第05讲 一次方程（组）及其应用（课件）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第二章 方程与不等式 第05讲一次方程（组）及其应用 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 5大考点精讲+专训 3大中考命题点+15大题型探究 目录 01 考情透视·目标导航 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 04 题型精研·考向洞悉 01 考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 一元一次方程及其解法 二元一次方程及其解法 一次方程（组）的应用 ★★ ★★ 掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 掌握消元法，能解二元一次方程组； *能解简单的三元一次方程组； 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程 【考情分析1】一元一次方程属于初中的基础内容，试题形式多样，难度不大，主要以解决实际问题为考查背景，多出现在销售、行程、工程等问题中，确定题目中的等量关系，正确地列出方程是解题的关键.此外，准确的计算能力也是得分所必不可少的技能. ★★ 【考情分析2】中考对二元一次方程组的考查包括解方程组和利用二元一次方程组解决实际问题，其关键是“消元”思想，即将“二元”转化为“一元”，这也体现在用二元一次方程组可解决的问题用一元一次方程也可以解决，考查形式多样，难度不大，多以解决实际问题为出题背景. 3 02 知识导图·思维引航 03 考点突破·考法探究 二元一次方程（组）基础 考点三 解一元一次方程 考点二 一元一次方程基础 考点一 一元一次方程基础 解二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）及其应用 考点五 一元一次方程基础 考点一 1.一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念 只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式 ax + b=0（a、b是常数，且a≠0）. 解方程 求方程的解得过程叫做解方程. 易错易混 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 1） 3） 2） 方程的解是通过解方程求得的. 方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 6 一元一次方程基础 考点一 2.等式的性质 等式的性质1 01 等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式. 等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，则b=a （对称性） 如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2 02 等式的性质3 03 等式的性质4 04 如果 a=b(c≠0)，那么 = 即： 如果a=b，那么ac = bc； 易错易混 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 一元一次方程基础 考点一 针对练习 1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 2．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2 A C B 8 03 考点突破·考法探究 二元一次方程（组）基础 考点三 解一元一次方程 考点二 一元一次方程基础 考点一 解一元一次方程 解二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）及其应用 考点五 解一元一次方程 考点二 解一元一次方程的步骤 基本思路： 通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为 x = . 步骤 具体做法 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 以上解题步骤中，开始出错的一步是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方 程 的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解一元一次方程 考点二 针对练习 1．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 解得． A B 去括号，得 ，……第二步 解一元一次方程 考点二 针对练习 3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 4.（2024·陕西西安·模拟预测）解方程： 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 12 03 考点突破·考法探究 二元一次方程（组）基础 考点三 解一元一次方程 考点二 一元一次方程基础 考点一 二元一次方程（组）基础 解二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）及其应用 考点五 二元一次方程（组）基础 考点三 1.二元一次方程 二元一次方程概念 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 其中： a1,a2不同时为0, b1,b2不同时为0 二元一次方程的三要素 2.二元一次方程组 二元一次方程组的概念 方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组 二元一次方程组一般形式： 二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 01 有且只有两个未知数 02 含有未知数的项的次数为1； 03 方程两边都是整式 二元一次方程（组）基础 考点三 2.二元一次方程组 易错易混 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 二元一次方程（组）基础 考点三 针对练习 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（     ） A. B. C． D. A 2．（2020·湖南益阳·中考真题）同时满足二元一次方程和的，的值为（ ） A. B. C． D. 【解析】 有题意得： 由①得x=9+y③ 将③代入②得： 36+4y+3y=1， 解得y=-5 ∴ x=9+（-5）=4 A ∴x=4，y=-5． 3.（2022·四川雅安·中考真题）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ． 二元一次方程（组）基础 考点三 针对练习 由题意可得， 【解析】 ∴2a+4b﹣5 整体代入求值 1 4.（2021·四川广安·中考真题）若、满足 则代数式的值为 ． 