5.4 抛体运动的规律（4个知识点＋1个方法技巧＋9大题型＋分层训练）-2024-2025学年高一物理同步题型分类讲与练（人教版2019必修第二册）

5.4 抛体运动的规律 01导图速览 02必备知识 ►知识点1 平抛运动的速度 ►知识点2 平抛运动的位移与轨迹 ►知识点3 一般的抛体运动 ►知识点4 平抛运动的两个重要推论 03方法技巧 ►方法技巧1 平抛运动模型分析 04经典题型 题型1 平抛运动规律的理解与应用 题型2 斜面上的平抛运动问题 题型3 平抛运动与曲面的结合 题型4 平抛运动的两个推论 题型5 平抛运动的实际应用 题型6 类平抛运动问题 题型7 斜抛运动 题型8 平抛运动的相遇问题 题型9 与平抛运动相关的临界问题 05分层训练 基础练 提升练 知识点1 平抛运动的速度 1、平抛运动的研究方法 平抛运动是匀变速曲线运动，不能直接应用匀变速直线运动的公式，常常采用运动的分解的方法，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，即分别在水平方向和竖直方向上运用两个分运动的规律求分速度和分位移，再用平行四边形定则求解平抛运动的速度和位移。 2、速度规律 （1）分速度：水平分速度： 竖直分速度： （2）合速度：大小： 方向： 3、速度的变化量 做平抛运动的物体，水平方向分速度保持不变，竖直方向加速度恒为g，竖直方向分速度。从抛出时刻起，每隔∆t时间，速度的矢量关系如图所示。可以得出两个结论： （1）任意时刻速度的水平分量均等于初速度。 （2）任意两个相等的时间间隔内∆t速度变化量相同，，方向竖直向下。 知识点2 平抛运动的位移与轨迹 1、平抛运动的位移 以抛出点为原点，以初速度的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立平面直角坐标系。经过时间t物体水平位移为x，竖直位移为y，位移为s，与水平方向夹角为α。 （1）水平分位移： （2）竖直分位移： （3）合位移：大小： 方向： （4）任意时刻物体的位置坐标：（，） 2、平抛运动的轨迹 由，，消去t，得，该式具有 （a为常量）的形式，根据数学知识可知，它的图像是一条抛物线。 知识点3 一般的抛体运动 1、斜抛运动的定义 如果物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，这种抛体运动叫斜抛运动。 2、斜抛运动的基本规律 （1）速度：水平速度： 竖直速度： （2）位移：水平位移： 竖直位移： （3）轨迹方程：，是一条开口向下的抛物线。 （4）最大高度和射程 ①到达最大高度时，物体在竖直方向的分速度为零，故，则最大高度。 ②当物体在竖直方向上的位移为零时,物体到达最远点，此时有，解得。 由此得射程。由上式可知当时，射程最大。 知识点4 平抛运动的两个重要推论 1、速度偏向角与位移偏向角的关系 做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则。 2、平抛物体速度反向延长线的特点 做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 方法技巧1 平抛运动模型分析 图示 物理量分析 方法 ， 联立得 分解速度，构建速度三角形，确定时间，进一步分析位移 ， 联立得 分解位移，构建位移三角形 P点处速度方向与斜面平行，分解速度，求离斜面最远时运动的时间 （不同，与竖直墙壁的碰点不同） 已知高度情况，根据， 可判断大小 也可利用推论（2），利用几何关系求解 抓住水平位移相同的条件，根据不同的已知条件，选取不同方法，注意推论（2）的灵活运用，速度反向延长线均交于Q点 题型1 平抛运动规律的理解与应用 【例1】（24-25高三上·江苏宿迁·期中）如图所示。摩托车后轮离开地面后可以视为平抛运动。摩托车以某一速度飞出，后轮落到壕沟对面水平路面。忽略运动中空气阻力，若摩托车冲出的速度增大，则（　　） A．在空中运动时间不变 B．在空中运动时间变短 C．落地速度与水平面夹角不变 D．落地速度与水平面夹角变大 【答案】A 【解析】AB．根据平抛运动规律 由此可知，若摩托车冲出的速度增大，但h不变，则运动时间不变，故A正确，B错误； CD．设落地速度与水平面夹角为θ，则 由于运动时间t不变，v0增大，tanθ减小，θ减小，故CD错误。 故选A。 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出的速度大小为，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地高度为1.25m，，忽略空气阻力，则射出的水（    ） A．在空中的运动时间为0.25s B．水平射程为6m C．落地时的速度大小为 D．落地时竖直方向的速度大小为 【答案】D 【解析】A．根据 得运动时间 故A错误； B．水平射程为 故B错误； CD．竖直方向分速度为 水平分速度为 落地速度为 故C错误，D正确。 故选D。 【变式1-2】（24-25高三上·福建·期中）一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高，水落地的位置到管口的距离为。不计空气阻力及摩擦力，取重力加速度大小，则水从管口喷出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平抛运动知识可知 ， 其中 可得水从管口喷出的初速度大小为 故选D。 