第四章 概率与统计 章末题型大总结（13热点题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第二册）

第四章 概率与统计 章末题型大总结 题型01条件概率、乘法公式及全概率公式 解题锦囊 1．求条件概率的主要方法 (1)利用条件概率公式P(B|A)＝； (2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解． 2．应用乘法公式的注意点 在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)则表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率． 【典例1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（    ） A．摸到黑球 B．摸到红球 C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 【变式3】 （23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡的产量占70%，螺口灯泡的合格率是95%，卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡，发现是合格的，这只灯泡是螺口灯泡的概率约为（    ） A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737 题型02相互独立事件的概率、独立重复试验的概率 解题锦囊 1.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 (1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具. (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系. (3)公式“P(A＋B)＝1－P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率. 2.在解决概率问题时，一定要根据有关概念判断是互斥事件、相互独立事件，条件概率等，用基本事件表示较复杂的事件，选择正确的计算方法，同时要注意几种事件的综合问题，需全面考虑. 【典例1】 （24-25高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（    ） A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94 【变式2】 （24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 （24-25高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 【变式4】（23-24高二下·贵州·期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（    ） A． B． C． D． 题型03随机变量分布列及性质 解题锦囊 分布列的两个性质 ①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 【典例1】 （23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【变式1】 （23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 【变式2】 （23-24高二下·河北沧州·期末）设随机变量的分布列，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下 则（    ） A． B． C． D．或 题型04随机变量的期望与方差 解题锦囊 离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性．期望与方差在实际问题中有广泛的应用，是高考的热点． 解决均值、方差的应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解． 【典例1】 （24-25高二上·湖南岳阳·期中）不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球． (1)求取到个标有数字的球的概率； (2)设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望． 【变式1】 （23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到. (1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求使取得最大值的整数m. 题型05期望与方差的性质 解题锦囊 均值、方差的性质 (1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，且E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b. (2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ). 【典例1】 （23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式1】 （23-24高二下·新疆·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 【变式3】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2024高二·全国·专题练习）（多选）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．移动次后质点位于原点的概率最大 题型06两点分布 解题锦囊 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等. 【典例1】 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【变式1】已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【变式2】 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 题型07二项分布 解题锦囊 二项分布 若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)． 根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率． 【典例1】（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】 【变式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】 （23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 题型08超几何分布 解题锦囊 超几何分布 若ξ～H(N，n，M)则Eξ＝，Dξ＝Eξ·. 对超几何分布的三点说明 （1）超几何分布的模型是不放回抽样． （2）超几何分布中的参数是M，N，n. （3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、学生中的男和女等问题，往往由具有明显差异的两部分组成． 【典例1】 （23-24高二下·江苏南通·阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元． (1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列； (3)已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润． 【变式1】 （23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 （23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 题型09正态分布 解题锦囊 1.正态分布 若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，X的概率密度函数φu，σ(x)＝e. 2.正态分布的概率求法 （1）注意“3σ原则”的适用范围．记住正态总体在三个区间内取值的概率． （2）注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题． 【典例1】 （23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 【变式1】 （23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式3】 （23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 题型10一元线性回归方程 解题锦囊 对于线性回归直线方程的应用主要体现在以下两个方面． (1)判断两个变量的关系，主要体现在分析两个变量的相关性，画出样本点的散点图或相关系数．确定两变量具有线性相关关系，再求出线性回归方程． (2)如果x，y的线性相关关系具有统计意义，就可以用回归直线方程进行预测和控制．预测是指对于x的取值范围内任一个x0，y取相应值y0的估计；控制是指通过控制x的值把y的值控制在指定范围内． 