第10章模块5抛物线与方程讲义——2025届高三数学一轮复习

模块5 抛物线与方程 §第1 节 抛物线定义、标准方程及简单几何性质 一、内容提要 1. 抛物线的定义：平面上到定点F的距离与到定直线l(不过定点F) 的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程与简单几何性质： 定义 标准方程 (p>0) 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 图形 |AF|=d y²=2px ( ，0) x=- x≥0 y∈R x轴 原点 y²=-2px (-,0) x= x≤0 y∈R x轴 原点 x²=2py (0,) y=- x∈R y≥0 y轴 原点 x²=-2py (0,-) y= x∈R y≤0 y轴 原点 3.抛物线上的点到焦点F的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线 中，若点A 在抛物线上，且AD⊥准线于D，如上表中第1个图，有 其余开口的抛物线类似. 二、考点题型 类型Ⅰ：抛物线的标准方程与简单几何性质 【例1】若抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为 则抛物线C的标准方程为 ，准线方程是 . 【变式1】顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C经过点A(2，1)，则C的方程为 . 【变式2】若抛物线 的准线方程为 则a= . 【例2】已知抛物线 的焦点为F，准线l与x轴交于点 P，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于A, B两点, 若△PAB的面积为2, 则p= . 类型Ⅱ：抛物线定义的运用 【例3】 已知A为抛物线C上一点，点A 到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9,则 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【反思】涉及抛物线上的点到焦点的距离问题，常常优先往抛物线定义上考虑. 【变式1】设F为抛物线C: 的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( ) A. 2 C. 3 【变式2】P是抛物线 上的动点，设点 P到抛物线准线的距离为，到直线l：x-y+2=0的距离为, 则的最小值为 . 【总结】只要涉及抛物线上的点到焦点的距离，不管问什么，最常见的思考方向都是利用定义转换长度. §第2节 抛物线定义与几何性质综合问题 一、内容提要 抛物线上的点到焦点的距离问题常用抛物线的定义求解，但除定义外，可能还需结合图形(如等腰、等边、直角三角形，矩形等) 的几何性质才能求解问题，因此本节将归纳高考中抛物线常见的图形和几何条件的处理思路. 二、考点题型 类型Ⅰ：定义与特殊图形 【例1】已知抛物线 的焦点为F, 准线为l, 点A在C上, 且AB⊥l于B, 若∠FAB= 则|BF|=( ) 【反思】利用抛物线的定义可知，抛物线上的点 A与焦点F，以及点 A 在准线上的射影B所围成的三角形ABF是等腰三角形，且 FB 为∠AFO 的角平分线. 【例2】已知抛物线C 的焦点为F, 准线为l, 点P在C上, PA⊥l于A, 若|PA|=|AF|,则|AF|= . 【变式】已知抛物线 的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点, 与l交于 D, E两点, 则p= . 【例3】已知抛物线的焦点为F，点A 是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线E 上，若 则 【变式】已知抛物线 的焦点为F(1，0)，准线与x轴交于点A，点M在第一象限且在抛物线C上，则当 取得最小值时，直线AM的方程为 . 类型Ⅱ：定义与线段比例、相似相关 【例4】设抛物线 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上,点C在y轴上, B在线段AC上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) 【反思】抛物线中与焦点 F 有关的线段比例问题中，过抛物线上的点向准线作垂线，借助抛物线定义来分析图形的几何特征，是常规操作. 【变式1】过抛物线的焦点F且斜率k>0的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C(B在F, C之间), 且|BC|=2|BF|,|AF|=12,则直线AB 的方程为 . 【变式2】如图，过抛物线 的焦点 F 作直线与抛物线及其准线分别交于A, B, C三点, 若 则|AB|= . 【反思】抛物线小题中出现未知长度的比例关系时，往往可设一段长，利用定义以及相似等几何性质求解其它线段的长. §第3节 抛物线小题的综合运算 一、内容提要 本节主要涉及三类抛物线有关的小题： 1. 简单的运算求值：一些抛物线小题中，我们可以联立直线和抛物线去求交点坐标，用坐标参与运算，也可以结合图形的几何特征来解决问题. 2. 抛物线上的动点问题：设点P在抛物线 上运动，点P的坐标常用两种设法. ①设P(x₀，y₀)，这种设法引入了2个变量，没有体现点P在抛物线上，可用 建立变量间的关系. ②设 这种设法只引入1个变量，已经体现了点P在抛物线上，单动点问题用此设法往往比较方便. 3. 设而不求韦达定理：设直线l与抛物线C交于A，B两点，由此产生的诸多问题中，需要将直线l与抛物线C的方程联立，但联立后我们往往不去解方程组，求交点A，B的坐标，而是消去y(或x)整理得出关于x(或y) 的一元二次方程，结合韦达定理来计算一些目标量，如数量积、斜率、弦长、 面积等. 