【变式1-3】（24-25高二上·江苏淮安·月考）小球从A点以水平初速度做平抛运动落到水平地面上，当小球运动过程中水平位移和竖直位移相等时，小球的瞬时速度大小为 。 【答案】 【解析】根据平抛运动规律有 ， 解得 则小球的瞬时速度 解得 【变式1-4】（24-25高二上·湖南·期中）如图，水平飞行的轰炸机释放一枚炸弹，正好击中一艘静止的船舰，水平距离，炸弹在空中的运动时间。不计空气阻力，重力加速度。求： （1）飞机释放炸弹时在空中飞行的高度； （2）炸弹击中船舰时的速度大小和方向。 【答案】（1）1125m （2）250m/s，与水平面夹角为37° 【解析】（1）炮弹做有初速度的平抛运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向为匀速直线运动（炮弹脱离飞机后水平速度不再变化），则应为自由落体15s所走距离。炮弹在竖直方向自由落体运动，时间为15s，则 代入解得 （2）炮弹击中目标时速度朝右下方，将速度水平竖直分解。水平速度由炮弹水平方向做匀速直线运动解出，竖直方向速度由炮弹竖直方向做自由落体运动解出。炮弹水平方向匀速直线运动，时间为15s，距离为3km，则 竖直方向自由落体运动 根据合速度与分速度关系 设速度与水平面夹角为，则 解出 ， 【变式1-5】（23-24高一下·广东肇庆·月考）从某高度处以10m/s的初速度水平抛出一物体，经2s落地，g取10m/s2，求： （1）物体做平抛运动的位移； （2）物体的末速度和速度的变化量。 【答案】（1），与水平方向的夹角为 （2）见解析 【解析】（1）物体做平抛运动的水平位移为 竖直位移为 则物体做平抛运动的位移大小为 与水平方向的夹角为，则有 可得 （2）物体落到的竖直分速度为 则物体的末速度大小为 与水平方向的夹角为，则有 物体的速度变化量为 方向竖直向下。 题型2 斜面上的平抛运动问题 【例2】（23-24高一下·湖南娄底·期末）如图所示，一束平行光垂直斜面照射，小球从斜面上的点以初速度沿水平方向抛出，落在斜面上的点，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球在空中飞行时间与无关 B．小球速度最大时距离斜面最远 C．小球在斜面上的投影匀速移动 D．小球在斜面上的投影加速移动 【答案】D 【解析】A．由 得 可知小球只要落在斜面上，在空中运动的时间与初速度有关，故A错误； B．当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，此时速度不是最大，故B错误； C D．将速度分解成平行与垂直斜面方向，平行斜面方向运动是匀加速直线运动，而垂直斜面方向先匀减速直线运动，后匀加速直线运动，可知小球在斜面上的投影加速移动，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·福建泉州·期末）如图所示，从倾角为的斜面上的点水平抛出一个小球，小球的初速度为，最后小球落在斜面上的点，则重力加速度为 （　　） A．可求、之间的距离 B．可求小球到达点时的速度方向但不能求出大小 C．可求小球到达点时的速度大小但不能求出方向 D．可以断定，当小球速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大 【答案】AD 【解析】A．已知位移的与水平方向之间的夹角为，而由平抛运动的规律可知 可求得时间为 即可求得竖直位移，再由几何关系可求得间的距离，故A正确； BC．由 可求得竖直分速度，由速度的合成与分解可求得最后末速度的大小和方向，故BC错误； D．将初速度沿斜面和垂直于斜面进行分解，同时将加速度也同方向分解，当垂直于斜面的速度为零时，即当小球速度方向与斜面平行时，小球距离斜面最远，故D正确。 故选AD。 【变式2-2】（多选）（23-24高一下·广东揭阳·期末）在第二十四届北京冬奥会上，中国运动员在自由式滑雪比赛中取得优异成绩，某滑雪赛道示意图如图所示，运动员从较高的坡面滑到A处时，沿水平方向以速度飞离坡面，落到倾角为θ的斜坡B处，若不计空气阻力，运动员可视为质点，重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　） A．运动员在空中飞行时处于失重状态 B．运动员在空中经历的时间为 C．运动员落到斜坡上时，速度方向与坡面平行 D．运动员落到斜坡时的速度大小为 【答案】AB 【解析】A．运动员在空中飞行时做平抛运动，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故A正确； B．运动员做平抛运动，落到斜坡上时，有 解得 故B正确； C．运动员落到斜坡上时，水平分速度大小为，竖直方向分速度大小为 设速度方向与水平方向的夹角为，可知 可知此时速度方向与坡面不平行，故C错误； D．运动员落到斜坡时的速度大小为 故D错误。 故选AB。 【变式2-3】（多选）（24-25高三上·陕西西安·期中）如图所示，挡板OA与竖直方向的夹角为，小球（视为质点）从O点的正上方高度为H的P点以大小为的初速度水平抛出，落到斜面上时，小球的位移与斜面垂直，重力加速度大小为g，不讨论小球落到斜面后的情况，下列说法正确的是（    ） A．小球落到斜面上的速度大小为 B．小球在空中运动的时间为 C． D．