【解析】 利用平方差公式分解 ∵x-2y=-2，x+2y=3， ∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y） =3×（-2） =-6， -6 03 考点突破·考法探究 二元一次方程（组）基础 考点三 解一元一次方程 考点二 一元一次方程基础 考点一 解二元一次方程（组） 解二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）及其应用 考点五 解二元一次方程（组） 考点四 1.代入消元法 定 义 把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 2 【代入】 3 【解元】 从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 易错易混 1 【变形】 4 【求值】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数的值比较简单 19 解二元一次方程（组） 考点四 2.加减消元法 定 义 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 2 【加减】 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 3 【解元】 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数 1 【变形】 将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 4 【求值】 解二元一次方程（组） 考点四 针对练习 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 方法指导 中的x 、 y值满足方程组 D 代入消元法 2．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 方法指导 设●、■、▲分别为x，y，z 用y分别表示出x和z ∴ A 21 解二元一次方程（组） 考点四 针对练习 3．（2023·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组 的解满足，写出的一个整数值 ． 7 （答案不唯一） 【解析】 将两个方程相减得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的整数部为5 ∴a可以取大于5的任意整数，例如7． 03 考点突破·考法探究 二元一次方程（组）基础 考点三 解一元一次方程 考点二 一元一次方程基础 考点一 一次方程（组）及其应用 解二元一次方程（组） 考点四 一次方程（组）及其应用 考点五 一次方程（组）及其应用 考点五 解决实际问题的一般步骤 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 1．（2024·四川·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（    ） A． B． C． D． 一次方程（组）及其应用 考点五 针对练习 A 2．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【解析】 设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得 ， 解得， ， 25 一次方程（组）及其应用 考点五 针对练习 3．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【解析】 设甲有钱x枚，乙有钱y枚， 甲得乙十钱，多乙余钱五倍 乙得甲十钱，适等 等量关系： ∴由题意，得 解这个方程组得 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 04 题型精研·考向洞悉 等式的性质 题型01 一元一次方程（组）的相关概念 命题点一 一元一次方程的相关概念 题型02 二元一次方程的相关概念 题型03 27 【例1】 （2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【解析】 命题点一 一元一次方程（组）的相关念 ►题型01等式的性质 BD 方法指导 解题的关键： ٭熟记等式的性质 等式的性质1： 等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立； 等式的性质2： 等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立 A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得，故本选项符合题意 命题点一 一元一次方程（组）的相关念 ►题型01等式的性质 【例2】 （2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 C A、由5，得， 原变形不正确，故此选项不符合题意； B、由，得， 原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得， 原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得， 原变形错误，故此选项不符合题意． 【解析】 解题的关键： ٭熟记等式的性质 29 命题点一 一元一次方程（组）的相关念 ►题型01等式的性质 1．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 A 2．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． C 命题点一 一元一次方程（组）的相关念 ►题型02 一元一次方程的相关概念 【例1】 （2021·贵州·一模）已知关于的方程是一元一次方程， 则方程的解为（    ） A．-2 B．2 C．-6 D．-1 D 方法指导 解题的关键： ٭掌握一元一次方程的定义 ∵方程是关于x的一元一次方程， 解得：k=-2， 方程为-4x=-2+6， 解得：x=-1， 解： 1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D．和 2．（2024·广西河池·三模）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 命题点一 一元一次方程（组）的相关念 ►题型02 一元一次方程的相关概念 3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）当______时，关于的方程是一元一次方程； B C 由一元一次方程定义可知 ∴， ∴， 命题点一 一元一次方程（组）的相关念 ►题型03 二元一次方程的相关概念 【例1】（2021·四川凉山·中考真题）已知 是方程的解，则a的值为 ． -1 方法指导 解题的关键： ٭理解什么是二元一次方程的解 根据题意，将x=1，y=3代入方程， 得：， 解得：a=-1， 解： 【例2】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为 的二元一次方程组 ． （答案不唯一） 命题点一 一元一次方程（组）的相关念 ►题型03 二元一次方程的相关概念 1．