第9章模块3空间向量及其应用讲义——2025届高三数学一轮复习

模块3 空间向量及其应用 §第1 节 空间向量的基本运算 一、内容提要 本节为预备小节，主要熟悉空间向量的概念和运算规则，大量内容和平面向量类似，此处不一一罗列了，仅梳理一些常用的考点. 1. 设a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃),则： ①加减法： ②数乘：λa=(λa₁,λa₂,λa₃); ③共线: 若a∥b且b≠0, 则存在唯一的实数λ, 使得a=λb, 即 ④模: ⑤数量积： 当a⊥b时, a·b=0; ⑥夹角余弦公式： ⑦两点连线向量的坐标公式：设A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂),则 ⑧投影向量计算公式：向量b在向量a上的投影向量为 2. 共面向量定理：设a，b是空间中不共线的两个向量，则空间中的向量p与a，b共面的充要条件是存在实数x, y, 使得p= xa+ yb. 3. 四点共面系数和结论：设A，B，C是平面α上不共线的三点，O是平面α外一点，则对于空间中任意一点D，设 则D在平面α内⇔x+y+z=1. 4. 法向量的计算步骤： ①求出平面α内的两个不共线的向量 和 ②设法向量为n=(x,y,z), 并由 建立关于x，y，z的三元一次方程组； ③对其中一个变量赋值，求出另外两个变量，即可得到平面α的一个法向量. 二、考点题型 类型Ⅰ ：空间向量的运算 【例1】(多选) 如图, 已知四面体ABCD所有棱长均为2, E, F, G分别为棱AB，AD，DC的中点，则下列说法正确的有( ) A. 与 不共面 【例2】(多选) 已知空间向量 则下列结论正确的是( ) A. (2a+b)∥a C. a⊥(5a+4b) D. a在b上的投影向量为 【总结】可以发现，空间向量不管是图形规则，还是坐标运算，都与平面向量类似. 类型Ⅱ：共面与基底的判定 【例3】已知{a,b,c}是空间的一个基底, 若m=a-2b, n=a+b+c, p=3a+ xb+c, 且{m,n,p}不能构成空间的基底，则实数x的值为 . 【反思】①空间中判断三个向量m，n，p(其中m，n不共线) 是否共面，就看是否存在实数x，y使 p= xm+yn；②三个向量是否能作为空间的基底也是据此判定，只要三个向量不共面，就可以作为基底. 类型Ⅲ：简单建系运算与法向量求法 【例4】(多选) 在如图所示的空间直角坐标系中，为正方体, E,F分别为BC,CC₁的中点,则( ) B. A1B与AD1所成的角为60° D. 平面AEF 的一个法向量为m=(4,2,4) 【反思】求法向量是流程化的步骤，务必熟悉，且为了计算方便，宜把法向量调整为不含分数的形式. §第2节 空间向量的应用：证平行、垂直与求角 一、内容提要 用空间向量求解立体几何问题的步骤比较流程化，常分四步： ①建立空间直角坐标系，写出点的坐标； ②计算直线的方向向量、平面的法向量； ③根据问题，选择合适的公式计算； ④把向量运算的结果翻译成几何问题的答案. 下面归纳一些常见立体几何问题的向量求解方法： 1. 证线线平行：如图 1，设是空间中不重合的两条直线，它们的方向向量分别为 a和b, 则 ∥的充要条件是a∥b. 2. 证线面平行：如图2，直线l不在平面α内，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n, 则l∥α的充要条件是a·n=0. 3. 证面面平行：如图3，α，β是两个不重合的平面，它们的法向量分别为n，m，则α∥β的充要条件是n∥m. 4.证线线垂直：如图4，设直线 的方向向量分别为m，n，则 5.证线面垂直：如图5，设m为直线l的方向向量，u,v为平面α内两个不共线的向量，则l⊥α⇔m·u=0且 6.证面面垂直：如图6，设n，m分别为平面α，β的法向量，则 7. 求线线角：设空间直线 的夹角为θ，方向向量分别为u，v，则 8. 求线面角：如图7，设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，l与α所成角为θ，则 9. 