若小球抛出时的初速度大小为，则挡板OA与竖直方向的夹角为45° 【答案】BD 【解析】AB．设小球在空中运动的时间为，小球落到斜面的速度为，则速度与的夹角为；设水平位移为，竖直位移为，如图 则 ，， 解得 ， 故A错误，B正确； C．小球落到斜面的竖直方向的位移 解得 故C错误； D．由，，可得 即 故D正确。 故选BD。 【变式2-4】（23-24高一下·广东·期末）捶丸起源于唐代的步打球，是一种以杖击球的体育活动，类似今天的高尔夫。如图所示，某次捶丸游戏中游戏者将可视为质点的小球从斜面顶端A点以水平初速度m/s击出，小球落到斜面上某点。已知斜面AB的长度m，倾角，不计空气阻力，取重力加速度大小m/s2。 （1）求小球在空中运动的时间t； （2）求小球落到斜面前瞬间的速度大小； 【答案】（1）1s （2）m/s 【解析】（1）设小球的位移大小为，竖直方向上有 水平方向上有 代入数据得小球在空中运动的时间 （2）小球落到斜面上时竖直方向的分速度大小 小球落到斜面前瞬间的速度大小 m/s 【变式2-5】（23-24高一下·安徽·月考）如图所示是位于同一竖直平面内的游戏装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角的固定斜面，A是斜面上距离O点水平距离的点。游戏时让小球从距离O点某高度处自由落下，在O点与三棱柱碰撞（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同。若小球恰好垂直斜面打在A点为游戏取胜，重力加速度g取，，，不计空气阻力。求游戏取胜时： （1）小球落在A点的速度大小v； （2）小球自由下落时距离O点的高度H； （3）小球在空中运动的总时间t。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）小球由O点运动至A做平抛运动。将小球在A点的速度v分解为、，并将v反向延长交水平位移的中点P如图所示： 设O、A的两点的高度差为h，由几何知识知 代入数据得 竖直方向有 解得 而 解得 （2）小球平抛运动中 解得 小球与三棱柱碰撞后，速度方向变为水平向右，大小不变，即小球自由下落到O点的速度大小为 由 解得 （3）设小球做自由落体运动的时间为，做平抛运动的时间为，有 ， 解得 ， 小球在空中飞行的时间 题型3 平抛运动与曲面的结合 【例3】（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 【答案】B 【解析】A．竖直方向上，根据 可得 可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为 故A错误； B．三个小球下落相同高度的情况下，C小球抛得最远，A小球拋得最近，由x=vt知平抛初速度满足 故B正确； C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误； D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系 速度与水平方向夹角大于60°，故D错误。 故选B。 【变式3-1】（23-24高一下·广东深圳·月考）如图所示，一个倾角为的面与圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度不同，则运动时间一定不同 B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定相等 C．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同 D．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 【答案】C 【解析】A．小球在空中做平抛运动，满足 故当小球落在斜面和圆弧等高位置时，运动时间相同，初速度不同，故A错误； B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，由平抛运动规律 可知，小球落到斜面和圆弧等高位置时，竖直方向分速度大小相等，水平方向速度大小不相等，故合速度大小不相等，故B错误； C．小球落到斜面上时，位移与水平方向夹角为，由平抛规律可知，速度与水平方向夹角满足 故小球落到斜面上时，其速度方向与水平方向夹角为定值，故C正确； D．小球落到圆弧面上时，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为2R，竖直位移为零，与平抛运动性质不符，故D错误。 故选B。 【变式3-2】（23-24高一下·贵州遵义·开学考试）挂完窗帘，小明的初中同学在寝室一楼叫他，原来是让小明把几本书拿给她，小明寝室在五楼，小明不想下楼，则从窗户O点抛出的三本书（视为理想平抛运动），做平抛运动的轨迹如图所示，则三本书做平拖运动的初速度、、的关系和三个物体做平抛运动的时间、、的关系分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】三本书都做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，取一个相同的高度，此时物体的下降的时间相同，如图所示 由 知水平位移大的物体的初速度较大，得 平抛运动竖直方向做自由落体运动，由 知物体下降的高度决定物体运动的时间，得 故选C。 