第12章 概率统计（模块1统计）讲义——2025届高三数学一轮复习

第 12 章 概率统计 模块1 统计 §第1 节 抽样 一、内容提要 高中数学中需掌握的抽样方法有简单随机抽样、分层随机抽样两种. 1. 简单随机抽样：简单随机抽样常用抽签法、随机数法来实现，它有方法简单、直观等特点，是一种基本的抽样方法. 但当总体很大时，操作起来不方便，且简单随机抽样没有利用其它辅助信息，估计效率往往不高. 2. 分层随机抽样：在个体差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，且分层随机抽样除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计. 3. 两种抽样估计总体平均数的方法 ①简单随机抽样：从总体中用简单随机抽样抽取一个容量为 n的样本，它们的变量值分别为,则称 为样本均值，又称样本平均数，我们常用样本平均数y去估计总体平均数. ②分层随机抽样：核心方法是用样本中各层的平均数估计总体中各层的平均数. 以将总体分2层为例，设第1层各个个体的变量值分别为 从第1层中抽取的样本的变量值分别为. 则可用第 1层的样本平均数 来估计第1层的总体平均数 同理，设第2 层的各个个体的变量值分别为从第2 层中抽取的样本的变量值分别为 则可用第2层的样本平均数 来估计第2层的总体平均数 所以总体的平均数的估计值为 在按比例分配的分层随机抽样中， 所以 从而 其中 即为总样本平均数，故可直接用总样本平均数估计总体平均数. 二、考点题型 类型 Ⅰ ：抽样方法的选择 【例1】现要完成下列两项抽样调查：①从20盒饼干中抽取4盒进行食品卫生检查； ②某中学有360名教职工，其中一般教师280名，行政人员55名，后勤人员25名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个样本量为72的样本； 较为合理的抽样方法是( ) A. ①简单随机抽样，②分层抽样 B. ①简单随机抽样，②简单随机抽样 C. ①分层抽样，②分层抽样 D. ①分层抽样，②简单随机抽样 【例2】某班有男生20人，女生30人，从中抽取10人为样本，恰好抽到了4名男生和6名女生，则下列说法正确的是( ) A. 该抽样可能是比例分配的分层随机抽样 B. 该抽样必定是比例分配的分层随机抽样 C. 该抽样一定不是用随机数法 D. 该抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 类型Ⅱ：分层随机抽样中抽取个数的计算 【例3】一支田径队有运动员98人，其中男运动员56人，按男女比例用分层随机抽样，从全体运动员中抽取一个样本量为42的样本，那么应抽取女运动员的人数是 . 【变式1】为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进新疆教育事业发展，要从甲、乙、丙三个城市选取300名教师支援新疆的教育事业. 已知乙城市教师人数有18600人，丙城市教师人数有41400人，若用按比例分配的分层随机抽样方法，甲城市需要选派100人，那么甲城市总共的教师人数为( ) A. 10000 B. 20000 C. 24000 D. 30000 【变式2】某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生的课外锻炼情况，用按比例分配的分层随机抽样方法从学生中抽取一个样本量为n的样本，已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n=( ) A. 48 B. 72 C. 60 D. 120 【总结】在按比例分配的分层随机抽样中，涉及抽取个数的有关计算问题，往往抓住各层的抽取率相等且等于总体的抽取率来建立方程并求解. 类型Ⅲ：总体平均数的估计 【例4】(多选) 现有同类型的A,B两种产品1000件,其中A产品400件, B产品600 件,为了调查这1000件产品的质量指标值，用分层随机抽样的方法得到了一个样本，样本中A产品和B产品质量指标值的平均数分别为84和90，则下列说法正确的是( ) A. 若是按比例分配分层抽取，且样本量是 100，则A产品抽取了40件 B. 若是按比例分配分层抽取，则可估计 1000件产品的质量指标值为87.6 C. 若A，B产品分别抽取了20件和80件，则可估计1000件产品的质量指标值为88.8 D. 若A，B产品分别抽取了20件和80件，则可估计1000件产品的质量指标值为87.6 【总结】对于分层随机抽样，若是按比例抽取，则可用总样本的平均数估计总体的平均数； 若不是按比例抽取，则常用样本中各层的平均数来估计总体中各层的平均数，再计算总体的平均数. §第2节 用样本估计总体 一、内容提要 本节包含总体取值规律的估计，总体百分位数的估计，总体集中趋势估计，总体离散程度估计等内容，下面先把涉及到的一些基础知识进行梳理. 1. 频率分布直方图：每个小矩形的面积表示数据落在该组的频率，各小矩形的面积之和为1. 2. 百分位数：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值，其计算步骤为： ①按从小到大排列原始数据； ②计算, 其中n为样本量; ③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项和第i+1项数据的平均数. 3. 平均数：可反映数据的集中趋势. ①一组数据的平均数 ②由频率分布直方图估计样本平均数，常用每组区间中点值代表落在该区间的数据，若设各组区间中点为,对应各组的频率为，则可估计样本平均数 4. 中位数：可反映数据的集中趋势. ①对于从小到大排列的一组数据，若数据个数为奇数，则中位数为最中间的一个数据； 若数据个数为偶数，则中位数为中间两个数据的平均数. ②由频率分布直方图估计样本中位数，应在横轴上找到一个数，使其左右两侧频率各占0.5. 5. 众数：可反映数据的集中趋势. ①一组数据中出现次数最多的数据即为该组数据的众数，若有几个数据出现次数一样多，且都比其它数据多，则它们都是众数. ②由频率分布直方图估计样本众数，取最高的小矩形区间中点即可. 6. 极差：一组数据的最大值与最小值之差，它可以一定程度反映数据的离散程度. 7. 方差、标准差：刻画数据的离散程度. 方差、标准差越大，数据越分散，反之越集中. ①一组数据. 的方差 方差公式的两种形式都需掌握，计算或证明时都可能用到. 方差的算数平方根s即为标准差. 若数据 有重复，设其不重复的值为 对应的数据个数依次为 则 ②由频率分布直方图估计样本方差，常用每组区间中点值代表落在该区间的数据，若设各组区间中点为 对应各组的频率为. 则可估计样本方差 ③方差、标准差的性质：设数据 的平均数为 方差为 则数据 2,…,n)的平均数 方差 (后面有证明)，标准差 证明： . 