第10章模块6解析几何大题讲义——2025届高三数学一轮复习

模块6 解析几何大题 §第1节 解析几何大题条件翻译：长度与面积 一、内容提要 解析几何大题虽然以计算为主，但我们要学会合理地翻译各种题设条件，才能让计算变得更加有效、高效.我们将通过 4 节来学习各种常见条件的翻译方法，本节主要介绍长度、面积这两类条件的翻译. 1. 弦长的计算方法 ①设 )是直线l:上任意两点, 则 上述平面上两点间的距离公式是一切弦长公式的起点，其它计算方法都是由它演变而来的. 例如，将 代入上式，则可化为 所以当容易求出时，可按 计算; 当A，B是直线l与二次曲线(一般指圆、椭圆、双曲线、抛物线) 的两个交点时，常可联立 消去y，得到关于x的一元二次方程 则由韦达定理推论， 代入 可得 ②设 是直线 上任意两点，则 若容易求出，则可按 (推导方法与①相同) 计算； 当A，B是直线l与二次曲线的两个交点时，常可联立 消去x，得到关于y的一元二次方程 按 来计算. 2. 面积的计算：算面积常伴随着算弦长，我们分三角形和四边形来归纳面积的计算方法. ①对于三角形面积的计算，常见的方法有五种： 底×高，在题干没有特殊条件的情况下，常用此法算三角形的面积. 用“水平宽”或“铅垂高”算面积：如图1， 用两边及夹角:此法常用于内角已知的情况. 转化：当直接计算某三角形的面积不方便时，还可以考虑利用其它条件(如相似等)转化为其它容易求面积的三角形来算面积. 原点三角形面积公式：对于△AOB(其中O为原点)，若其它方法计算S△AOB不易，但A，B的坐标已知或容易求得，则还可以考虑按 来算面积. 需注意，此二级结论不宜直接使用，应先推导，推导方法请参考本节例3. 另外，当三角形没有顶点在原点时，也有类似的公式，我们可以通过平移三角形把其中一个顶点移到原点，再套上述公式. 以△ABC为例，把三个顶点的坐标同时减去A的坐标，就将A移到了原点，平移后 B，C的坐标分别等于AB，AC的坐标，假设 则 ②对于四边形面积的计算，常见的方法有两种： 特殊四边形，如上面图2，四边形ABCD 的对角线互相垂直，则 一般的四边形，可用一条对角线分割成两个三角形分别算面积. 二、考点题型 类型 Ⅰ：弦长的计算 【例1】已知椭圆 的离心率 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的角形的面积 ，过椭圆C的右焦点的动直线l与椭圆C交于A，B两点 (1)求椭圆C的方程； (2)若线段AB 的垂直平分线与x轴交于唯一的点D，弦AB 的中点为P， 求直线l的方程. 【反思】本题弦长的两种算法都用到了A，B是l与椭圆的两个交点且不知道坐标，所以用 求|AB|；而P 的纵坐标好求，D的纵坐标已知，故按 求. 【变式】已知椭圆E的离心率为 且过点 (1) 求椭圆E的方程； (2) 若斜率不为0的直线l与椭圆E交于点A，B，过点 的直线垂直平分线段AB，且交AB于点 M, |AM|=2|PM|, 求直线l的方程. 【反思】可以发现这题比例1计算更复杂，但本质思路大同小异，所以想做好圆锥曲线大题，除了学会翻译条件的常见思路，还得锻炼出强大的计算能力. 类型Ⅱ：面积的计算 【例2】已知椭圆 的离心率为 左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O 到直线AD的距离为 (1)求椭圆的方程； (2) 过点 的直线与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值. 【反思】本题解法1用“底×高”计算 ，解法 2用“铅垂高”计算 ，这是两种最常用的求三角形面积的方法. 【变式】已知椭圆 的离心率为 且过点 (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 设P(2,1), Q(-2,-1), 若动直线 与椭圆C交于A，B两点，求四边形PAQB 面积的最大值. 【反思】四边形不特殊时，可用它的一条对角线将四边形分割成两个同底的三角形来计算面积. 【例3】已知A，B分别为椭圆Γ的上顶点和右顶点， F为Γ的左焦点,. (1)求Γ的方程; (2)设直线AC, BD与Γ的另一个交点分别为C, D, AC∥BD, O为坐标原点,判断△OCD面积是否可能大于1，并说明理由. 【反思】当三角形的一个顶点是原点时，若用其它方法求面积不方便，但三角形的另外两个顶点的坐标容易求得，则可按 计算三角形的面积，其中 分别为另外两个顶点的坐标. 