【典例1】 市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份x 1 2 3 4 5 6 净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 (1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01） (2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率 ，.相关系数. 参考数据：，，，，，. 【变式1】 （24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用/万元 4 2 3 5 销售额/万元 49 26 39 54 根据上表可得线性回归方程 中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（    ） A．9.1万元 B．9.2万元 C．67.7万元 D．65.5万元 【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019年至2023年的年销售额如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额/万元 30 35 45 60 80 (1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2024年该店的年销售额. (2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，. 【变式3】 （23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某品牌电脑专卖店的年销售量与该年广告费用有关，如表收集了4组观测数据： （万元） 1 4 5 6 （百台） 30 40 60 50 以广告费用为解释变量，销售量为预报变量对这两个变量进行统计分析． (1)已知这两个变量呈线性相关关系，试建立与之间的回归方程； (2)假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量． 参考公式：，． 题型11非线性回归方程 解题锦囊 建立非线性经验回归模型的基本步骤 1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； 2.由经验确定非线性经验回归方程的模型； 3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）； 4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； 5.消去新元，得到非线性经验回归方程； 【典例1】 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． (1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示） (2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（    ）千人. 参考数据： A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.    20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 【变式3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据 17713 714 27 81.3 (1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 题型12独立性检验 解题锦囊 独立性检验的两个关键 一是弄清问题中的两个变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2列联表的结构特征． 二是利用2×2列联表计算χ2的值，再结合常用的显著性水平及对应的分位数表来分析两变量相关的可能性大小． 【典例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； (2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； (3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式1】 （23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（    ） A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）（多选）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据0.01的独立性检验，下列结论正确的是（    ） A．若，则变量与不独立 B．若，则变量与独立 C．若，则变量与独立 D．若，则变量与不独立 【变式3】 （23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 女市民 当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ． 附：，其中． 【变式4】（23-24高二下·安徽安庆·期中）随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑训练天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”． 附：（为样本容量） a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数； (2)根据上表的数据，填写下列：列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 140 女 55 合计 题型13概率统计的综合问题 【典例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【变式1】 （23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试． (1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则． ①证明：数列为等比数列； ②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小． 【变式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【变式3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【变式4】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： (1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； (2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案. 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. 若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 概率与统计 章末题型大总结 题型01条件概率、乘法公式及全概率公式 解题锦囊 1．求条件概率的主要方法 (1)利用条件概率公式P(B|A)＝； (2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解． 2．应用乘法公式的注意点 在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)则表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率． 【典例1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由全概率公式和条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意，， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为. 由全概率公式，， 代入数值可得： 解得： 故选：C. 【变式1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解． 【详解】质点移动4次，共有种情况， 设质点第一秒位于1的位置为事件为，则， 记质点两次经过质点2为事件，若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次， 则有，两种情况， 所以， 则． 故选：A． 【变式2】 （23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（    ） A．摸到黑球 B．摸到红球 C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 【答案】B 【分析】对于AB，由全概率公式即可直接计算选项A中摸到黑球的概率和选项B中摸到红球的概率，进而即可判断AB；对于CD，由条件概率定义即可直接得选项C和D相应的概率，进而即可判断CD. 【详解】对于A，由全概率公式得摸到黑球的概率为，故A错误； 对于B，由全概率公式得摸到红球的概率为，故B正确； 对于C，在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故C错误； 对于D，在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故D错误. 