第11章模块1排列与组合讲义——2025届高三数学一轮复习

第11 章 计数原理 模块1 排列与组合 一、内容提要 本节归纳排列组合有关问题，下面先复习排列数、组合数的计算公式. ①排列数公式： 其中m, 且m≤n. ②组合数公式： 其中m,n∈且 另外，我们规定 排列组合问题种类繁多，有难有易，本节将梳理一些考试中常见的题型，每种题型都有自己的独特特征，处理方法也有一些差异，对它们进行归纳总结，是有必要的. 1. 考查两个计数原理的简单题型：相关考题属概念题，难度不高，解题的核心是分清楚何时分类，何时分步，做到分类标准清晰，分步层次清楚，不重不漏即可. 2. 特殊元素优先考虑：对有限制条件的排列组合问题，常先把那些有特殊要求的元素安排好，再排其它没有要求的元素. 3.元素相邻问题：若排列时，要求某些元素必须相邻，则可将必须相邻的元素捆绑在一起，看成一个元素，再与其它元素进行排列，但需注意捆绑的元素内部可交换顺序. 4. 元素不相邻问题：若排列时，要求某些元素不能相邻，则先把其它元素排好，再将不能相邻的元素插入到空位中即可. 5. 分组分派问题：把m个人安排到n(m>n)项工作，每人只安排一项工作，每项工作至少安排一人，这类问题常采用先分后排的方法处理，可先把m个人分成n组，再将n组人员派到n项工作. 6. 排数字问题：这类题可画出数位，往数位上依次填入数字即可. ①若供选择的数字中有0，则0不能排最高位，故常先用其它数字把最高位排了； ②若要求排出的数是奇数或偶数，则考虑最低位的数字为奇数数字或偶数数字； ③若要求排出的数字比某数大或比某数小，则先排最高位的数字，因为最高位对数的大小的影响最重. 7. 染色问题：这类问题常用“跳格分类”的方法处理，详见本节类型Ⅶ. 二、考点题型 类型Ⅰ ：两个计数原理的简单应用 【例1】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【变式1】一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人可自行决定，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有( ) A. 15种 B. 28种 C. 31种 D. 63种 【变式2】某学校开设4门球类运动课程，5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生要从中选2门不同类型的运动课程，则不同的选法有 种.(用数字作答) 【变式3】从5男3女共8名学生中选出班长1人，副班长1人，纪律委员1人，要求至少有1名女生入选，共有 种不同的选派方法.(用数字作答) 【反思】间接法是带限制条件的计数问题中常用的方法，分析时可先不考虑某限制条件，求出有几种方法，再计算不满足该限制条件的有几种方法，两者相减即得所求答案. 类型Ⅱ：特殊元素优先考虑 【例2】从某学习小组的8人中选2人分别担任组长和副组长，其中甲不能担任组长，则不同的选派方法共有 种.(用数字作答) 【变式】从某学习小组的8人中选2人分别担任组长和副组长，其中甲不能担任组长，乙不能担任副组长，则不同的选派方法有 种.(用数字作答) 【反思】站在不同的角度来分类，复杂度可能不一样，因此分析前应先做预判，尽可能选择标准清晰且种类数较少的分类方法. 【例3】2名男同学3名女同学排成一排照相，若最左边不是男同学，则不同的照相方法有 种.(用数字作答) 【变式】5名同学站成一排进行诗歌朗诵，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的站法有 种.(用数字作答) 【总结】在计数问题中，若某些元素有特殊要求，往往优先考虑这些有特殊要求的元素，再考虑其它元素. 类型Ⅲ：元素相邻-捆绑法 【例4】现有A, B, C, D, E五人要站成一排,若A, B必须相邻,则共有 种站法.(用数字作答) 【变式】 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( ) A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【总结】某些元素必须相邻的排列问题，可将必须相邻的元素捆绑在一起，看成一个元素，与其它元素进行排列，但需注意，捆在一起的元素内部可交换顺序. 类型Ⅳ：元素不相邻-插空法 【例5】某晚会有3个歌唱类节目，2个舞蹈类节目，要求2个舞蹈类节目不相邻，则不同的节目顺序有 种. 【变式】2022年11月30日，神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念. 假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有( )种. A. 72 B. 144 C. 36 D. 108 【总结】某些元素不能相邻的排列问题，可先将其它元素排好，再把不能相邻的这些元素插入空位中. 类型V：先分后派 【例6】将6本不同的书分成三份. (1) 若每份2本，则共有 种不同的分法； (2)若一份4本，其余两份都是1本，则共有 种不同的分法. 【总结】在不同元素的分组问题中，若有某些组的元素个数相同，则逐步选出每组元素后，必须消序. 例如，按3+3+2+2+2+1来分组，由于有两组都是3个元素，这两组要除以消序，有三组都是2个元素，这三要除以消序，其它情形以此类推. 【变式】将A，B，C，D，E，F六名医生安排到甲、乙、丙三所医院，若每个医院至少安排一名医生，每名医生只去一所医院，且医生A不去甲医院，则不同的安排方法有 种.(用数字作答) 【总结】诸如将m个人安排到n(m>n)项工作，且每人只安排一项工作，每项工作至少安排一人这类问题，考虑用先分后派的方法. 分组时需注意，若涉及某几组人数相同，则选出每组人员后，还必须消序. 类型Ⅵ：排数字问题 【例7】用数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6可以组成没有重复数字的四位数 个. 【变式1】用数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6可以组成没有重复数字的四位偶数 个. 【变式2】用数字0,1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的四位数,其中比3000大的有 个. 【总结】从上面的几道题可以看出，对于排数字问题，常画出数位，综合应用两个计数原理来分析每个数位该怎么填，需注意三点：①数字0不能排最高位；②若对奇偶有要求，则考虑最低位的数字的奇偶； ③若对数字的大小有要求，则常先排最高位的数字. 类型Ⅶ：染色问题 【例8】如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花可供选择，要求在每块里种1种花，相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 . 【反思】染色问题常采用“跳格分类”的方法处理，例如本题中A，C之间跳了一格，故可按A，C相同和A，C不同分类, 再来考虑 B, D. 学科网（北京）股份有限公司 $$