【例4】已知椭圆经过点 ，一个焦点在直线 上. (1) 求椭圆E的方程； (2) 设经过原点O的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值. 【反思】①当四边形ACBD 对角线互相垂直时，可按 求其面积； ②计算同类对象时，求出其中一个后，可通过观察另一个与它的区别，用替换的方法直接得到另一对象的结果(如本题求出|AB|，再求|CD|时就用到了替换方法)，这种替换的思想在解析几何中很重要，恰当地运用它，可以避免一些不必要的计算. §第2节 解析几何大题条件翻译：角度 一、内容提要 1. 在解析几何大题中，锐角、直角、钝角的条件可通过向量的数量积来翻译： ①∠APB为直角：可翻译为 但需单独排除P与A或B重合的情况； 也可翻译为 但需单独考虑PA，PB斜率不存在的情况； ②∠APB为锐角：可翻译为 但需单独排除∠APB=0°的情况； ③∠APB为钝角：可翻译为 但需单独排除∠APB=180°的情况. 2. 倾斜角互补：当两直线倾斜角互补时，根据 tan(π-α)=-tanα，可以得出两直线斜率互为相反数，所以倾斜角互补的问题，在解析几何中往往采用斜率和为零来进行计算. 二、考点题型 类型Ⅰ：直角、锐角、钝角 【例1】已知椭圆 的焦距和长半轴长都为2. 过椭圆C的右焦点 F作不与y轴垂直的直线l与椭圆C相交于P，Q两点. (1) 求椭圆C的方程； (2)设点A是椭圆C的左顶点,直线AP, AQ分别与直线x=4相交于点 M, N, 求证: 以MN为直径的圆恒过点 F. 【反思】在解析几何中，FM⊥FN 的翻译方法有： (其中 T为MN中点)， 等，但最常用的是前两种. 本题采用的是第一种，其实用第二种，计算量也大致相当，因为 所以要证明其结果是-1，也是结合韦达定理计算. 【例2】在平面直角坐标系xOy中,双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2,直线l过与C交于M,N两点,当 时,的面积为3. (1) 求双曲线C的方程； (2) 已知M, N都在C的右支上, 设l的斜率为m. (i) 求实数 m的取值范围； (ii) 是否存在实数m，使得为锐角? 若存在，请求出m的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【反思】解析几何中∠MON为锐角一般按 来翻译. 但需注意，若有必要，还应检验与 是否可能同向，此时虽也满足 但∠MON =, 应排除这种情况. 【例3】设A，B分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且过点 (1)求椭圆的方程； (2)设P为直线x=4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP 分别与椭圆相交于异于A，B的点 M, N, 证明: 点B 在以MN为直径的圆内. 【反思】直角、锐角、钝角这类条件可能会以点在圆上、点在圆外、点在圆内这样隐含地给出，一般而言，可总结如下. 设M，N是不重合的两点，则： ①或B与M，N中的一个重合点 B 在以MN为直径的圆上； 为锐角或0°点 B 在以MN为直径的圆外； ③为钝角或平角点 B 在以MN为直径的圆内. 类型Ⅱ：倾斜角互补 【例4】设抛物线点A(2,0), B(-2,0), 过点A的直线l与C交于 M, N两点. (1) 当l与x轴垂直时, 求直线BM的方程; (2) 证明: ∠ABM =∠ABN. 【反思】①当我们通过分析图形的几何特征发现两条直线倾斜角互补时，常翻译为它们的斜率之和为0.②计算 或 这类结构，可考虑齐次化思想，其核心是在联立直线和椭圆(双曲线、抛物线) 的方程时，将其化为关于x-a和y-b的二次齐次式 再同除以 化为 这样可直接由韦达定理求得 和 【例5】已知椭圆 的焦距为2，且经过点 (1) 求椭圆C的方程； (2)经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T使 恒成立? 若存在，求出点T坐标； 若不存在，说明理由. 【反思】有时倾斜角互补不会直白地给出，需要将已知条件进行分析整合才能发现.本题就是如此，表面上看给的是长度关系，但化为比值关系后我们发现x轴是∠ATB的平分线，于是可按倾斜角互补模型处理. §第3节 解析几何大题条件翻译：定值与定点 一、内容提要 1. 