第9章模块1立体图形的结构探究讲义——2025届高三数学一轮复习

第9章 立体几何、空间向量 模块 1 立体图形的结构探究 §第1节 几何体的表面积与体积 一、内容提要 本节涉及空间几何体的表面积和体积计算，下面先梳理一些必备公式. 1. 多面体的表面积与体积(表面积即各个面的面积之和，没有统一的公式) ①棱锥的体积： ②棱柱的体积: V= Sh; ③棱台的体积: 2. 旋转体的表面积与体积 ①圆柱：如图1，体积 侧面积 表面积 ②圆锥：如图2，体积 侧面积 表面积 ③圆台: 如图 3, 体积 侧面积 表面积 ④球: 如图4, 体积 表面积 二、考点题型 类型Ⅰ：简单几何体的表面积与体积 【例1】底面积为2π，侧面积为6π的圆锥的体积是( ) A. 8π C. 2π 【例2】在三棱锥 中，是边长为2的等边三角形，2 ，则该棱锥的体积为( ) A. 1 C. 2 D. 3 【反思】①有时求体积的参数(例如本题的高)需要我们自己作出来；②本题的模型很常见，我们一般称之为“双等腰三角形模型(两个等腰△ABP和△ABC共用底边AB)”. 取公共底边中点，构造与底边垂直的截面(如本题的截面POC)，是这一模型中常用的添加辅助线的方法.即使本题改变PC的长，使PO 与OC 不垂直，过P作面ABC的垂线，垂足也一定落在直线OC 上. 后续还会多次遇见该模型. 【例3】 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时, 增加的水量约为 ( ) 【总结】对于简单几何体的表面积与体积，把该几何体的关键参数代入内容提要对应公式计算即可. 类型Ⅱ：组合体的表面积与体积 【例4】如图,四边形ABCD中, 则四边形 ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为 ( ) 【例5】如图是一个棱长为2的正方体被过棱A1B₁，A1D₁的中点M，N，顶点A和过点 N，顶点 D，C₁的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【例6】如图，某多面体是由两个直三棱柱重叠后而成，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该多面体的体积为( ) A. 23 B. 24 C. 26 D. 27 【总结】对于组合体，不管是求表面积还是体积，都只需弄清楚它的组成方式，再分别计算即可. §第2节 规则几何体的结构计算 一、内容提要 本节归纳涉及球、正棱锥、正棱台、圆锥、圆台等规则几何体结构的空间计算问题，先解释几个名词. 1. 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为正多边形的中心的棱锥. 2. 正四面体：侧棱和底面边长相等的正三棱锥，它的所有棱长都相等，四个面都是正三角形. 3. 正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台. 4. 圆台：圆锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做圆台. 涉及上述几何体的空间计算，核心往往都是抓住某个截面，把空间计算问题向平面转化，尤其是经过高的截面.例如，在正三棱台中，如图1 的截面 可沟通高、侧棱长、上下底面边长，如图2的截面DGHE可沟通高、斜高(GH)、上下底面边长. 对于其它规则几何体，处理方法也类似，按照题目条件，选取适当的截面研究即可. 5. 对于内切球问题，也是选取适当的截面研究，一般会选取切点和轴(或高)所在的截面来分析. 二、考点题型 类型Ⅰ：球的截面研究 【例1】已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则O 到平面ABC的距离为( ) C. 1 【反思】有关球的计算，常连接球心和截面圆圆心(该连线必垂直于截面圆所在的平面)，在如图所示直角△OO1A中用勾股定理沟通r, d, R. 【变式】已知球O的半径为1，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( ) A B 类型Ⅱ：锥体的“定海神针”---高 【例2】已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 若圆柱的一个底面圆经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 【变式1】 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) 【反思】通过上两题可以发现，截面选取的动机非常明确，结合条件与要求的即可判断所需截面. 