第5章 解三角形的代数问题　讲义——2025届高三数学一轮复习

模块2 代数问题篇 §第 1节 解三角形中的化角类问题 一、内容提要 在三角形中研究某三角代数式的范围，往往通过消元将其化为一个角(单变量) 的三角函数研究； 对于部分有关边长的范围问题，也可由正弦定理边化角，转化成三角代数式来分析范围. 1.已知某个角或某两个角的关系时，可结合A+B+C=π，将目标三角代数式消元化为单变量函数. 2. 对于边的齐次分式，可先用正弦定理边化角，再消元化单变量函数. 3. 对于知道一边一角求有关边长的问题(例如已知A和b，求c的范围)， 可用正弦定理，由 解出 达到化角的目的，再消元化单变量函数. 4. 化为单变量函数后，常需要限定角度范围，以下是常见的限定方式： ①锐角△ABC给定某角：如给定角 让求 B的范围，应考虑B，C两个内角，由不等式组 求解B的范围； ②钝角△ABC给定某角：如给定角 让求B的范围，应分B或C为钝角讨论. 若B为钝角，则C为锐角，所以 若C为钝角，则B为锐角，所以 上述两个不等式组的解集取并集，得到B的取值范围. ③锐角△ABC结合角的关系限定角的范围：例如给出A=2B，让求B的范围， 则 A-B=π-3B, 可由不等式纟 解B的范围. ④锐角△ABC结合三角函数关系限定角的范围：例如，给出 让求B的范围，可由 结合B为锐角得出B的范围是 二、考点题型 类型Ⅰ：三角代数式的消元 【例1】已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且 则 的取值范围是 . 【反思】当求范围的代数式中有两个角时，常考虑用这两个角的关系来消元，化为单变量函数求值域. 【变式1】在锐角△ABC中, 则 sin Asin C的取值范围是 . 【变式2】△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 (1) 求A; (2)若 证明：△ABC是直角三角形. 【总结】从上面几道题可以看出，当三角形的三角代数式中有两个或多个角时，可利用题干所给角的关系、内角和为π来消元，化为单变量三角代数式分析，且应求出角的准确范围. 类型Ⅱ：齐次的边化角，再消元 【例2】若△ABC的面积为 为钝角，则 的取值范围是 . 【反思】遇到边的齐次分式，可考虑正弦定理边转角，化成例1的角度型代数式，再消元成一元函数研究. 【变式1】 记的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知sin B =-cosC, 求 的最小值. 【变式2】在锐角△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,若 则 的取值范围是 . 【反思】①虽然A 不是特殊角，但知道了sinA和cosA，依然可以消元； ②对C的范围限定有难度，由于A不是特殊角，所以C的范围无法给出具体度数，故用A 来表示，也能求出tanC 的范围. 类型Ⅲ：非齐次的边化角，再消元 【例3】△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c,且则B= ;c的取值范围是 . 【反思】本题相比于例2，边长不再是齐次分式，但当知道2R的值时，依旧可以使用正弦定理边化角. 【变式】锐角△ABC是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 则 的取值范围是 ( ) 【例4】锐角△ABC的内角A, B, C的对边分别是a, b, c, 已知求 的面积的取值范围. 【反思】①解法1将求S的范围转化为求a的范围，此时虽不知道2R，但由于知道一边一角，仍可用正弦定理边化角，转化为例2类型的角度相关范围问题； ②A为锐角⇔ §第2节 解三角形中的化边类问题 一、内容提要 在三角形中，对于求值或范围等问题除了化角之外，还可以用正弦定理、余弦定理化边来分析. 当化为了某条边长的代数式时，常需要限定该边的取值范围，下面归纳常见的限定方式： ①对于任意三角形，都有任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ②对于锐角三角形，有 所以 ③对于钝角三角形，例如A为钝角，则 故 二、考点题型 类型Ⅰ ：用余弦定理化边分析 【例1】在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c(cosA+1)=acosC, 且a, b,c是公差为-2的等差数列，则a= . 【反思】当所给边长条件较多，而边角等式中又有内角余弦值时，可考虑用余弦定理推论将其化边. 【变式】在△ABC中,内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 的面积为 则 【反思】像 这种边的二次齐次式，若用正弦定理化角不易推进，也可考虑用余弦定理化简. 类型Ⅱ：余弦定理化边与不等式综合 【例2】在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且2sinB-sinC=2sinAcosC. (1) 求A; (2)若 求a的取值范围. 【反思】余弦定理是沟通a²，b+c和 bc的桥梁，所以涉及相关最值，可考虑运用余弦定理. 【变式1】如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪(记为△ABC)，图中 DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，如果要沿DE 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 ( ) C. 3 【变式2】在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若 则当A最大时， sin C=( ) 【反思】在知道边长关系的前提下，角的最值常通过取余弦值，再化边，结合基本不等式来分析. 【例3】在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 则当△ABC的周长最大时，△ABC的面积为( ) §第3节 代数式的恒等变形 一、内容提要 本节是对解三角形中稍微复杂一点的代数式的恒等化简，通过各种形式的变化，加深对正余弦定理以及三角公式的理解. 虽然本节有一定难度，但仍建议大家掌握好. 二、考点题型 类型 Ⅰ：判定三角形的形状 【例1】在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【变式】(多选) 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是( ) A. 若则△ABC一定是等边三角形 B. 若acosA=bcosB, 则△ABC一定是等腰三角形 C. 若bcosC+ccosB=b, 则△ABC一定是等腰三角形 D. 若 则△ABC一定是锐角三角形 【总结】判断三角形形状时，若出现边角混合等式，考虑的方向和之前所学一样，不外乎边化角，寻找角的关系；或角化边，分析边的关系. 类型Ⅱ：恒等变形综合 【例2】在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且则( ) A. sin A: sin B: sin C=4:5:8 B. △ABC的最大内角是最小内角的两倍 C. △ABC是钝角三角形 D. 若c=6, 则△ABC的外接圆直径是 【反思】看到连比式或连等式，常通过设k来将变量全部用k表示； 再次提醒：已知三边关系用余弦定理. 【例3】在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 则△ABC的内切圆的面积为 . 【反思】①像A=2B这种条件，除了对角消元，还可考虑两端取正弦、余弦、正切，其中取正弦后分别用正弦定理和余弦定理推论角化边较简单，另外两种常较复杂； ②△ABC的内切圆半径r一般用公式 来计算，其中 S和l分别为△ABC的面积和周长，由 即可证明该公式. 【例4】 在△ABC中, 已知a=3, b=2c. (1) 若 求△ABC的面积; (2) 若2sinB-sinC=1, 求△ABC的周长. 【例5】△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知△ABC的面积为 (1) 求sinBsinC; (2) 若6cosBcosC=1, a=3, 求△ABC的周长. 【反思】第二问的核心是对6cosBcosC=1这一条件的处理，看到这一结构应联想到余弦的和差角公式，于是还需要 sin BsinC，第(1) 问的结果恰好也提示了这一考虑的方向. 【例6】在锐角△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若△ABC的面积 给出下面两个结论: ①sinA=2sinBsinC; ②tanAtanBtanC的最小值为8. 则( ) A. ①正确, ②错误 B. ①错误, ②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【反思】在非直角△ABC中, tanAtanBtanC=tan A+tanB+tanC, 熟悉这一正切恒等式,可以速解一些有类似结构的三角形问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$