定值问题主要有证明类定值问题、探究类定值问题两类，解题的一般步骤为： ①设出直线的方程y= kx+b或x= my+t、 点的坐标; ②通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果(如长度、面积、斜率等) 用引入的参数(k, t, m, b等) 表示出来; ③将上述中间结果代入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的参数无关，是一个常数. 注：对于探究类定值问题，在参数关系复杂，不好直接正面计算时，可考虑先用特值探路，猜出问题的答案，再进行证明，从而将探究类定值问题转化成证明类定值问题处理. 2. 证明动直线在一定条件下过定点是解析几何中的一类重要题型，这类问题一般有两种解题方法. 方法1：设直线，求解参数关系. 一般的解题步骤为： ①设出直线的方程y= kx+b或x= my+t; ②通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到k和b，m和t的关系，或者解出b，t的值； ③根据②中得出的结果，找出直线过的定点. 方法2：求两点，猜定点，证向量共线. 一般的解题步骤为： ①通过题干条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参)； ②取两个具体的参数值，分别求出对应的直线AB，并求出它们的交点P，该点即为直线过的定点； ③证明 与共线，得出直线AB 过定点P. 注：上面的两个解法中，解法2的计算量通常要大一些，故一般首选解法1. 二、考点题型 类型Ⅰ：证明类定值问题 【例1】已知双曲线 过点, 和 (1) 求双曲线的方程； (2)过M(0，1)的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F 且与PQ平行的直线交双曲线于 A, B两点, 证明: 是定值. 【反思】在条件清晰的情况下，直接设变量，正面计算目标量，化简得出目标量为定值即可解决问题. 类型Ⅱ：探究类定值问题 【例2】已知抛物线C 的焦点为F, 点P(1,1), (1) 求抛物线C的方程； (2) 过点 的动直线l与C交于A，B两点，C上是否存在定点M使 为定值(其中分别为直线MA, MB 的斜率)? 若存在, 求出M的坐标; 若不存在, 说明理由. 【反思】对于探究类定值问题，若定值的目标式容易计算，则先计算该式，再分析怎样能使其为定值.常见的定值模型有分式型和多项式型 对于分式型，要使f(m)不随m的变化而改变，应有 (这里面如果有系数为0的，则另一个对应系数也为0. 例如，若 则 且此时 f(m)=t. 对于多项式型，要使 f(m)不随m的变化而改变,只能 且此时 类型Ⅲ：直线过定点问题 【例3】椭圆 的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2. (1) 求E的方程; (2)记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M(点M在第一象限)，P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点. 【反思】当容易设直线的方程处理时，可考虑设直线的方程，翻译已知条件寻找所设直线方程中参数的关系，从而找到直线所过的定点. 【例4】已知椭圆E 的右焦点为F,左、右顶点分别为A,B,点C在E上,,分别为直线AC, BC上的点. (1)求 的值； (2) 设直线BP 与E的另一个交点为D, 求证: 直线CD经过 F. 【反思】像本题这样不方便设直线 CD 的方程处理时,可考虑先求出 C，D两点的坐标,用特值探路找到直线CD过的定点 F,再用向量法证明F,C,D三点共线,就能得到直线CD 过定点 F. §第4节 解析几何综合大题 一、内容提要 本节归纳一些相对具有代表性的解析几何综合性的大题题型与方法，有下面三类： 1. 特殊四边形 ①平行四边形：常按对角线互相平分来翻译. 例如，若ABCD 是平行四边形，则对角线AC的中点也是BD的中点，由此可建立方程，求解需要的量. ②菱形：常抓住其对角线互相垂直平分来进行翻译. 2. 