第11章 模块2二项式定理讲义——2025届高三数学一轮复习

模块2 二项式定理 §第1节 求展开式中某项的系数 一、内容提要 用二项式定理求展开式中某项的系数是高考中比较常见的一类题，这类题又可细分为下面的几种情形： 1. 求二项展开式中某项的系数：直接写出通项，加以分析即可. 2. 求两个二项式乘积的展开式中某项的系数：若其中一项的次数较低，则可用乘法分配律拆开，再分别考虑； 若两项次数都较高，例如，让求 的展开式中含 项的系数，则可写出各自的展开通项 和 并把它们相乘，得到 这就是整体展开的通项，再分析r和k如何取值，能使9-r-k=3即可，把各种可能的r，k的值代入 求和即得展开式中的含 项. 3. 求三项展开式中某项的系数：若三项式可变形为二项式，则转化为上面的第1种情形处理即可； 若不能化为二项式，则类比二项式的展开原理，直接分析如何安排三项中的每一项取几个可得到让求系数的目标项. 二、考点题型 类型Ⅰ：求二项展开式中某项的系数 【例1】在 的展开式中，含 项的系数为 . 【变式】的展开式中的常数项为 . 【总结】求二项展开式中的某一项或某一项的系数，可先写出通项，再根据要求的项的特征，对x的指数部分赋值，求出 r，反代回通项即可. 类型Ⅱ：求两项乘积的展开式中某项的系数 【例2】 的展开式中 的系数为 .(用数字作答) 【变式】在 的展开式中，含项的系数是 .(用数字作答) 【总结】求两项相乘的展开式中某项的系数，若其中一项次数低，则可用乘法分配律拆开成几个二项式相加，分别计算目标项的系数后求和即可； 若不便于拆开，则写出两项各自的展开通项，并相乘分析. 类型Ⅲ：求三项展开式中某项或某项的系数 【例】的展开式中的常数项为( ) A. 20 B. -20 C. -12 D. -8 【变式】 的展开式中x的系数为 .(用数字作答) 【总结】对于三项式 若x+y+z是某式的完全平方，则可化为二项式来分析； 否则，可类比二项式的展开原理，分析x，y，z各取几个可以得到目标项，这种是三项式展开问题的通法. 类型Ⅳ：非标准形式的二项式展开 【例4】已知 则 ( ) A. 192 B. 448 C. -192 D. -448 【反思】请注意， 我们熟悉的二项式展开形式是 若后面乘的不是，而是像 这类结构，则常使用换元法将其化为我们熟悉的二项展开式分析. §第2节 二项式系数与系数 一、内容提要 本节主要涉及二项式系数与系数的有关问题，下面先梳理相关考点. 1. 二项式系数：我们把二项式定理中的 叫做二项式系数，它有如下性质. ①对称性： ②单调性：在二项式系数中，越靠近中间的越大，越靠近两边的越小. 当n为偶数时，最中间的一项最大； 当n为奇数时，最中间的两 和 相等，都最大. ③各二项式系数的和： 且 2. 系数和：系数和问题一般用赋值法处理，常取x=1来求系数和，若要求奇数项或偶数项的系数和，可再取x=-1，两式相加、 相减即可. 3. 系数最大项：求二项展开式的系数最大的项，一般设该项为 利用这一项的系数不小于前后相邻项的系数建立不等式组求k的范围，再结合k只能取整数得到k的值. 二、考点题型 类型Ⅰ ：二项式系数有关问题 【例1】二项式 的展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 【变式】若的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x³的系数为( ) A. -960 B. 960 C. 448 D. --448 【反思】二项式系数有中间大，两边小的特点. 若n=2k，则只有第k+1项的二项式系数最大； 若n=2k-1，则第k项和第k+1项的二项式系数都最大. 【例的展开式中所有二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为 ( ) A. 9 B. 15 C. 135 D. 540 【变式】已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中含 项的系数为 . 【总结】从上面两道题可以看出，二项式系数和奇数项、偶数项的二项式系数和 给出这类条件，就可由此求出n，再计算其它量. 类型Ⅱ：系数和问题 【例3】设 则 【变式1】已知a为常数，的展开式中各项的系数和为1，则展开式中的常数项为 . 【变式2】(多选) 已知 则下列结论中正确的有( ) A. 各项的二项式系数和为128 【总结】涉及系数和问题，考虑赋值法. 若是求展开式的系数和，令x=1即可； 若是求奇数项、偶数项的系数和，则可令x=1和x=-1，并将得到的两式相加、相减即可. 常见的赋值还有x=0等. 类型Ⅲ：系数的最大值问题 (此类型较难) 【例4】二项式 的展开式中，系数最大的项是 . 【总结】①求二项展开式的系数最大的项，一般设该项为 利用这一项的系数不小于前后相邻项的系数建立不等式组求k的范围，再结合k只能取整数得到k的值；②需注意，在某些求概率最值的难题中，由于概率表达式中也常涉及组合数结构，故也可能用上述方法分析最值. 例如，服从二项分布B(n，p)的随机变量 X，若要求X取何值的概率最大，就可设P(X=k)最大，由 来找k. 类型Ⅳ：余数类型 【例5】记 Sn为数列{}的前n项和，已知 (1) 求 {}的通项公式； (2)令 记数列 的前n项和为 Tn，试求 除以3的余数. 【反思】高中数学中遇到指数结构数据的余数问题，可考虑将数据合理地拆分，用二项式定理展开来分析. 学科网（北京）股份有限公司 $$