第5章 解三角形相关定理的应用讲义——2025届高三数学一轮复习

第5章解三角形 模块1 相关定理的基本应用 §第1节 正弦定理、余弦定理基础模型 一、内容提要 解三角形主要用正弦定理和余弦定理，若涉及面积，还需用到面积公式，下面先梳理有关的基础知识和基本方法.(如无特别说明，本章的a，b，c均指△ABC的内角A，B，C的对边) 1. 基础知识 ①正弦定理： 其中R为△ABC的外接圆半径. ②余弦定理：a² osC. ③余弦定理推论： ④△ABC的面积 2. 基本方法 ①根据A+B+C=π,已知任意两角,可求出第三个角；已知一个角，就意味着已知另外两角的关系. ②正弦定理： 任取其中两项相等，都可以得到一个边与所对角正弦值的关系，所以涉及两边及其对角的解三角形问题都可以考虑正弦定理，常见的有以下两种情况： (i) 已知两边一对角，求角：不妨假设已知a，b和A，求C，如图1，可按下述步骤求解. 第1步：由正弦定理 解出 第2步: 根据求得的 sin B 计算角B; 第3步：由计算出 C. ( ii)已知两角及一边，求其余边：不妨设已知角A，B和边a，如图2，可按下述步骤求解. 第1步: 根据A+B+C=π求出第三个内角C; 第2步：根据正弦定理 求出边b和c. ③余弦定理： 反映的是三边与内角余弦值的关系，所以涉及三边一角的问题，都可以考虑使用余弦定理，常见的有以下两种情况： (i)已知两边及一角，求第三边：可直接对已知的角用余弦定理，求出第三边. 例如，若已知a, b和C, 如图3, 则可直接由 求出c. ( ii) 已知三边求角：不妨设求角A，可直接由 求出cosA, 再求出角A. 二、考点题型 类型Ⅰ：用正弦定理解三角形 【例1】在 中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 则 【变式1】 在△ABC中,角A,B, C的对边分别为a,b,c,已知 求 sin A的值. 【变式2】在△ABC中, 则 的面积为 . 【总结】从例1及变式1和变式2可以看出，涉及两边两对角，可用正弦定理解三角形. 类型Ⅱ：用余弦定理解三角形 【例2】 在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a,b, c, 已知 求c的值. 【变式1】在△ABC中, 则cosB= ( ) A. B. 【变式2】若△ABC的内角A, B, C满足2sinA=3sinB=4sinC, 则cosA= . 【反思】从例2和后面的2个变式可以看出，已知两边一角求第三边，已知两边及夹角求其余边或角，已知三边(或三边比例关系) 求角，都可使用余弦定理及其推论求解. 【例3】如图, 在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1, AB=AD= , AB⊥AC, AB⊥AD, ∠CAE=30°,则cos∠FCB= . §第2节 三角恒等式的常见变形 一、内容提要 1. 恒等变换：除了三角恒等变换公式，还需注意三角形内角和为π. 例如, sin(A+B)= sin(π-C)=sinC, cos(A+B)= cos(π-C)=-cosC. 2. 正弦定理边角互化及外接圆半径R： ①齐次的边与内角正弦值互化: a=b⇔sinA=sinB; ②分式转化： ③涉及外接圆半径： 3. 余弦定理及其推论： ①涉及 这类含边的平方的结构，考虑利用余弦定理及其推论； ②等式中有cosA，且边化角不易，可考虑将cosA换成 角化边处理； ③涉及a±b和ab的关系，考虑将余弦定理配方处理，即 二、考点题型 类型Ⅰ：正弦定理边角互化 【例1】 在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, c=2bcosB, 求 B. 【反思】当所给等式左右两侧有齐次的边或内角正弦值时，可考虑用正弦定理边角互化； 类似的，像 和 这类齐次分式，也可用正弦定理来互化. 【变式1】在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若 则A= . 【反思】变形时可以考虑利用三角形内角和为π，拆掉像sinB这种单独的项，拆sinB 的标志是等式的其余项中有 sin A cosC 或cosAsinC. 【变式2】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 2sinBsinC, 求 的值. 【反思】可以发现，即使是非齐次的边或内角正弦值，在已知了外接圆半径 R 的条件下，也可用a=2RsinA来边化角，用 来角化边，其它边角同理. 类型Ⅱ：余弦定理边角互化 【例2】在 中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 求 的面积. 【反思】出现像 这种结构，是运用余弦定理及其推论的标志. 【变式1】在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知, 求A. 【反思】像c-b=acosB-bcosA这类边角等式，考虑的方向不外乎边化角，寻找角的关系； 或者角化边，寻找边的关系. 在选择方法时，应先预判计算量. 【变式2】在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知 的面积为 则△ABC的周长为 ( ) 【反思】将余弦定理 配方，可沟通b+c和 bc，这是给出A和a时常用的处理方法. 类型Ⅲ：综合应用 【例3】在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若a=2, 则△ABC的面积为( ) B. 1 C. D. 2 【变式】记△ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,已知 sinCsin(A-B)= sinBsin(C-A). (1) 证明: (2) 若求△ABC的周长. 【总结】从本节的几道例题可以看出，三角恒等式变形的核心是边角转化，用正弦定理来边角转化的特征是“齐次”，用余弦定理来边角转化的特征是“形式”. §第3节 角的取舍 一、内容提要 解三角形问题中，计算角时，可能会出现增根，常通过以下方式舍增根： 1. 大边对大角, 若a>b,则 所以必有B为锐角； 2. 三角形内角和为π，所以任意两角的内角和小于π； 3. 已知角A=α, 则 所以B， 二、考点题型 类型 Ⅰ：通过大边对大角舍增根 【例1】在△ABC中,则A=( ) A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 30° 【反思】本题由于a>b，所以A>B，故A 可取锐角或钝角，两个都不能舍. 【变式1】在△ABC中, 则B=( ) A. 30° B. 30°或 C. 120° D. 150° 【反思】在知道边长的条件下，可根据大边对大角来决定是否舍根，在例1中a>b，所以A>B，则A 可取钝角或锐角，有两解； 而在变式1中，由于b<a，所以B<A，故B 只能取锐角. 【变式2】在△ABC中, 若△ABC有两解，则x的取值范围是 . 【总结】大边对大角，记住只有大边所对的角，才可能有多解. 类型Ⅱ：通过分析角的范围取解 【例2】在△ABC中, 求 B. 【变式】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=c,且则B=( ) 学科网（北京）股份有限公司 $$