17.2 勾股定理的逆定理（第2课时 勾股定理的逆定理的应用）（教学设计）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂(人教版)

17.2勾股定理的逆定理(第2课时 勾股定理的逆定理的应用)教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》八年级下册（以下统称“教材”）第十七章“勾股定理”17.2勾股定理的逆定理（第2课时 勾股定理的逆定理的应用），内容包括：勾股定理的逆定理的实际应用，勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用. 2.内容解析 在实际问题中，有时候需要判断一个三角形是否为直角三角形.例如在航海问题中，需要确定船只的相对位置或航行方向；在建筑设计中，对于一些特殊结构的框架，需要确定其角度是否为直角；在土地测量等领域，有时候不方便直接测量角度，但可以测量边长来间接确定角度是否为直角. 这些实际问题的解决都需要学生仔细审题后，把实际问题转化为数学问题，构建出三角形的数学模型，使用勾股定理的逆定理来判断直角.从生活经验来看，学生在生活中接触到的直角三角形较多，如建筑中的直角墙角、楼梯的设计等.这些实际情境可以帮助学生建立直观的感受，但学生可能缺乏将这些实际问题抽象为数学模型的能力.因此，在教学中可以通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，帮助他们将生活经验与数学知识联系起来. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：从实际问题中构建三角形使用勾股定理的逆定理判断直角. 二、目标和目标解析 1.目标 1.能应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识，掌握勾股定理及其逆定理的综合应用问题. 2.目标解析 教材中选取了航海中确定船只的航行方向问题让学生掌握利用勾股定理的逆定理来判断直角三角形的方法，在练习题也设置了确定方向问题.解决此类问题的关键都是先从实际问题中构建数学模型，把问题转化为已知三角形三边长如何求内角，这就需要学生应用勾股定理的逆定理来解决. 教材的课后习题中还设置了勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用问题，目的是让学生进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识，知道已知直角时，用勾股定理；已知三角形边长，时用勾股定理的逆定理.这类综合应用问题是中考中的一个重要考点，掌握这一知识点对学生应对考试具有重要意义. 三、教学问题诊断分析 从学习困难障碍来看，学生在理解勾股定理的逆定理时，可能会对逆定理的概念理解不透彻，无法区分正定理和逆定理，不知道何时使用勾股定理，何时使用勾股定理的逆定理. 因此，在教学中可以通过实例，画图对比，帮助学生区分勾股定理的正定理和逆定理. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：解决勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用问题. 四、教学过程设计 （一）复习回顾 【设计意图】巩固学生对勾股定理及勾股定理的逆定理的概念记忆，为后面利用勾股定理逆定理解决实际应用问题做准备. （二）情境引入 在航海中，船只的位置确定是非常重要的.当已知两个参考点的位置与船只的距离等信息时，我们如何确定船只的相对位置或航行方向呢？这节课让我们一起来学习一下吧. 【设计意图】以航海定位问题为背景设疑，激发学生学习本节课的兴趣，让学生感受到数学与实际生活息息相关. （3） 典型例题 一、勾股定理逆定理的实际应用 例1. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile. 它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【分析】 解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里. ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 【小结】 【针对练习】如图，甲、乙两货车从A地同时出发，甲货车以30公里/时的速度向北偏东35°的方向行驶，乙货车以40公里/时的速度向另一方向行驶，2小时后，甲货车到达C地，乙货车到达B地，若C，B两地距离100公里，求乙货车行驶的方向． 解：由题意，得AC＝30×2＝60(公里)， AB＝40×2＝80(公里)，BC＝100公里． ∵AC2＋AB2＝602＋802＝1002＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°. ∵C地在A地北偏东35°方向上，∴180°－90°－35°＝55°. ∴B地在A地南偏东55°方向上． 答：乙货车行驶的方向是南偏东55°. 例2. 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 【分析】本题是数学问题在生活中的实际应用，所以同学们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用勾股定理的逆定理，验证它是否为直角三角形． 解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格． 【针对练习】一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15， ∵92+122=152，152+82=172， ∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2． ∴△ABD、△BDC是直角三角形． ∴∠A=90°，∠DBC=90°． 故这个零件符合要求． 【小结】合格检验问题中，常常需要确定其角度是否为直角. 构造三角形，已知三边长，应用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形. 