（2024·河南·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程的一个解是 ，则a的值为 。 3 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解 ． （答案不唯一） 方程的解 即为能使方程左右两边相等的未知数的值 04 题型精研·考向洞悉 一元一次方程的解法 题型01 解一元一次方程（组） 命题点二 代入法解二元一次方程组 题型02 加减法解二元一次方程组 题型03 整体法解二元一次方程组 题型04 解二元一次方程组--同解方程组 题型05 解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型06 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 题型07 35 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型01 一元一次方程的解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【例1】 （2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型01 一元一次方程的解法 由题意得：， 解得：． 由， 解得：， 关于的方程的解比方程的解大5， ， 解得， ， ， 这两个方程的解为和． 方法指导 解题的关键： ٭方程的解的定义 ٭用m表示x 解： 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型01 一元一次方程的解法 1．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·模拟预测）点在函数的图象上，则 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算： ，若，则 ． A 0 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型02 代入法解二元一次方程组 【例1】 （2022·辽宁沈阳·中考真题）二元一次方程组 的解是 ． 方法指导 解题的关键： ٭熟练掌握代入法解二元一次方程组代入元的选择 解： 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得： ； ∴原方程组的解为 ②号方程y已经用x的代数式表示，所以可以直接带入 39 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型02 代入法解二元一次方程组 1．（2024·甘肃武威·二模） 已知， 则 ． 解：∵ ∴ 解得： ∴， 2．（2024·四川绵阳·三模） 如果方程组 的解也是方程的一个解，则的值为 ． 解： 把②代入①得， ， 解得，， 把代入②得， ， ∴ 把代入 得 ， 解得， 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型03 加减法解二元一次方程组 【例1】 （2023·湖南常德·中考真题） 解方程组： 方法指导 解：将①得： ③ 得： 将代入①得： ∴原方程组的解 号方程x可用y的代数式表示，再带入②，消去x 加减消元法 解题的关键： ٭熟练掌握消元的思想 ٭加减消元法消去一个未知数． 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型03 加减法解二元一次方程组 【例2】 （2023·内蒙古通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组 则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 方法指导 解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴点Q的横坐标为5， ∵ ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， 由得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， 解题的关键： ٭熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标 42 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型04 整体法解二元一次方程组 当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组 解题方法 【例1】 （2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 则关于x，y的方程组 的解为（     ） A． B． C． D． A 解： ∵关于x，y的方程组 的解为 ∴的解为 ∴ 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型04 整体法解二元一次方程组 （2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设， 则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组 的解 是 则方程组 的解是 ． ， 方法指导 解题的关键： ٭先求(x+2)、(y-1)的解，再求x、y的值． （1）解：依题意， 设， （2）解：依题意 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型05解二元一次方程组--同解方程组 若方程组解相同，则联立两个不含参数的方程，解得x，y的值，再代入含参数的方程组，即可求出参数的取值. 解题方法 【例1】 （2020·广东·中考真题）已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 解：由题意列方程组： 解得 （2） 解得 这个三角形是等腰直角三角形 理由如下： ∵ ∴该三角形是等腰直角三角形． 将，分别代入 和 解得， ∴， 45 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型05解二元一次方程组--同解方程组 （2024·广东江门·一模）已知方程组 与 有相同的解．(1)求m和n值，(2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 方法指导 解题的关键： ٭熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值 ٭勾股定理的逆定理 （1）解：由方程组 得： ∵与 有相同的解 ∴方程组 的解为 ∴ 解得： 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型05解二元一次方程组--同解方程组 （2024·广东江门·一模）已知方程组 与 有相同的解．(1)求m和n值，(2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为5，求的面积． 