求二面角：如图8，设平面α，β的法向量分别为 m，n，则二面角α-l-β的余弦值 若是求sinθ, 可由 来算，cosθ取正取负不影响结果； 若是求cosθ，最终结果取正还是取负，则需考虑二面角的钝锐，一般可通过观察图形，直观想象来判断；若图形不易判断，则求法向量时，让一个朝内，一个朝外，它们的夹角即为二面角，如图9. 二、考点题型 类型Ⅰ：用空间向量证平行、垂直 【例1】(多选) 如图, 正方体 中, E为 的中点，则以下四个结论中，正确的有( ) ∥ B. 平面BDE∥平面CB₁D₁ D. 平面 【反思】当图形方便建系时，我们常建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量问题来求解； 建系证平行、垂直一般作为想不到几何法时的备选方案，故只举1道例题，帮大家熟悉有关问题的向量方法. 类型Ⅱ：用空间向量求线面角 【例2】如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD 是梯形, AB∥CD,AD⊥CD, CD=2AB=4, △PAD是正三角形, E是棱PC的中点. (1) 证明: BE∥平面PAD; (2) 若 平面PAD⊥平面ABCD, 求直线AB 与平面PBC所成角的正弦值. 【反思】算线面角θ时，由于( 所以 ，故别忘了在夹角余弦公式上加绝对值. 类型Ⅲ：用空间向量求二面角 【例3】 如图, 直三棱柱 的体积为4，的面积为 (1) 求点A 到平面A1BC的距离; (2)设D为A1C的中点, 平面 ，求二面角A-BD--C的正弦值. 【反思】①本题几何部分用到了多种技巧，综合性较强，所以前面的几何法要学扎实，一旦顺利建系，后续求二面角则是流程化的操作；②若是求二面角的正弦值，则无需考虑二面角的钝锐，正弦都为正. 【例4】如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,平面ADE⊥平面ABCD,AE∥BF,AD=AE=2,DE= (1) 证明: BD⊥平面ACE; (2) 若平面 CEF与平面ABFE的夹角的余弦值为 求BF的长. 【反思】两个平面(不考虑平行和垂直的情况)的夹角一定是锐角，所以计算面面的夹角余弦，直接在法向量的夹角余弦上取绝对值. 【变式】在三棱锥P-ABC中, BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO. (1) 证明: EF∥平面ADO; (2) 证明: 平面ADO⊥平面BEF; (3) 求二面角D-AO-C的大小. 【反思】①若由图能看出二面角的钝锐，则直接看图决定怎样取值； 否则可将法向量取成一个朝内，一个朝外，它们的夹角即为二面角；②通过本题我们给出了一种额外的找坐标思路，即当建系后有点的坐标不好找时，可直接设其坐标，翻译已知的各种条件(本题是长度) 建立方程组，求解该坐标. §第3节 空间向量的应用：求距离 一、内容提要 本节归额纳用空间向量求距离的有关问题，常见的有下面两类： 1.求点到直线的距离：如图1，设P为直线l外一点，点A在直线l上，u是直线l的单位方向向量，则点P 到直线l的距离 注：当线线平行时，两直线间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一直线的距离. 2.求点到平面的距离：如图2，P为平面α外一点，A为平面α上任意一点，n为平面α的一个法向量，则点P到平面α的距离 注：当线面平行或面面平行时，直线到平面的距离，平行平面间的距离都可按点到平面的距离来算. 二、考点题型 【例题】(多选) 在棱长为1的正方体 中, E为线段DD1的中点, F为线段BB1的中点，则下列说法中正确的是( ) A. 点A1到直线B1E的距离是 B. 直线FC1到直线AE的距离是 C. 点到平面AB1E的距离是 D. 直线 到平面的距离是 【总结】向量法计算空间距离，熟悉有关公式即可，都是流程化的操作，所以本节只举一道例 学科网（北京）股份有限公司 $$