第5章 解三角形的几何问题篇讲义——2025届高三数学一轮复习

模块3 几何问题篇 §第1节 射影定理、几何计算 一、内容提要 1. 射影定理: 在△ABC中, 提醒：大题不建议直接用射影定理，需先证再用，下面给出a=bcosC+ccosB的证明. 因为sinA= sin[π-(B+C)]= sin(B+C)= sin BcosC+cosBsinC, 所以a=bcosC+ccosB. 上式的图形解释如下图，另外两个式子可类似证明，本节后续解答过程若用到此定理，不再证明. 2. 几何计算：遇到不便于直接解的解三角形问题，往往可设长度或角度为参数，用设的参数表示目标，或通过分析图形的几何关系来建立方程，求解问题. 二、考点题型 类型Ⅰ：射影定理的应用 【例1】△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 2bcosB=acosC+ccosA, 则B= . 【反思】出现acosB+bcosA, acosC+ccosA, bcosC+ccosB这些结构, 除了常规的边化角、 角化边的处理方法外，还可以考虑用射影定理来速解. 【变式】在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且 则B= . 【反思】不一定非要出现bcosC+ccosB这种整体结构才能用射影定理，有时看到bcosC或ccosB这种局部结构，也能用射影定理速解问题. 类型Ⅱ：几何综合计算 【例2】在△ABC中, BC边上的高等于 则cosA= ( ) 【反思】对于几何计算问题，当出现未知长度或角度时，可以设出对应边长或者角度作为参数，再把其它量用参数表示，最后利用几何关系算出要求的几何问题. 【变式1】如图，半径为1的扇形 OPQ的圆心角为π/3，点C在劣弧PQ上运动，ABCD 是扇形的内接矩形，则矩形 ABCD 面积的最大值为 . 【反思】变量函数思想是求最值的基本思想之一，引入变量的方法不是唯一的，例如本题设的是角度，其实也可设BC=x，但由此得出的面积表达式较复杂，不易求最值，所以在选取变量时，应预判计算量. 【变式2】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高，如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB= ( ) A. B. C. D. §第2节 三角形的各种线 一、内容提要 1. 中线问题：如图1，在△ABC中，AD 是边 BC 上的中线，有关计算常采用下面的几种方法，这些方法在已知中线，或者求中线的问题中都可以尝试. 方法 1: 在左右两个三角形中计算cos∠ADB和cos∠ADC, 利用∠ADB与∠ADC互补, 建立方程求解. 方法2：借助 并将其平方来计算目标. 方法3：将 补全为如图2所示的平行四边形 ABEC，转化到 中完成相关的计算. 2. 比例线问题：如图3，在 中，D在BC上但不是中点，且已知BD与CD的长度之比，这类问题可采用上面的方法1和方法2求解. 3. 角平分线问题：如图4，在 中, AD 是 的平分线，有关问题常用下面两种方法求解. 方法1：用角平分线性质定理 来研究 BD和CD的比例关系，从而将问题转化为上述第 2 类问题. 大题中，可先用面积比证明该定理， (其中h为的边BC上的高)，所以 方法2：如图4，设 由 可得 化简得 很多时候我们可以运用这一关于b，c，AD和α的方程来解决问题. 二、考点题型 类型Ⅰ：中线类问题 【例1】在△ABC中, BC边上的中线AD=2, 则a= . 【反思】中线有关的计算常用上面的三种方法，后续变式都可一题多解，为了篇幅简洁，后两题都用解法1作答，解法1可称为“双余弦法”. 【变式1】在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,且 (1)求B; (2)若D为边AC的中点, 且a=3, c=4, 求中线BD的长. 【变式2】在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且 (1) 若△ABC的面积S满足S=2cosA, 求角A; (2) 若边 BC上的中线为AD, 求AD 长的最小值. 类型Ⅱ：比例线有关的问题 【例2】在△ABC中, D为边BC上一点, BD=3CD, 若则a= . 【反思】当D不再是中点，而是三等分点、四等分点这些情况时，双余弦、向量的方法仍然适用. 【变式】 在△ABC中,内角A,B, C的对边分别为a, b, c, 点D在边BC上,∠ADB=120°, AD=2, CD=2BD, 当 取得最小值时, BD= . 【反思】比例线问题常用双余弦、向量两种方法求解，但具体选哪种，还需看实际情况. 例如本题若将 用 和 表示，则∠ADB =120°这条件就不方便使用了，故本题应选择双余弦的方法. 类型Ⅲ：角平分线有关的问题 【例3】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知b=2, c=4,∠BAC=120°,∠BAC的角平分线交边 BC于点 D, 则AD= . 【反思】利用小三角形面积之和等于大三角形面积建立方程的方法可称为“等面积法”，常解决已知或求顶角的平分线的相关问题. 【变式1】在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b=2, c=4,∠BAC的角平分线交边BC于点D,且AD=2, 则cos∠BAC= . 【变式2】已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若 点 D 在 BC上, 且AD平分角A, AD=1, 则a的最小值为 . 【变式3】在 中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 若D为边BC上一点,且 求cosC. 【反思】AD 不再是角平分线，但解法1的思路源于角平分线性质定理的推导过程，利用面积比得到边长比；解法2则抓住∠ADB和∠ADC互补，构造方程，这也是本节题型常用的建立等量关系的方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$