【设计意图】巩固勾股定理逆定理，锻炼学生从实际问题中抽象出数学问题的能力，培养学生运用勾股定理逆定理解题的能力. 二、勾股定理及其逆定理的综合应用 例3. 如图，每个小正方形的边长都为1. （1）求四边形ABCD的周长.（2）∠BCD是直角吗？请说明理由. 【分析】（1）根据勾股定理求出AB、BC、CD、AD的长， 再求出周长即可；（2）根据勾股定理的逆定理可判断△BCD的形状． 解： （1）由勾股定理得：AB，BC2，CD，AD， ∴四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD23. （2）∠BCD是直角， 理由：连接BD， BD5，BC2，CD， 52＝（2）2+（）2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BCD是直角． 【针对练习】在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A,B,C为格点. （1） 判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求BC边上的高. 【解答】解：（1）结论：△ABC是直角三角形． 理由：∵BC2＝12+82＝65，AC2＝22+32＝13，AB2＝62+42＝52， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． （2）设BC边上的高为h．则有•AC•AB•BC•h， ∵AC，AB＝2，BC， ∴h． 【小结】在网格图中判断三角形的形状，先用勾股定理求出三角形三边长，再用勾股定理的逆定理判断即可. 例4. 一块土地的形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，AD＝24 m，求这块土地的面积． 解：如图，连接AC. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m， ∴AC＝＝＝25(m). ∵AC＝25 m，CD＝7 m，AD＝24 m， ∴AD2＋CD2＝AC2.∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°. ∴S△ABC＝AB·BC＝×20×15＝150(m2)， S△ACD＝CD·AD＝×7×24＝84(m2). ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝150＋84＝234(m2). 答：这块土地的面积是234 m2. 【针对练习】为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m. (1)求空地ABCD的面积； (2)若每种植1 m2草皮需要200元，则总共需花费多少元？ 解：(1)如图，连接AC. 在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m， ∴AC＝＝＝10(m). 在△ABC中，AB＝26 m，BC＝24 m，AC＝10 m， ∴AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2. ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°. ∴S四边形ABCD＝S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×10×24－×8×6＝96(m2). 答：空地ABCD的面积为96 m2. (2)96×200＝19 200(元). 答：总共需花费19 200元． 【小结】不规则四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 【设计意图】考查学生添加辅助线作图以及灵活应用勾股定理及其逆定理解综合题的能力. （4） 当堂巩固 1.已知A，B，C三地之间的距离如图所示，A地在B地的正东方向，那么C地在B地的(　B　) A．正南方向 B．正北方向 C．北偏西67.4°方向 D．南偏东22.6°方向 2.在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则下列网格图中的三角形不是直角三角形的是(　C　) 3.如图，已知A(1，2)，B(5，0)，O(0，0)，则△ABO的形状是 直角三角形 . 4.如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港口O，各自沿固定方向航行，远洋号每小时航行12海里，长峰号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20海里．已知远洋号沿着北偏东60°方向航行，求长峰号航行的方向． 解：由题意，得OA＝12海里，OB＝16海里，AB＝20海里． ∵122＋162＝202，∴OA2＋OB2＝AB2 ∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°. ∵180°－60°－90°＝30°， ∴长峰号航行的方向是南偏东30°. 5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l交AB于点E，交AC于点D，AD＝5，CD＝3，BC＝4. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求AB的长． (1)证明：如图，连接BD. ∵AB的垂直平分线l交AC于点D，∴BD＝AD＝5. 在△DCB中，BD＝5，CD＝3，BC＝4，∴CD2＋BC2＝32＋42＝52＝BD2. ∴△BCD是直角三角形，∠C＝90°. ∴△ABC是直角三角形． (2)解：由(1)可知在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2， ∴AB＝＝＝＝＝4，即AB的长为4. 【设计意图】学以致用，巩固学生对勾股定理及其逆定理的理解，培养学生的应用能力和解题能力. （六）课堂小结 本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法. 五、教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$