【变式3-3】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期中）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（    ） A．小球有可能垂直打到圆弧面上 B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短 C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长 D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同 【答案】AD 【解析】A．如图所示 根据平抛运动推论：速度方向延长线交于水平位移的中点，当圆心O为图中水平位移的中点时，即小球垂直打在圆弧面B点时，故A正确； B．根据 当小球打在斜面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越大，可知小球运动的时间越长；当小球打在圆弧面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越小，可知小球运动的时间越短，故B错误； C．当小球刚好落在O点正下方时，下落高度最大，运动时间最长，则有 ， 联立解得 故C错误； D．若小球抛出的速度小于，可知小球均落在斜面上，根据平抛运动推论可知，落到斜面上时速度偏角均满足 即落到斜面时速度偏角均相同，故D正确。 故选AD。 【变式3-4】（多选）（22-23高一上·浙江台州·期末）如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心О竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当v0大小不同时，小球的落点B也不同。重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　） A．当时，小球可以经过О点 B．当时，A、B两点位于一条直径上 C．当v0取不同值时，小球从A点运动到B点的时间不可能相同 D．若B点在О点的正下方，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大 【答案】AD 【解析】A．运动过程中经过O点，满足 解得 故A正确； B．A、B两点位于一条直径上，满足 解得 故错误； C．当大小不同时，小球的落点B可能位于同一水平面上，所以运动时间可能相同，故C错误； D．当B点位于O点正下方时，满足 解得 此时小球运动的时间最长，则由 可知此时速度变化量最大，故D正确。 故选AD。 题型4 平抛运动的两个推论 【例4】（24-25高三上·山西太原·期中）跳台滑雪运动中，运动员从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，着陆瞬间速度方向竖直向下。、间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为，重力加速度取。下列说法正确的是（    ） A．运动员在处的速度大小一定为 B．运动员在空中飞行的时间一定为3s C．运动员在空中离坡面的最大距离一定为9m D．运动员以不同速度水平飞出，到达斜面的速度可能相同 【答案】D 【解析】ABC．假设运动员离开平台后做平抛运动，则 解得 s，，m 但由于在斜坡处着陆，着陆瞬间速度方向竖直向下，则运动员运动过程中有阻力影响，故ABC错误； D．因受到空气阻力的作用，在水平方向和竖直方向都有影响，风力不一定是恒力，导致速度大的受到的空气阻力可能大和速度小的落在斜面上时具有相同的速度。 故D正确； 故选D。 【变式4-1】（23-24高一下·陕西渭南·期中）从地面上方某点，将一小球以5m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经过1s落地，不计空气阻力，取，则可求出（　　） A．小球落地时的速度大小是10m/s B．小球从抛出点到落地点的位移大小是5m C．小球抛出时离地面的高度是5m D．小球落地时速度方向与水平地面的夹角为30° 【答案】C 【解析】A．小球落地时的竖直速度 落地速度大小是 选项A错误； C．小球抛出时离地面的高度是 选项C正确； B．小球从抛出点到落地点的水平位移 位移大小是 选项B错误； D．小球落地时速度方向与水平地面的夹角为 则 θ≠30° 选项D错误。 故选C。 【变式4-2】（23-24高一下·福建莆田·月考）如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【答案】A 【解析】B．根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得 联立得 故B错误； A．飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上b点时速度 飞镖打在靶上c点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上c点时速度 故A正确； C．