非对称韦达定理 在某些问题中，联立直线和椭圆(双曲线、抛物线) 后，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式. 例如，遇到 等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理.像这种系数不对称的结构，通常无法根据韦达定理直接求出，此时一般有两种情况： ①如果式子中既有x，又有y，可考虑利用直线的方程消去x或y，看整合后能否化为对称结构处理； ②如果式子中只有x(只有y时类似处理即可)，可抓住 和 的关系将两根之积向两根之和转化，通过局部替换、整体约分的方法求出结果. 这种做法本质上是消元，但消的是韦达定理中直线的参数，而不是 (详见例2的变式). 3. 点乘双根法的应用 遇到诸如 这类结构时，除了展开为 结合韦达定理来计算外，还可以采用点乘双根法来快速计算，具体的计算方法请参考本节例3. 二、考点题型 类型 Ⅰ：特殊四边形 【例1】已知椭圆 直线l不过原点O 且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A, B, 线段AB的中点为M. (1) 证明：直线OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值； (2)若l过点 延长线段OM与C交于点 P，四边形 OAPB能否为平行四边形? 若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由. 【反思】解析几何大题中，遇到平行四边形，常按对角线互相平分来翻译. 具体操作时，建立方程的方法是多样的. 例如本题解法1根据M为OP 中点求P的坐标，代入椭圆建立方程，解法2则用直线OM 与椭圆联立求出P的坐标，根据M为OP 中点建立方程. 虽然都是按对角线互相平分翻译，但计算量略有差别. 【变式】已知双曲线 的一条渐近线的斜率 , 且过点(2,3). (1) 求双曲线 C的方程； (2)过C的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线l与C交于A，B两点，点T在x轴上，点P在C上，四边形 TAPB能否为菱形? 若能，求出此时直线l的方程和点T的坐标； 否则，说明理由. 【反思】解析几何大题中，菱形常抓住对角线互相垂直平分这一特征来翻译. 类型Ⅱ：非对称韦达定理 【例2】设椭圆 的右焦点为F，点 在 C上, 且MF⊥x轴. (1) 求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交 C于A, B两点, N为线段 FP 的中点, 直线 NB交直线MF与点Q. 证明: AQ⊥y轴. 【反思】当式子中既有x，又有y时，若遇到系数不对称的情况，可考虑利用直线的方程消元，将变量统一成x或y，也许系数就对称了，此时可再结合韦达定理计算. 【变式】双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为离心率为 (1) 求 C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为, 过点(-4,0)的直线与C的左支交于 M, N两点, M在第二象限，直线与交于点 P，证明：点 P在定直线上. 【反思】遇到像这种含有 和 的系数不对称结构，用韦达定理消往往行不通，可转为消m，具体操作方法是找到与的关系，再替换掉式中的 ，往往就能约分，求得结果. 类型Ⅲ：点乘双根法的应用 【例3】在平面直角坐标系xOy中,已知点 点M满足记M的轨迹为C. (1)求 C的方程; (2)设点 T在直线 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点, 且, 求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 【反思】若将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于x的一元二次方程 设该方程的两根为 ，现在要算 将其展开为 结合韦达定理来算可行，但有时这样做计算量较大，更简单的方法是根据是该方程的两根，将该方程左侧的 化为两根式，得到 观察发现在上式两端同时令，即可得到 从而 这样就快速求出了目标量,此法叫做“点乘双根法”. 学科网（北京）股份有限公司 $$