【变式2】如图，将半径为4的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，圆柱的底面半径是( ) C. 1 【总结】不管是正棱锥或圆锥，不管图形是否固定，核心总是根据条件选取适当的截面进行研究. 类型Ⅲ：台体的截面研究 【例3】如图, 是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高 为( ) 类型Ⅳ：情境题探究 【例4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点 A 处的水平面所成角为( ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 【反思】情境题并无通法，但涉及图形长度、角度的计算，时常会选取合适的截面研究. 类型V：内切球问题 【例5】 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 . 【变式1】已知正四棱锥 的底面边长为2，侧棱长为 则该正四棱锥的内切球的表面积为 . 【反思】求出PE=2后，若注意到了△PHE 是正三角形，则也可按 来速求 R. 【变式2】已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为 . 【总结】涉及内切球半径的计算，往往在高(或轴) 和切点构成的截面中来分析. 【例6】已知正三棱锥V-ABC中，侧面与底面所成的二面角的正切值为 ，则这个三棱锥的内切球半径为 . 【反思】对任意的三棱锥V-ABC，设其体积为 V，表面积为S，内切球半径为R，都有 其推导方法就是本题解法2 所用的等体积法，这是一个计算体积和表面积好求的三棱锥的内切球半径的通法. 但可发现，此方法的弊端是有时计算量会偏大. §第3节 外接球问题 一、内容提要 本节归纳外接球问题，有四大模型，下面分别分析. 1.长方体模型：如图1，长、宽、高分别为a，b，c的长方体外接球半径 除了标准的长方体(包括正方体) 之外，还有下面的两个三棱锥模型，也常通过补形转化为长方体模型来处理. ①垂直模型：如图2和图3，其共同特征是过直角的一个顶点(图2是直角顶点，图3是斜边端点) 作垂直于平面ABC的线段，这一特征可作为解题时识别模型的依据. ②对棱相等模型：如图4，三棱锥S-ABC满足三组相对棱相等，即 ，则该三棱锥也可补形为长方体处理. 2. 圆柱模型：如图5，圆柱的底面半径r，高h和球的半径R满足 除了标准的圆柱模型外，还有一些模型也可转化为圆柱模型处理. ①线面垂直的三棱锥: 如图6, SA⊥平面ABC, 若 是直角三角形，则按上面1中的长方体模型处理最方便，若不是直角三角形，则可先将三棱锥 放入圆柱，按圆柱模型处理. ②直三棱柱：如图7所示的直三棱柱也可按圆柱模型处理，本质上和图6的模型相同. 3.圆锥模型：如图 8 和图 9，圆锥的高 底面半径 球的半径为 R，则 在 中，有 故圆锥的外接球相关计算抓住 即可.除了标准的圆锥模型，对于侧棱相等的棱锥，也可放到圆锥中考虑，如图10的三棱锥 4. 台体模型：如图11，圆台的上、下底面半径分别为r₁，r₂，高 球O的半径为R，则它们满足方程 若为图12，则满足的方程是 除了这两种标准的圆台模型外，棱台模型也可转化为圆台模型处理，如图13，这种情况只需求出棱台的上、下底面外接圆半径，即可放入圆台分析. 在外接球问题中，若看不出来是什么模型，则可以尝试用通法：先找到某个面的外接圆圆心，过圆心作该面的垂线，则球心必定在该垂线上，再利用球心到各顶点距离相等构造方程.如上图14，过△ABC的外心G作平面ABC的垂线，则球心O必在该垂线上，再由OS=OA建立方程求三棱锥S-ABC的外接球半径. 仔细思考便可发现，其实上述2，3，4模型本质上都是利用的该方法，只是将几何体的结构类型进行了细分，更方便大家理解而已. 注意：虽然此通法理论上适用于所有外接球问题，但只有圆心好找且垂线易作时才方便使用. 二、考点题型 类型Ⅰ：外接球的长方体模型 【例1】若正三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均 ，则其外接球的表面积是 . 【反思】有三条共顶点且两两垂直的棱的三棱锥是最基础且好发现的墙角模型，该模型可补形为长方体，按长方体算外接球半径. 【变式】已知球O的球面上四点A,B, C, D满足DA⊥平面ABC, AB⊥BC, DA=AB=BC= 则球O 的体积为 . 【反思】过直角三角形顶点作三角形所在平面的垂线段，这样构成的三棱锥可补形为长方体模型，若把这里面的直角三角形改为非直角三角形呢? 此时可按后面类型Ⅱ的圆柱模型处理. 【例2】如图,在三棱锥A-BCD中,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 . 类型Ⅱ：外接球的圆柱模型 【例3】已知在三棱锥P-ABC中,PA=4,BC= ，PB=PC=3,PA⊥平面PBC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是 . 