区分二项分布与超几何分布（讲义+巩固练习） -2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

超几何分布与二项分布巩固练习（一） 1．某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的 该种产品中随机抽取 100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这 100件产品中抽取 10件，再从这 10件产品中随机抽取 3件，记这 3件产品中一等品的数量为 X ，求 X 的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取 3件产品，求恰好有 1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为 21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 2．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器 中各抽取 100件进行性能质量评估检测，综合得分 k的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中 1 1 7 6 a  ． 综合得分 k的范围 减排器等级 减排器利润率 85k 一级品 2a 8575  k 二级品 23a 70 75k  三级品 2a (1)若从这 100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 10件，再从这 10件产品中随机抽取 5件，求抽取的 5件中至少有 3件一级品的概率； (2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取 4件，记 X 为其中二级品的个数，求 X 的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 超几何分布与二项分布巩固练习（二） 1．为贯彻落实（全国青少年学生读书行动实施方案），某校持续开展“学习新思想、做好接班人”“典 耀中华”“学科学、爱科学”等主题读书活动．为了解学生的主题读书活动情况，从全校学生 3000 名中抽取了部分学生的一周阅读时间 x（单位：分钟）作为样本进行统计，数据从小到大依次分为 五组：150 160x  ，160 170x  ，170 180x  ，180 190x  ，190 200x  ，得到下面的频 率分布直方图（如图所示），其中第 1组的频率的平方是第 2组、第 4组频率的乘积． (1)求 a，b的值； (2)以频率估计概率，从全校学生中，随机抽取 4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三 组的学生数为 X，求 X的概率分布． 2．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了 500名高中学生进行在线 调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]， (4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16] , (16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)为进一步了解这 500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在 (12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10人，现从这 10人中随机抽 取 3人.记参加公益劳动时间在 (14,16]内的学生人数为 X ，求 X 的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取 20名学生，用“ 20( )P k ”表示这 20名学生中恰有 k名学生参加公益劳动时间在 (10,12 ]（单位:小时）内的概率，其中 0,1,2, ,20k   . 当 20( )P k 最大时，写出 k的值. 超几何分布与二项分布巩固练习（一）参考答案 1．(1) X 的分布列见解析； 6( ) 5 E X  (2) 48 125 (3)应该选择方案一 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的 10件产品中一等品和非一等品的数量，求出 X 的所 有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量 1(3, ) 5 Y B ，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题可得，抽取的 10件产品中，一等品有 4件，非一等品有 6件， 所以 X 的可能取值为 0，1，2，3．   0 3 4 6 3 10 C C 10 C 6 P X    ，   1 2 4 6 3 10 C C 11 C 2 P X    ，   2 1 4 6 3 10 C C 32 C 10 P X    ，   3 0 4 6 3 10 C C 13 C 30 P X    ， 则 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 1 1 3 1 6( ) 0 1 2 3 6 2 10 30 5 E X          . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取 3件产品，记抽到四等品的数量为Y，则 1(3, ) 5 Y B ， ∴   2 1 3 1 4 481 C 5 5 125 P Y          . （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： 40 30 10 2024 22 18 16 21.2 100 100 100 100         （元/件）， ∵ 21 21.2< ， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 2．(1) 31 42 (2)①分布列见解析，   1E X  ；②乙型号 【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为 0.08 5 0.04 5 0.6    ， 按等级用分层抽样的方法抽取 10件， 则抽取一级品为10 0.6 6  （件）， 记“抽取的 5件中至少有 3件一级品”为事件A，则   3 2 4 1 5 6 4 6 4 6 5 10 C C C C C 31 C 42 P A    ． （2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为 7 10 ， 二级品的概率为 1 4 ，三级品的概率为 1 20 ， 由题意， 14, , 4 X B X     ～ 的所有可能的取值为0,1, 2,3, 4， 所以   4 0 0 4 3 1 810 4 4 256 P X C              ，   3 1 4 3 1 271 C 4 4 64 P X         ，   2 2 2 4 3 1 272 C 4 4 128 P X              ，     3 0 4 3 4 4 4 3 1 3 3 1 13 C , 4 C 4 4 64 4 4 256 P X P X                        ， 分布列如下表： X k 0 1 2 3 4  P X k 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 所以   14 1 4 E X    ； ②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值： 2 2 1 3 2 6 62 3 5 5 5 5 E a a a a      ； 乙型号减排器的利润率的平均值： 2 2 2 2 7 1 1 4 72 3 10 4 20 5 5 E a a a a a       ；  2 2 21 2 6 6 4 7 2 1 1 2 1 5 5 5 5 5 5 5 E E a a a a a a a a             ，又 1 1 7 6 a  ， 则 1 2E E ，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大． 