平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有 两飞镖在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，故C错误； D．水平方向做匀速直线运动，根据 两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，故D错误。 故选A。 【变式4-3】（多选）（23-24高一下·广东汕头·月考）如图为湖边一倾角为的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石块，已知，重力加速度，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）。 A．若，则石块一定落入水中 B．若，则石块不可以落入水中 C．若石块能落入水中，则越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与无关 【答案】ABD 【解析】AB．小石块恰好到达点O时，有 解得 所以当，则石块一定落入水中，，则石块不可以落入水中，故AB正确； C．若石块能落入水中，则有 时间t一定，越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小，故C错误； D．设速度方向与水平方向的夹角为，则 则为定值，速度方向与斜面的夹角也是定值，与v0无关，故D正确； 故选ABD。 【变式4-4】（多选）（23-24高三上·广东深圳·月考）如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（    ） A．两只飞镖的抛出速度满足 B．两只飞镖击中墙面的速度满足 C．两只飞镖的运动时间一定相等 D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点 【答案】AD 【解析】A．设水平距离为，飞镖的初速度为，击中墙面的速度为，速度与竖直方向的夹角为，则有 联立解得 由于从同一位置O抛出，相同，所以有 故A正确； B．击中墙面的速度为 由于 则有 故B错误； C．竖直方向有 可得 可知两只飞镖的运动时间一定不相等，故C错误； D．根据任意时刻速度的反向延长线一定经过此时沿抛出方向水平总位移的中点，可知插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点，故D正确。 故选AD。 题型5 平抛运动的实际应用 【例5】（23-24高一下·甘肃天水·期末）如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为s，不计空气阻力。若拦截成功，则v1，v2的关系应满足（　　） A．v1=v2 B． C． D． 【答案】D 【解析】水平炮弹做平抛运动，则有 ， 竖直炮弹做竖直上抛运动，则有 解得 故选D。 【变式5-1】（23-24高一下·全国·课后作业）飞行员驾驶飞机进行投掷炸弹训练，日的是营造实战环境，提高飞行员战术水平，熟悉武器装备性能，实现人与装备的最佳融合。某次训练飞机在高空中水平匀速飞行时投下炸弹，如图所示，忽略空气阻力对炸弹的影响。关于炸弹在离开飞机后的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．地面上的观察员看到炸弹做自由落体运动 B．地面上的观察员看到炸弹沿斜下方做匀速直线运动 C．地面上的观察员看到炸弹做平抛运动 D．飞机上的观察员看到炸弹做平抛运动 【答案】C 【解析】D．由于炸弹与飞机具有相同的水平速度，所以飞机上的观察员看到炸弹在空中排成一条竖直线，D错误； ABC．地面上的观察员看来，炸弹做平抛运动，AB错误，C正确。 故选C。 【变式5-2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的水平距离为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 【答案】AB 【解析】AB．设乒乓球被击出时的初速度大小为v0，乒乓球被击出后做平抛运动，恰好经过网上边沿的c点，设所用时间为t，则有 ， 解得 设球落在球台上的时间为t1，落点与击出点之间的水平距离为l，则有 ， 解得 故AB正确； C．球在竖直方向做自由落体运动，在落点d处竖直方向的速度为vy，落点d处速度方向与水平方向的夹角为θ，则有 ， 解得 故C错误； D．若保持击球高度不变，且垂直MN击打乒乓球，当球恰好不出界时，则平抛运动的速度为 但若只限定在b点水平击出，则水平位移的最大值应该是a点与P或Q的连线，大于2L，因此最大速度应该大于v，而平抛运动的最小速度为 故D错误。 故选AB。 【变式5-3】（多选）（23-24高一下·内蒙古兴安盟·月考）如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。是竖直墙上三点，与出射点处于同一水平线上，两点分别为两次试验时击中的点，，，出射点到点的距离为，当地重力加速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．出射速度足够大，网球也不可能击中点 B．发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇 C．击中A点的网球的初速度大小为L D．