6.2 一次函数与正比例函数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制）

鲁教版七年级上册数学 第六章 一次函数 2 一次函数与正比例函数 1 学习目标 1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点） 2.能根据条件求出一次函数的关系式．（难点） 2 情境&导入 情境&导入 1.一般地，如果在一个变化过程中有_____变量x 和y ，并且对于变量x 的______________，变量 y 都有________的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的_____.其中 x 是_______. 2.如果当x =a时，y=b，那么___称作当自变量的值为___时的函数值. 3.用关于____________表示_____之间的关系，这种关系叫做函数的解析式. 自变量的式子 变量 b a 函数 自变量 唯一确定 两个 每一个确定的值 3 探索&交流 一次函数与正比例函数 1— (2) 你能写出 y 与 x 之间的关系式吗？ y = 3 + 0.5x 某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克，弹簧长度 y 增加 0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg，4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 4 探索&交流 某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50km耗油6 L， 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 6 12 18 24 36 （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ 或 y＝0.12x 做一做 探索&交流 （3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ 或 y＝60－0.12x 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 6 12 18 24 36 6 探索&交流 上面的两个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=60－0.12x 若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.） 当b=0时，称y是x的正比例函数. 大家讨论一下,这三个函数关系式有什么关系? （3）y＝0.12x 探索&交流 1.判定一个函数是一次函数的条件： 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数. ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ③ b = 0. 典例精析 例1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ (1)y＝－2x2； (2)y＝；(3)y＝3x2－x(3x－2) ； (4) y=－ . 9 探索&交流 解：（1）因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数. （2）y＝＝x＋，k＝，b＝， 所以y＝是一次函数，但不是正比例函数. （3）因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0， 所以它是一次函数，也是正比例函数. （4）因为 y=－ 中， － 不是整式，所以它不是一次函数 . 典例精析 例2.写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的一次函数,也是x的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 11 探索&交流 解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而 y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 典例精析 例3.已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8). (1)当m，n为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当x＝1 时的函数值. 13 探索&交流 解：由题意，得n2－4＝0，m－2＝1，2n－4 ≠ 0. 所以m＝3，n＝－2. 所以当m＝3，n＝－2 时，函数是一次函数. 由(1)得一次函数关系式为y＝－8x＋7. 当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1. 随堂练习 练习&巩固 1. 下列函数中，y是x的一次函数的是( ) A. y＝－3x＋5 B. y＝－3x2 C. y＝ D. y＝π A 15 练习&巩固 2.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值； 解：根据题意，得m2-9=0, 解得m=±3， 但m-3≠0,即m≠3, 所以m=-3. 练习&巩固 3. 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3． (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求 x＝3 时，y 的值． ∴ y＝3x－9， y 是 x 的一次函数． y＝3×3 - 9＝ 0． 解：(1) 设 y＝k(x－3)， 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， 解得 k＝3. (2) 当 x＝3 时， ∴ y＝3(x－3). 17 课堂总结 一次函数定义：若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。（x为自变量，y为因变量。 特别地，当b=0时，一次函数y=kx(常数K≠0）， 也叫做正比例函数 18 $$