方法指导 解题的关键： ٭熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值 ٭勾股定理的逆定理 ， 解得：，， ∴的两边长分别为3，4， ∵第三边的长为5， 又∵， ∴为直角三角形， ∴． （2）解：把 代入关于x的一元二次方程 得： 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组解的情况求参数 正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中，从而求出参数值 解题方法 【例1】 （2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组 的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 D 解法一： 得， 解得， 将代入， 解得， ， ， 得到 ， 解法二： 得：， 即：， ∵， ∴， ， 1．（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组 的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． A 把两个方程相减，可得， 根据题意得：， 解得：． 【解析】 2.（2024·山东济宁·一模）已知为整数，关于，的二元一次方程组 的解满足，则整数值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 D 【解析】 ①②得：， ， 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组解的情况求参数 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 【例1】 （2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 方法指导 解题的关键： ٭（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断 ٭（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解 去分母漏乘 （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 【例2】 （2024·江西吉安·二模）解方程组 ，下面是两同学的解答过程： 小春： 解：将方程变形为． 小冬： 解：将方程两边同乘2，得到，再与另一个方程相加，得到． (1)小春解法的依据是______，运用的方法是______； 小冬解法的依据是______，运用的方法是______．（填序号） ①等式的性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法． (2)请选择你认为更简捷的解法，完成解答过程． ① ④ ② ⑤ 代入消元法 加减消元法 （2）将方程两边同乘2， 得到， 再与另一个方程相加， 得， 解得． 将代入方程， 得， 原方程组的解为 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 1．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 解：最早出现错误的步骤是， 正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化，得 ． 方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母 命题点二 解一元一次方程（组） ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组) 04 题型精研·考向洞悉 列一元一次方程组 题型01 一元一次方程（组）的应用 命题点三 一元一次方程的应用 题型02 二元一次方程组的应用 题型03 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用 题型04 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 题型05 53 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型01 列一元一次方程组 【例1】 （2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． A 增长率问题 方法指导 等量关系 （1+增长率）×原来的量=增长后的量 （1+4.7%）×去年第一季度社会消费品零售总额=第一季度社会消费品零售总额 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型01 列一元一次方程组 方法指导 【例2】 （2024·湖北·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． A 解题的关键： ٭由实际问题抽象出二元一次方程组 ٭（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组 等量关系 情景一 情景二 牛 羊 总计 5x 2y 5x+2y 2x 5y 2x+5y 牛5头+羊2头=10两 牛2头+羊5头=8两 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型01 列一元一次方程组 1.（2023·吉林·中考真题）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ． 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23，则 2.（2022·贵州贵阳·中考真题）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 表示的方程是 ． x+2y=32 【解析】 x+4y = 23 x +2y = 32 x 4y 23 x 2y 32 解题的关键： ٭工作量=工作时间×工作效率 ٭（2）找准等量关系，正确列出一次方程组 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型02 一元一次方程的应用 【例1】 （2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ (1)求甲池的排水速度． 