故选：B. 【变式3】 （23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，则，且彼此互斥，然后根据条件依次得到、、、、、的值，然后根据全概率公式公式求解即可. 【详解】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区， 记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区， 则，且彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 【变式4】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡的产量占70%，螺口灯泡的合格率是95%，卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡，发现是合格的，这只灯泡是螺口灯泡的概率约为（    ） A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737 【答案】B 【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】令事件“螺口灯泡”，“卡口灯泡”，“合格的”， ， 则， 因此， 所以随机取一只灯泡，发现是合格的，这只灯泡是螺口灯泡的概率约为0.723. 故选：B 题型02相互独立事件的概率、独立重复试验的概率 解题锦囊 1.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 (1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具. (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系. (3)公式“P(A＋B)＝1－P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率. 2.在解决概率问题时，一定要根据有关概念判断是互斥事件、相互独立事件，条件概率等，用基本事件表示较复杂的事件，选择正确的计算方法，同时要注意几种事件的综合问题，需全面考虑. 【典例1】 （24-25高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率. 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（    ） A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，该同学两次投篮都不中的概率为， 所以该同学通过测试的概率为. 故选：C 【变式2】 （24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解. 【详解】因为约定连胜两场者赢得比赛， 所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为： 第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜， 所以所求概率为. 故选：C. 【变式3】 （24-25高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 【答案】A 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金枚，乙分得赌金枚. 故选：A. 【变式4】（23-24高二下·贵州·期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，再利用独立事件的概率乘法公式求解． 【详解】设事件表示“小球落入2号容器”， 若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右， 所以． 故选：B． 题型03随机变量分布列及性质 解题锦囊 分布列的两个性质 ①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 【典例1】 （23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A 【变式1】 （23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 【答案】C 【分析】根据给定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：C 【变式2】 （23-24高二下·河北沧州·期末）设随机变量的分布列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质，概率之和为１可求出参数.计算概率之和时用数列的裂项相消求和，进而求出. 【详解】 . 则. 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下 则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据条件，利用分步列的性质建立方程，即可求出结果. 【详解】由题知，，解得或，又，所以， 故选：C. 题型04随机变量的期望与方差 解题锦囊 离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性．期望与方差在实际问题中有广泛的应用，是高考的热点． 解决均值、方差的应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解． 【典例1】 （24-25高二上·湖南岳阳·期中）不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球． (1)求取到个标有数字的球的概率； (2)设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据满足要求的情况数除以总的情况数得到结果； （2）先分析的可取值，然后计算出对应概率，由此可知分布列并可计算出数学期望. 【详解】（1）抽到个标有数字的球的可能情况共有种，从个球中任取个共有种取法， ∴取到个标有数字的球的概率． （2）的所有可能取值为，，，， ，，，， 所以的分布列为： ∴． 【变式1】 （23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为，随机变量X的分布列为 2 m 14 0.3 0.6 0.1 （   ） A．5 B．6 C．9.8 D．10.8 【答案】D 【分析】先求的值，再求的期望与方差. 【详解】∵，∴， ∴， ∴ 故选：D 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别计算出和的分布列，然后逐项进行计算即可求得. 【详解】由题意，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个或选择个错误选项；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，再从个正确选项中选一个，概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； 对于A选项，， A错误； 对于B选项，； ；所以， B正确； 对于C选项，， ，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：BCD. 【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到. (1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②求使取得最大值的整数m. 【答案】(1)； (2)①分布列见解析，数学期望为；②答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解. （2）①求出的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按和分类求出的表达式，再建立不等式求出对应的整数. 【详解】（1）设事件“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”， 所以. （2）①的可能取值为2，3，4， ， 所以的分布列为： 2 3 4 数学期望. ②当时，只能取，此时有； 当时，整数满足，其中是和中的较小者， 由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k位同学，得所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为， 仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为， 由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件数为， ， 当时，， ， 因此取得最大值时，满足， 假如成立，则当能被整除时，在和处达到最大； 当不能被整除时，在处达到最大值（表示不超过的最大整数）， 下面证明： 由，得， ，则，显然， 因此. 【点睛】关键点点睛：求使取得最大值的值，关键是求出的表达式，再利用最大概率问题求解. 题型05期望与方差的性质 解题锦囊 均值、方差的性质 (1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，且E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b. (2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ). 