二、考点题型 类型Ⅰ：由频率分布直方图计算频率、频数 【例1】某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动. 为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数(千步为单位)，并将样本数据分为[3，5)，[5,7), [7,9), ..., [17,19), [19,21]九组, 整理得到如图所示的频率分布直方图, 则当天这1000名会员中步数少于11千步的人数为( ) A. 100 B. 200 C. 260 D. 300 【变式】如图是一学校期末考试中某班物理成绩的频率分布直方图，数据的分组依次为[40，50)，[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], 若成绩不低于70分的人数比成绩低于 70分的人数多4人，则a= ；该班的学生人数为 . 【总结】在频率分布直方图中，需注意三点：①某个小矩形的面积代表数据落在该组的频率；②小矩形的面积之和为1； ③计算频数用频率x样本量. 类型Ⅱ：百分位数的计算 【例2】如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温(单位：°C)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第40 百分位数是( ) A. 2℃ 【变式1】某学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩(单位：分)分别是58，67，73，74, 76, 82, 82, 87, 90, 92, 93, 98, 则这12名学生成绩的第70百分位数是 . 【变式2】凯里市被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成6段: [40,50), [50,60), …, [90,100], 得到如图所示的频率分布直方图，则a= ； 由图可估计知识竞赛的第80百分位数为 . 【总结】①给出 n个数据，让求第p百分位数，先将数据按从小到大的顺序排列，再计算 ，若i为整数，则取第i个和第i+1个数据的平均值作为第p 百分位数，若i不是整数，而比i 大的最小整数为j，则取第j个数据为第p百分位数；②由频率分布直方图估计第p百分位数，只需在频率分布直方图中找到左侧小矩形面积和为的位置即可. 类型Ⅲ：平均数、中位数、众数的计算 【例3】甲、乙两位同学本学期前8周的各周课外阅读时长的条形统计图如图所示. 则下列结论正确的是( ) A. 甲同学周课外阅读时长的样本众数为8 B. 甲同学周课外阅读时长的样本中位数是 5.5 C. 乙同学周课外阅读时长的样本平均数是 7.5 D. 乙同学周课外阅读时长大于 8的概率的估计值大于 0.4 【反思】一组数据的众数是出现次数最多的数据，若有多个数据出现次数一样多，且都比其它数据多，那它们都是众数. 【例4】非物质文化遗产(简称“非遗”) 是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志. 随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天. 为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频的粉丝,记录他们的年龄,将数据分成6组:[10,20),[20,30),…,[50,60),[60,70],并整理得到如下的频率分布直方图： (1) 求a的值; (2)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数m，若中位数的估计值为n，比较m与n的大小关系. 【反思】由频率分布直方图估计样本数据的中位数，就是在频率分布直方图的横轴上找一个数，使不超过该数的频率和为0.5，求解时应先判断中位数位于哪一组，再列方程计算. 类型Ⅳ：方差、标准差的计算与分析 【例5】某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则( ) A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70% B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【变式】已知一组数据为: 4, 1, 2, 5, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 则这组数据的方差为 ; 标准差为 . 【例6】(多选) 第一组数据：, 由这组数据得到第二组数据: 其中 )且a，b为正数，则下列命题正确的是( ) A. 当a=1时，两组数据的平均数不相同 B. 第二组数据的极差是第一组的a倍 C. 第二组数据的方差是第一组的a倍 D. 第二组数据的标准差是第一组的a倍 【反思】若数据(i=1,2,…,n)的标准差为s, 则数据的标准差为|a|s，方差为. 【变式】已知一组数据的平均数为4，方差为2，则由 和11这四个数据组成的新数据组的方差是 . 【反思】对于添项或减项的新数据组方差计算问题,常用 来对比新旧方差更方便. 需注意,用此公式的前提是 已知或好求,否则只能采用基本公式 【例7】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示. (1) 补全频率分布直方图； (2)若同一组数据用该组区间的中点值作代表，试估计这种产品质量指标值的平均数和方差s². 【反思】在频率分布直方图中，设第i组的区间中点为，频率为，其中i=1，2，…，n，若每组数据用区间中点值作代表，则样本平均数样本方差 【变式】为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高(单位: cm) 按照区间[160,165), [165,170), [170,175), [175,180), [180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示. (1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数； (2)统计过程中,小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29，之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm，试根据上述数据求样本的方差. 学科网（北京）股份有限公司 $$