (1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等． ①当t＝2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由； ②当点M，N的运动时间t为______秒时，△BMN是一个直角三角形； (2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由； (3)已知点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，经过50秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒． 【答案】(1)① 全等，理由见解析；② 或 (2)存在，，厘米|秒 (3)5.6或6.8 【分析】（1）①当t=2时，，即可证明 ②当或时，分别利用含 角的直角三角形的性质即可求解 （2）根据点N的运动速度与点M的运动速度不相等，则只能是，从而得出答案 （3）分两种情况：若点M速度快则，若点N速度快，则，从而得出答案 【详解】（1）①△BMN≌△CDM；理由： ∵点M，N的运动速度为6厘米/秒 ∴ t＝2时，CM＝BN＝6×2＝12厘米， ∴ BM＝BC－CM＝20－12＝8（厘米） ∵CD＝8厘米 ∴ BM＝CD． ∵△ABC是等边三角形 ∴ ∠ B＝∠C＝60°． 在△BMN和△CDM中，BN＝CM，∠B＝∠C，BM＝CD ∴ △BMN ≌ △CDM（SAS）； ②∵∠B＝60°，△BMN是直角三角形，∴∠BMN＝90°或∠BNM＝90°． ∵BN＝CM＝6t ∴ BM＝BC－CM＝20－6t． （Ⅰ）当∠BMN＝90°时，∠BNM＝30° ∴ BN＝2BM ∴ ∴； （Ⅱ）当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30° ∴ BM＝2BN ∴ 20－6t＝2×6t ∴． 综上，t的值为或 故答案为或 （2）点N的运动速度与点M不相等，∴ CM ≠ BN，若要△BMN和△CDM全等， 则BN＝CD＝8厘米，BM＝CM＝10厘米 ∴ 此时6t＝10 ∴； 设点N的运动速度为v厘米/秒 ∴ ∴厘米 /秒； （3）①若点M速度快则 /s 若点N速度快，则 故答案为5.6或6.8 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质等，将动点问题转化为线段长问题是解题关键． 88．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，为边上的高，在直线上. （1）若，则 °； （2）若点从点出发，在直线上以每秒2cm的速度向一个⽅向移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 秒时，. 【答案】 40 2或5 【分析】（1）由已知条件和直角三角形的性质可得，进而可得答案； （2）分点E沿射线BC方向运动和点E沿射线BG方向运动两种情况，利用AAS证明△ABC≌△CFE，可得，再利用线段的和差求出BE，即可解决问题. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）若点E沿射线BC方向运动，如图1， ∵， ∴， 由（1）知， 此时若， 则△ABC≌△CFE（AAS）， ∴cm， ∴cm， 则点E运动的时间为=5秒； 若点E沿射线BG方向运动，如图2， ∵， ∴， ∵，， ∴， 此时若， 则△ABC≌△CFE（AAS）， ∴cm， ∴cm， 则点E运动的时间为=2秒； 故答案为：2或5. 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键. 试卷第2页，共95页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$