【典例1】 （23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又，， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 【变式1】 （23-24高二下·新疆·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据离散型随机变量的均值、方差的性质即可求解. 【详解】由，得，A正确． 由，得，C正确． 故选：AC. 【变式2】 （23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ） 1 2 4 A．1 B． C．11 D．15 【答案】D 【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解. 【详解】依题意，，解得， 则， 所以. 故选：D 【变式3】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB选项，由二项分布知识即可判断选项正误；分析可知，由题可得对应概率即可判断C；根据期望的性质分析判断D. 【详解】AB选项，由题可得. 则，，故AB正确； CD选项，因为， 则，故C错误； 则，故D正确. 故选：ABD. 【变式4】（2024高二·全国·专题练习）（多选）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．移动次后质点位于原点的概率最大 【答案】ABD 【分析】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则，，根据二项分布的相关知识逐一判断即可求解. 【详解】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则， 由题意知，即. 对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：，C错误； 对于D：的所有可能取值有， ，， 当时，最大，最大，D正确. 故选：ABD. 题型06两点分布 解题锦囊 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等. 【典例1】 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 【变式1】已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解. 【详解】当时，由， 所以. 故选：D 【变式2】 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 又，所以， 所以，所以. 故选：A. 【变式3】随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的性质求出，则. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 所以， 由，所以. 故选：D 题型07二项分布 解题锦囊 二项分布 若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)． 根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率． 【典例1】（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望与方差公式判断AB，根据二项分布求概率可判断CD. 【详解】由，可知， ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 【变式1】 【变式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 【变式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 【变式3】 （23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求. 【详解】设小明投中次数为，则由题意可知， 则，， 因为投中一次得2分，没投中得0分，所以， 则，. 故选：B. 【变式4】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 题型08超几何分布 解题锦囊 超几何分布 若ξ～H(N，n，M)则Eξ＝，Dξ＝Eξ·. 对超几何分布的三点说明 （1）超几何分布的模型是不放回抽样． （2）超几何分布中的参数是M，N，n. （3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、学生中的男和女等问题，往往由具有明显差异的两部分组成． 【典例1】 （23-24高二下·江苏南通·阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元． (1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列； (3)已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润． 【答案】(1)0.2 (2)答案见解析 (3)42元 【分析】（1）由正太分布曲线的对称性即可求解； （2）的所有可能取值为，由超几何分布的概率公式即可求解； （3）由二项分布的均值公式即可列方程求解. 【详解】（1）由题意该产品是“一等品”即，而服从正态分布，且，， 所以 ； （2）一箱产品中“一等品”的件数约为，其余80件为“二等品”， 由题意的所有可能取值为， 所以， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 （3）设每件“一等品”的利润为元，而每件“二等品”的利润是12元， 每箱中“一等品”所占的比例为0.2， 每箱中“一等品”、“二等品”所获利润分别服从二项分布： ， 则，解得， 所以每件“一等品”的利润为42元. 【变式1】 （23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 【变式2】 （23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A 【变式3】 （23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合超几何分布运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式4】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 【答案】 【分析】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得. 【详解】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 题型09正态分布 解题锦囊 1.正态分布 若X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2，X的概率密度函数φu，σ(x)＝e. 2.正态分布的概率求法 （1）注意“3σ原则”的适用范围．记住正态总体在三个区间内取值的概率． （2）注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题． 【典例1】 （23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（    ） 参考数据：若，则，，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为. 故选：A. 【变式1】 （23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性求出即可计算得解. 【详解】依题意，，， 因此， 所以此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于服从正态分布，则， 故. 故选：B 【变式3】 （23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型10一元线性回归方程 解题锦囊 对于线性回归直线方程的应用主要体现在以下两个方面． (1)判断两个变量的关系，主要体现在分析两个变量的相关性，画出样本点的散点图或相关系数．确定两变量具有线性相关关系，再求出线性回归方程． (2)如果x，y的线性相关关系具有统计意义，就可以用回归直线方程进行预测和控制．预测是指对于x的取值范围内任一个x0，y取相应值y0的估计；控制是指通过控制x的值把y的值控制在指定范围内． 【典例1】 市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份x 1 2 3 4 5 6 净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 (1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01） (2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率 ，.相关系数. 参考数据：，，，，，. 【答案】(1)可以，理由见解析 (2)，3.32万元 【分析】（1）计算出相关数据，利用相关系数公式计算即可； （2）根据线性回归方程公式计算即可. 【详解】（1）由条件则， ， . 根据相关系数公式则 . 因此可以用线性回归模型拟合x与y的关系. （2）根据（1）则变量x，y线性相关，设所求的线性回归方程为. 根据回归方程的回归系数公式则 . 又因为. 