工作量问题 方法指导 （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 总水量 排走的水 剩余水 甲池 乙池 （1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得， ， 解得：， 答：甲池的排水速度为； 甲池剩余水量=乙池剩余水量的2倍 等量关系 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型02 一元一次方程的应用 解法一：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为， 则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． （2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 解法二：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为 B 类物质排放量为 解方程 ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 一题两解 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型03 二元一次方程组的应用 【例1】 （2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成． (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 解题的关键： ٭正确用代数式表示长方形的长与宽 ٭（2）长方形的两组对边分别相等列出方程组 方法指导 （1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为． 依题意得： 解得 答：一块长方形墙砖的长为，宽为． （2）电视背景墙的面积为： ． 答：电视背景墙的面积为． 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型03 二元一次方程组的应用 【例2】 （2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本，根据题意可得： 解得： 则购置笔记本金额为： 35×5=175元 购置钢笔金额为： 15×15=225元 答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元 60 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型03 二元一次方程组的应用 （2023·安徽·中考真题）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元，已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元 调整前（元） 调整后（元） 甲地 乙地 等量关系 甲地调整前单价+元=乙地调整前单价 甲地调整后单价+1=乙地调整后单价 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用 【例1】 （2024·陕西西安·模拟预测）在进行氯化钠溶液配置实验中，小明配置了一瓶质量分数为20%的氯化钠溶液，小兰配置了一瓶质 量分数为25%的氯化钠溶液，两人用已配制好的溶液混合恰好得到质量分数为22%的氯化钠溶液，已知小明配置的溶液质量比小兰配置的溶液质量多7克，求两人配置的氯化钠溶液质量各有多少克？（提示：氯化钠质量=氯化钠溶液质量×质量分数） 解：设小兰配置的氯化钠溶液质量为克，则小明配置的溶液质量为克，依题意， 解得：， ∴克． 答：小兰配置的氯化钠溶液质量为克，小明配置的溶液质量为克． 解题的关键： ٭（1）正确理解提示 ٭（2）确定等量关系 方法指导 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用 1．（2024·辽宁·模拟预测）数学课外活动小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是500g．若OA=15cm，OB=30cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．若轻质木杆的质量忽略不计，设这个重物的质量为xg，根据题意可列方程为（    ） A．15x=30×500×3 B．30x=15×500×3 C．3×15x=30×500 D．3×30x=15×500 A 重物的质量的长度个钩码的质量的长度 等量关系 杠杆原理 2．（2024·山西晋中·三模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．某野外作业人员，因工作需要，用橇棍撬动一块2000N的大石头，经过分析后，撬棍的阻力臂是动力臂的14则所需要的动力至少为 N． 500 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 【例1】 （2024·云南昆明·三模）今年的澜沧江一湄公河合作大理马拉松（简称“2024澜湄大理马拉松”），将于5月19日在美丽的云南大理开跑，这是一场结合了自然风光、历史文化和民族风情的国际性马拉松赛事，旨在促进澜湄流域国家的合作与交流．以下是本次马拉松赛事的一些信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42.159千米 200元/人 半程马拉松 21.0975千米 150元/人 欢乐跑 5.2千米 80元/人 亲子跑 2千米 60元/人 (1)据了解，某中学有若干名同学报名参加了本次活动欢乐跑和亲子跑中的一个项目，他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米．请求出该中学报了欢乐跑和亲子跑的同学各有几人？ （1）解：设该中学有x名同学报了欢乐跑，有y名同学报了亲子跑，由题意可列方程组为 解得 答：该中学有5名同学报了欢乐跑，有4名同学报了亲子跑． 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 (2)已知在跑马拉松过程中，人体内消耗的水分y（单位：）与运动距离x（单位：）之间的函数关系如图所示，其中． ①请求出y与x之间的函数关系式； ②为了避免身体出现脱水现象，一般情况下体内消耗水分达时就要适当补水分，求起跑后距离起点多少千米时需要第一次补水？ （2）①由题图知，当时， 设函数关系式为， 则，，即； 当时，设函数关系式为 ， ∴ 解得 即． 与x之间的函数关系式为 = ②令， 则， 解得． 答：起跑后距离起点9.5千米时需要第一次补水． 命题点三一元一次方程（组）的应用 ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 1．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得 解得 答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元． （2）解：设购买B款纪念品a个， 则购买A款纪念品个， 由题意得， ， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品30个． (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 2.（2024·安徽合肥·二模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功，有两个旅游团去某航天科技馆参观，第一个旅游团有15名成人和10名儿童，共花费门票850元；第二个旅游团有40名成人和50名儿童，由于人数较多，成人票打八折，儿童票打六折，共花费2030元．求成人票和儿童票每张原价多少元？ 命题点三 一元一次方程（组）的应用 ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用 解：设成人票每张原价x元，儿童票每张原价y元，由题意得 解得 答：成人票每张原价40元，儿童票每张原价25元． 谢谢 聆听 2025年中考 一轮复习讲练测 数学 $$