超几何分布与二项分布巩固练习（二）参考答案 1．(1) 0.032, 0.004a b  (2)X的概率分布见解析 【分析】（1）根据频率的计算公式及其中第 1组的频率的平方是第 2组、第 4组频率的乘积列方 程求出 a，根据所有小长方形的面积和为 1求出b； （2）求出第 3组的频率为 0.4 ，由题意得 2~ 4, 5 X B      ，根据二项分布的概率公式求解即可． 【详解】（1）因为其中第 1组的频率的平方是第 2组、第 4组频率的乘积， 所以      20.016 10 10 0.008 10a     ，解得 0.032a  ， 又  0.008 0.016 0.032 0.04 10 1b      ，解得 0.004b  ． 所以 0.032, 0.004a b  ， （2）第 3组的频率为：0.04 10 0.4  ， 以频率估计概率，从全校 3000名学生中，随机抽取 4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到 第三组的学生数为 X ，则 24, 5 X B       ，   0 4 0 4 2 2 810 C 1 5 5 625 P X               ，   1 3 1 4 2 2 2161 C 1 5 5 625 P X               ，   2 2 2 4 2 2 2162 C 1 5 5 625 P X               ，   3 1 3 4 2 2 963 C 1 5 5 625 P X               ，   4 0 4 4 2 2 164 C 1 5 5 625 P X               ， 故 X 的概率分布如下 X 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 2．(1)分布列见解析，期望为 6 5 (2) 4k  【详解】（1）由频率分布直方图得: 2(0.02 0.03 0.05 0.05 0.15 0.05 0.04 0.01) 1,a         解得 0.10;a  这 500名学生中参加公益劳动时间在 (12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别 为:500 0.10 50  人，500 0.08 40  人，500 0.02 = 10 人， 若采用分层抽样的方法抽取了 10人， 则从参加公益劳动时间在 14，16内的学生中抽取: 40 10 4 50 40 10     人， 现从这 10人中随机抽取 3人，则 X 的可能取值为 0，1，2，3， 3 1 2 6 4 6 3 3 10 10 C C C20 1 60 1( 0) , ( 1) , C 120 6 C 120 2 P X P X        2 1 3 4 6 4 3 3 10 10 C C C36 3 4 1( 2) , ( 3) , C 120 10 C 120 30 P X P X        X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 则其期望为 1 3 1 6( ) 1 2 3 ; 2 10 30 5 E X        （2）由（1）可知参加公益劳动时间在 (10,12]的概率 0.1 2 0.2,P    所以 20 20 20 20 20( ) 0.2 (1 0.2) 0.2 0.8 , k k k k k kP k C C    依题意         20 20 20 20 1 1 P k P k P k P k       ，即 20 1 1 21 20 20 20 1 1 19 20 20 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 0.8 k k k k k k k k k k k k C C C C             ， 即   20 10.2 0.8 20 1 1 0.8 0.2 1 k k k k            ，解得 16 21, 5 5 k  因为 k为非负整数，所以 4k  ， 即当 20( )P k 最大时， 4.k  二项分布与超几何分布的区别 二项分布与超几何分布的区别一： 1、超几何分布描述从N个物件（其中有M个指定物件）中抽出n个物件；二项分布描述n次独立重复试验。 2、超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复). 3、看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据；而超几何分布不放回抽样时取出一个则总体中就少一个，每次取到某物的概率是不同的. 【例1】 袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． 【解析】 (1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数X的可能取值为0,1,2，其中每次抽取到黑球的概率均为，所以2次取球可以看成2次独立重复试验，则X～B，可得 P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数Y的可能取值为0,1,2，可得 P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 P 二项分布与超几何分布的区别二： 1、把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先从总体抽出样本，再从样本抽取对象”的题干信息. 2、从样本中抽取是超几何分布；在未给出或给出数较大的总体中抽取检测一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”。 【例2】 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率． （1）现在从该地区电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望． （2）用分层抽样的方法从这名观众中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列． 【解析】（1）“体育迷”对应的频率为：， 用频率估计概率，可知从该地区电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则；所有可能的取值为， ； ； ； ； 的分布列为： 数学期望. （2）根据分层抽样原则知：抽取的人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为， ；；； 的分布列为： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网（北京）股份有限公司 1 二项分布与超几何分布的区别 二项分布与超几何分布的区别一： 1、超几何分布描述从 N 个物件（其中有 M 个指定物件）中抽出 n 个物件；二项分布描述 n 次独 立重复试验。 2、超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复). 3、看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定 考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据；而超几何分布不放回抽样时取出一个则总体 中就少一个，每次取到某物的概率是不同的. 【例 1】 袋中有 6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取 2次，每次取 1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为 X，求 X 的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 Y，求 Y 的分布列． 