从而可得变量x，y线性回归方程为 当时， 因此预测9月份的利润为3.32万元. 【变式1】 （24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用/万元 4 2 3 5 销售额/万元 49 26 39 54 根据上表可得线性回归方程 中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（    ） A．9.1万元 B．9.2万元 C．67.7万元 D．65.5万元 【答案】D 【分析】线性回归方程一定过样本中心，得到线性回归方程，然后带值求结果. 【详解】，， ∵线性归回方程经过样本中心， ∴，∴， ∴，当时，， 故选：D. 【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019年至2023年的年销售额如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额/万元 30 35 45 60 80 (1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2024年该店的年销售额. (2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，. 【答案】(1)，87.5万元. (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别求出，再根据经验回归方程计算，并代入，即可求解； （2）分别求出概率，并列出分布列，即可求解. 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 所以与的经验回归方程为. 当时，，所以预测2024年该店的年销售额为87.5万元. （2）可以取. ， 所以的分布列为 50 100 150 200 所以. 【变式3】 （23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某品牌电脑专卖店的年销售量与该年广告费用有关，如表收集了4组观测数据： （万元） 1 4 5 6 （百台） 30 40 60 50 以广告费用为解释变量，销售量为预报变量对这两个变量进行统计分析． (1)已知这两个变量呈线性相关关系，试建立与之间的回归方程； (2)假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量． 参考公式：，． 【答案】(1)； (2)75百台． 【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）根据回归直线方程进行预测. 【详解】（1）根据题意，计算， ， 又，； ， ， 所求回归直线方程为； （2）由已知得，时，（百台）， 可预测该年的销售量为75百台． 题型11非线性回归方程 解题锦囊 建立非线性经验回归模型的基本步骤 1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量； 2.由经验确定非线性经验回归方程的模型； 3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）； 4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程； 5.消去新元，得到非线性经验回归方程； 【典例1】 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，⋯，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． (1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示） (2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由，得出，由参考公式求解出，从而求出和的回归方程； （2）根据随机变量的可能取值逐一分析，当时，小明连胜3局或小红连胜3局；当时，小明前3局胜2局最后一局胜或小红前3局胜2局最后一局胜；当时，小明前4局胜2局最后一局胜或小红前4局胜2局最后一局胜；分别求出每个取值的概率．最后代入期望公式计算即可． 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，， ， 所以， 所以， 所以所求回归方程为； （2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5， 则，， ， 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 P 所以． 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（    ）千人. 参考数据： A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2 【答案】B 【分析】令，由，求出，得回归方程，可求预测值. 【详解】令，则， ，又， 由，得，所以， 则， 下午2点时对应，可得. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.    20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型. (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量. 附：；样本相关系数；经验回归方程，其中. 【答案】(1)模型中与的相关性较强. (2)（i）；（ii）27.1亿元. 【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出，比较大小即可判断； （2）（i）由取对数，换元得，由表中数据分别求和，得经验回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得； （ii）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量. 【详解】（1）由题意知 . 因为，所以， 故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强. （2）（i）由，得，即. 因为， 所以， 故关于的经验回归方程为，即 ,所以. （ii）将代入得. ，故得，解得， 故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 【变式3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据 17713 714 27 81.3 (1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 【答案】(1)更适宜 (2) 【分析】（1）根据指数型函数图象的特征、一次函数图象的特征进行判断即可； （2）运用对数的运算性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】（1）由散点图可以判断，随温度升高，产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长， 所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型. （2）将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，， 所以，则， 所以关于的线性回归方程为，故关于的回归方程为； 题型12独立性检验 解题锦囊 独立性检验的两个关键 一是弄清问题中的两个变量及其取值分别是什么，其次掌握2×2列联表的结构特征． 二是利用2×2列联表计算χ2的值，再结合常用的显著性水平及对应的分位数表来分析两变量相关的可能性大小． 【典例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； (2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； (3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3)无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算； （2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望； （3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得； 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分的上四分位数位于区间中， 所以上四分位数为：； （2）评分在与两组的频率分别为， 所以内抽取人数为，内抽取人数为， 故人中评分等级为良好的有人， 由题意可知，的可取值为， ，，， 所以的分布列为： 数学期望； （3）青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人， 由上可得如下列联表， 青年游客 老年游客 总计 评分等级良好 评分等级非良好 总计 零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，可知零假设成立， 即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 【变式1】 （23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（    ） A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【答案】C 【分析】先计算出卡方值，再分别与各选项中的相应的小概率值比较，根据独立性检验的原理，即可作出判断 【详解】由 对于A，因，故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误； 对于B，因，故没有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误； 对于C，因，故可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确； 对于D，因，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即D错误. 