【变式】如图，四棱锥 的底面ABCD为矩形， =2, SA=AD=1, 则四棱锥 的外接球的表面积为( ) B. 4π D. 3π 【反思】圆柱模型的标志性条件是线面垂直，若没有观察出模型，也可考虑通法思路. 当涉及面面垂直时，用通法思路常较简单，如本题的面SAD⊥面ABCD.(因此时作垂线，垂足在两面交线上，如SF) 类型Ⅲ：外接球的圆锥模型 【例4】已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE 外接球的表面积为 . 【变式】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π, 且 则该正四棱锥的体积的取值范围是( ) D. [18,27] 【反思】侧棱相等的棱锥都可以按圆锥模型处理，列出核心方程求解； 正棱锥的所有侧棱都相等. 类型Ⅳ：外接球的台体模型 【例5】已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 【反思】设圆台的上、下底面半径分别为r₁，r₂，高为 h， 当 时，外接球球心恰为下底面圆心； 当 时，球心在台体外； 当 时，球心在台体内. 本题即为 的情形. §第4节 立体几何常见方法综合 一、内容提要 本节归纳立体几何中的几类常见方法. 1. 斜二测画法 ①在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交于点O'， 且使 (或135°)， 它们确定的平面表示水平面； ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段； ③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半； ④斜二测直观图与原图的面积关系： 其中S和S'分别为原图和直观图的面积. 2. 最短路径问题：空间中最短路径问题，常将几何体展开为平面，到平面上分析最短路径. 3. 等体积法 ①当直接计算某三棱锥体积不方便时，可考虑转换顶点来算体积. ②在求点到平面的距离时，也可用等体积法. 例如，要求点A到平面BCD的距离d，若能求得S△BCD，以及转换顶点后的三棱锥D-ABC的体积 则可由 解出d. 4. 扩大截面：常用平行线法和延长线法来寻找多面体的完整截面，详见本节例4和例5. 二、考点题型 类型 Ⅰ：斜二测画法 【例1】(多选) 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是( ) A. 梯形的直观图仍旧是梯形 B. 若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为 的直观图如图所示， 在 轴上， 与 轴垂直，且 则 的面积为4 D. 菱形的直观图可以是矩形 类型Ⅱ：最短路径问题 【例2】如图，已知圆锥的母线长SA=3，一只蚂蚁从点 A 出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最短距离为 则该圆锥的底面半径为( ) A. 1 B. 2 【反思】不管什么空间图形，涉及最短距离问题，一般都把空间图形展开为平面图形，到平面上来分析. 类型Ⅲ：等体积法 【例3】已知正方体 的棱长为2，M，N分别为 AB的中点，则三棱锥 的体积为 . 【变式】某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知AB为上底面的直径，圆台的高h=4，点P是上底面圆周上一点，且AP=BP，PC是该圆台的一条母线，则点 P到平面ABC的距离为( ) 【总结】等体积法除了用于把难求的体积转化为好求的体积计算之外，还可用于求点到平面的距离. 类型Ⅳ：多面体的截面问题 【例4】如图，在棱长为2的正方体 中, E是棱的中点，则正方体过A₁，D，E三点的截面的面积为 . 【反思】直接在表面上作对侧直线的平行线是最常见的扩大截面的方法，我们称之为“平行线法”. 【例5】如图，正方体 的棱长为1, M, N分别为和 的中点，用过A，M，N的平面去截正方体，则所得截面图形的周长为 . 【反思】当直接作平行线得到的直线在多面体外时，可通过延长表面的线，找它与棱的交点来扩大截面. 如图，以求过 A，M，N三点的截面为例，只需延长 MN，找到它与棱所在直线的交点 H，I，截面就由AMN扩大为了 AHI，再看面 AHI与其它棱的交点. 当然，有时只需找到H，I中的一个，就能用平行线法扩大截面了. 【例6】如图是棱长为1的正方体，E，F，G分别是所在棱的中点，则正方体的过 E，F，G三点的截面的面积 为 . 【反思】上述截面是正方体的一个特殊截面，它与正方体所有棱所成的角都相等，可把它记住. 学科网（北京）股份有限公司 $$