【解析】 (1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数 X 的可能取值为 0,1,2，其中每次抽取到黑球 的概率均为 1 3 ，所以 2次取球可以看成 2次独立重复试验，则 X～B 12, 3       ，可得 P(X＝0)＝ 0 2 0 2 1 1 41 3 3 9 C             ， P(X＝1)＝ 1 1 1 2 1 1 41 3 3 9 C             ， P(X＝2)＝ 2 0 2 2 1 1 11 3 3 9 C             ， 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 4 9 4 9 1 9 (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数 Y 的可能取值为 0,1,2，可得 P(Y＝0)＝C 26 C29 ＝ 5 12 ， P(Y＝1)＝C 16C13 C29 ＝ 1 2 ， P(Y＝2)＝C 23 C29 ＝ 1 12 ， 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 5 12 1 2 1 12 学科网（北京）股份有限公司 2 二项分布与超几何分布的区别二： 1、把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先 从总体抽出样本，再从样本抽取对象”的题干信息. 2、从样本中抽取是超几何分布；在未给出或给出数较大的总体中抽取检测一般考查二项分布，此 时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”。 【例 2】 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收 视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘 制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看 该体育节目时间不低于 40分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查 所得到的频率视为概率． （1）现在从该地区电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名 观众中的“体育迷”人数为 X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列及数学期望． （2）用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名观众，再从抽取的抽取8名观众中随机抽取3名， Y 表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y 的分布列． 【解析】（1）“体育迷”对应的频率为：   10.02 0.005 10 0.25 4     ， 用频率估计概率，可知从该地区电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“体育迷”的概率为 1 4 ， 则 13, 4 X B       ； X 所有可能的取值为0,1,2,3，   3 0 3 3 270 C 4 64 P X          ；   2 1 3 1 3 271 C 4 4 64 P X          ；   2 2 3 1 3 92 C 4 4 64 P X          ；   3 3 3 1 13 C 4 64 P X         ； X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 数学期望   1 33 4 4 E X    . （2）根据分层抽样原则知：抽取的8人中，有“体育迷” 18 2 4   人，非“体育迷”体育迷 38 6 4   人，则Y 所有可能的取值为0,1, 2，   3 6 3 8 C 20 50 C 56 14 P Y     ；   2 1 6 2 3 8 C C 30 151 C 56 28 P Y     ；   1 2 6 2 3 8 C C 6 32 C 56 28 P Y     ； Y 的分布列为： Y 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 超几何分布与二项分布巩固练习（一） 1．某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 2．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 (1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； (2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 超几何分布与二项分布巩固练习（二） 1．为贯彻落实（全国青少年学生读书行动实施方案），某校持续开展“学习新思想、做好接班人”“典耀中华”“学科学、爱科学”等主题读书活动．为了解学生的主题读书活动情况，从全校学生3000名中抽取了部分学生的一周阅读时间x（单位：分钟）作为样本进行统计，数据从小到大依次分为五组：，，，，，得到下面的频率分布直方图（如图所示），其中第1组的频率的平方是第2组、第4组频率的乘积． (1)求a，b的值； (2)以频率估计概率，从全校学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为X，求X的概率分布． 2．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，,九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 超几何分布与二项分布巩固练习（一）参考答案 1．(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 2．(1) (2)①分布列见解析，；②乙型号 【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为， 按等级用分层抽样的方法抽取10件， 则抽取一级品为（件）， 记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则． （2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为， 二级品的概率为，三级品的概率为， 由题意，的所有可能的取值为， 所以， ， ，， 分布列如下表： 0 1 2 3 4 所以； ②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值：； 乙型号减排器的利润率的平均值：； ，又， 则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大． 超几何分布与二项分布巩固练习（二）参考答案 1．(1) (2)X的概率分布见解析 【分析】（1）根据频率的计算公式及其中第1组的频率的平方是第2组、第4组频率的乘积列方程求出，根据所有小长方形的面积和为1求出； （2）求出第3组的频率为，由题意得，根据二项分布的概率公式求解即可． 【详解】（1）因为其中第1组的频率的平方是第2组、第4组频率的乘积， 所以，解得， 又，解得． 所以， （2）第3组的频率为：， 以频率估计概率，从全校3000名学生中，随机抽取4名学生对其阅读兴趣做进一步调研，设抽到第三组的学生数为，则， ， ， ， ， ， 故的概率分布如下 0 1 2 3 4 2．(1)分布列见解析，期望为 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图得: 解得 这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， 的分布列为: 0 1 2 3 则其期望为 （2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， 学科网（北京）股份有限公司 $$