故选：C. 【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）（多选）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据0.01的独立性检验，下列结论正确的是（    ） A．若，则变量与不独立 B．若，则变量与独立 C．若，则变量与独立 D．若，则变量与不独立 【答案】CD 【分析】根据独立性检验的基本思想判断即可. 【详解】若，则变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01. 若，则变量与独立. 故选：CD. 【变式3】 （23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 女市民 当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ． 附：，其中． 【答案】 【分析】根据定义算出的表达式，由题意得，结合可得出的最小值. 【详解】由题意得， 并令，即， 近似解得，即，注意到， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式4】（23-24高二下·安徽安庆·期中）随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行长跑训练天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”． 附：（为样本容量） a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数； (2)根据上表的数据，填写下列：列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？ 性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 140 女 55 合计 【答案】(1)6000人 (2)在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关. 【分析】（1）先求出参与马拉松运动的‘热烈参与者’的概率即可求出该市参与马拉松运动的“热烈参与者”的人数. （2）根据题中所给数据即可填写列联表，再结合独立性检验的思想方法直接计算求解即可得解. 【详解】（1）记事件“参与马拉松运动的‘热烈参与者’”， 则由题意可得， 所以该市参与马拉松运动的“热烈参与者”的人数估计为人. （2）列联表如下： 性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计 男 35 105 140 女 5 55 60 合计 40 160 200 零假设为：“热烈参与马拉松”与性别无关， 根据列联表中的数据得， 所以根据小概率值的独立性检验推断不成立， 所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关. 题型13概率统计的综合问题 【典例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，从而可得日平均阅读时间在内的概率； （2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可； （3）由题意得，，则，利用组合数的性质求最大值即可． 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望，. （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生， 恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布， ， 由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大. 【变式1】 （23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试． (1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望； (2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则． ①证明：数列为等比数列； ②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小． 【答案】(1)分布列见解析， (2)①证明见解析；②答案见解析 【分析】（1）求得第一轮得分的所有可能取值，并计算出对应概率即可求得其分布列和期望值； （2）①写出的递推关系式，通过数列构造即可证明； ②根据①中的通项公式利用作差法即可比较得出与的大小. 【详解】（1）设该学生的得分为，则所有可能取值为0，2，4． 故的分布列为 0 2 4 则数学期望 （2）①第n次甲踢到建子的概率为， 当时，第次甲踢到建子的概率为，甲未能踢到建子的概率为； 所以， 所以， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． ②由①可知，，即； ， 当k为奇数时，为偶数，即； 当k为偶数时，奇数，即； 综上，当k为奇数时，，当k为偶数时. 【变式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）先将题设的数据整理为表格，根据表中数据结合条件概率的计算公式可求概率； （2）结合超几何分布可求的分布列和数学期望； （3）先求出李华在一轮测试中“优秀”的概率，再结合二项分布的期望公式可求至少要进行多少轮测试. 【详解】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 【变式3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示． (1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值： (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”． 附：若，则，，； 【答案】(1)75，71.7 (2)分布列见解析， (3)504，不能 【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可； （2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （3）由正态分布的概率特征求解即可． 【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分； 由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1， 所以中位数在组，故中位数为：分； （2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以； （3）由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， 又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数： ， 因为，则， 所以， 因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”， 故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”． 【变式4】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图： (1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； (2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案. 方案一：每满800元可立减100元； 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折. 若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案. 【答案】(1) (2)第二种方案 【分析】（1）首先根据频率确定消费金额在和的频率比，从而确定两组的人数，再按照古典概型概率公式，即可求解； （2）首先确定第一种方案的消费，以及第二种方案的分布列和数学期望，再比较大小，即可选择. 【详解】（1）消费金额在的频率为，在的频率为， 频率之比为，所以按照分层抽样，抽取的6人中消费金额在的有4人，消费金额在的有2人， 所以抽到的2人中至少1人为健身达人的概率； （2）若选择方案一，则实际消费元， 若选择方案二，若不中奖，则消费元，概率为， 若中奖1次，则消费元，概率为， 若中奖2次，则消费元，概率为， 若中奖3次，则消费元，概率为， 设消费金额为，分布列如下， 期望, 因为，说明第二种方案平均消费少， 所以选择第二种方案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$