二、考点题型 类型Ⅰ：简单的运算求值问题 【例1】 设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C 交于 D, E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( ) C. (1,0) D. (2,0) 【反思】在简单的抛物线求值问题中，用直线的方程、点的坐标等直接翻译已知条件可以解决问题，但若能结合条件的几何特征分析，往往计算量更小. 【例2】已知O为坐标原点, 抛物线C的焦点为F，P为C上一点, PF与x轴垂直, Q为x轴上一点, 且PQ⊥OP.若|FQ|=6, 则C的准线方程为 . 类型Ⅱ：动点类问题 【例3】已知A 是抛物线 上的点, 点B(0,2), 则|AB|的最小值为( ) A C. 【反思】对于抛物线上的动点问题，可先设动点坐标(设法参考内容提要)，并用该坐标计算题目中求最值的量，再借助函数、不等式等方法来求解最值. 【变式】抛物线 上任意一点 P 到点M(5，0)的距离的最小值为4，则p= . 【例4】设O为坐标原点,点 A(0,4),动点P在抛物线 上，且位于第二象限，M是线段 PA的中点，则直线OM 的斜率的取值范围是( ) A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (-∞,-2) D. (-∞,-2] 【例5】已知△ABC的三个顶点都在抛物线上，F为抛物线的焦点，若则 ( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【总结】可发现设点的方式要由题目来定，当设单变量形式复杂时，就考虑双变量(如例3 变式)；而涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常根据前面小节用过的方法，即用定义转到与准线的距离(如例5). 类型Ⅲ：设直线，联立，韦达 【例6】(多选) 已知O为坐标原点, 点A(1,1)在抛物线上, 过点 B(0,-1)的直线交 C 于 P、Q 两点, 则( ) A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 【反思】同椭圆与双曲线一样，不方便用几何法求解问题时，我们常设点、设线进行坐标运算. 若涉及 这些量，常结合韦达定理求解，圆锥曲线中的这种计算思路与技巧，我们将在下个模块“模块6：解析几何大题”深入学习，所以本节只举一道例题. §第4节 高考中抛物线常用的二级结论 一、内容提要 1. 坐标版焦半径、焦点弦公式(设在抛物线上, AB是抛物线的焦点弦) 标准方程 y²=2px(p>0) y²=-2px(p>0) x²=2py(p>0) x²=-2py(p>0) 焦半径公式 焦点弦公式 2.角版焦半径、焦点弦、焦原三角形面积公式:设抛物线 的焦点为F,O为原点. ①焦半径公式：设A为抛物线上任意一点，记则焦半径 证明：作AM⊥x轴于M,先考虑M在F右侧的情形,如图1,设 则 又 与上式比较可得： 另一方面，由坐标版焦半径公式知 与上式作差消去x₀整理得：同理可证当M在F左侧或恰好与F重合时，都有 ②焦点弦公式：AB 是抛物线的焦点弦，记 则 证明：如上图2， 由①中的焦半径公式可得所以 ③焦原三角形面积：设AB是抛物线的焦点弦，记 则 证明:如上图3,作OD⊥AB于D,则由②中的焦点弦公式可得：所以 注：②和③中的α可由换成∠BFO或AB的倾斜角，结果不变；但若α统一取则①②③中的结论对各种开口的抛物线都成立，这也是我们要把设为α的原因. 3.焦半径倒数和定值结论:设抛物线的焦点为F,AB 是抛物线的一条焦点弦,则 证明:如上图2,由①中的焦半径公式,所以 二、考点题型 类型Ⅰ：焦半径问题 【例1】过抛物线C的焦点F的直线l与C交于 A，B两点，若 则 【变式1】过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点,若则 【反思】从上面两道题可以看出，涉及焦半径、焦点弦的计算，用角版的公式或 计算量往往更小，可作为首选方案，坐标版公式为次选方案. 【变式2】过抛物线的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若则 【变式3】已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为 的直线l与C交于 A, B两点(A在x轴上方)，若 |AF|=λ|BF|, 则λ=( ) C. 2 【变式4】抛物线 的焦点为F, 直线l:x-my-1=0(m∈R)与C交于A, B 两点, 则|AF|+4|BF|的最小值是 . 【反思】也可引入∠AFO为变量，用角版焦半径公式求|AF|+4|BF|,但计算量偏大,可自行尝试. 类型Ⅱ：焦点弦问题 【例2】抛物线C 的焦点为F，过F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，若|AB|=8, 则p= . 【反思】当抛物线中出现焦点弦以及焦点弦的斜率或倾斜角时,可考虑使用角版焦点弦公式速解. 【变式1】已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，若点M(t，4)是AB的中点, 则|AB|=( ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【变式2】已知F为抛物线C: 的焦点，过F作两条互相垂直的直线和与C交于A，B两点, l与C交于 D, E两点, 则 的最小值为 . 类型Ⅲ：焦原三角形面积 【例3】设F 是抛物线C 的焦点，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，O为原点，若△AOB的面积为 则p=( ) C. 1 D. 2 【反思】抛物线中涉及焦点原三角形的面积问题都可考虑用面积公式计算. 【变式】过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，O为原点，若 且△AOB的面积为 则p=( ) A. 2 C. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$