网球击中B点时速度大小为 【答案】ACD 【解析】A．网球做平抛运动，不管出射速度足够大，竖直方向的位移不为零，所以网球不能击中点，故A正确； B．发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相等，竖直位移不相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B错误； C．对于击中A点的网球，根据平抛运动的规律可得 ， 解得击中A点的网球的初速度大小为 故C正确； D．网球击中点时，据平抛运动的规律可得 ， 解得击中B点的网球的初速度大小为 网球击中点时时速度大小为 故D正确。 故选ACD。 【变式5-4】（24-25高三上·河北衡水·期中）如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴的端距桌面的高度为h，发射器部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度水平发射出去，其中，g为重力加速度。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，求 （1）乒乓球能打到的最小水平位移和最大水平位移； （2）乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S。 【答案】（1）2h，4h （2） 【解析】（1）乒乓球做平抛运动，在竖直方向有 解得乒乓球做平抛运动的时间 当初速度最小时，水平位移 当初速度最大时，水平位移 （2）落点对应的四分之一圆环（乒乓球第一次与桌面相碰区域）的小圆半径，大圆半，则持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积 题型6 类平抛运动问题 【例6】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 【答案】B 【解析】AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动 沿水平方向做匀速运动 根据牛顿第二定律有 联立解得 根据题意可知 物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 故A错误，B正确； C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为     故C错误； D．速度变化量的大小为 物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 故D错误。 故选B。 【变式6-1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 【答案】D 【解析】ABC．根据题意可知，物体水平方向不受力，以做匀速直线运动，竖直方向上，由牛顿第二定律有 解得 竖直方向做匀加速直线运动，可知，物体做类平抛运动，则从运动到的轨迹是抛物线，竖直方向上有 解得物体从M运动到N的时间为 可知减小水平初速度，物体运动时间不变，故ABC错误； D．物体在水平方向做匀速直线运动，M与N之间的水平距离为 故D正确。 故选D。 【变式6-2】（多选）（24-25高三上·河北邯郸·期中）如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 【答案】AC 【解析】A. A做平抛运动，加速度为g。B的加速度为 A与B的加速度大小之比为 A正确； B. 设高度为h，则 ， 得 B错误； C. 由 A与B的在x轴方向位移大小之比为 C正确； D. B的水平位移为 A与B的水平位移大小之比不等于，D错误。 故选AC。 【变式6-3】（多选）（23-24高一下·辽宁大连·月考）2022年2月18日，我国运动员夺得北京冬奥会自由式滑雪女子U形场地技巧赛冠军。比赛场地可简化为如图甲所示的模型：滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为。某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为v的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘AD的夹角为，腾空后沿轨道边缘AD上的N点进入轨道，腾空过程（从M点运动到N点的过程）的左视图如图乙所示。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员腾空过程中处于超重状态 B．运动员腾空过程中离开AD的最大距离为 C．运动员腾空的时间为 D．M、N两点的距离为 【答案】BD 【解析】A．运动员腾空过程中仅受重力处于完全失重状态，A错误； B．运动员在M点时垂直AD方向的速度大小 设运动员在ABCD面内垂直AD方向的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 设运动员腾空过程中离开AD的最大距离为d，根据匀变速直线运动的规律有 解得 B正确； C．运动员在M点时平行AD方向的速度大小 设运动员在ABCD面内平行AD方向的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 可得运动员从M点到离开AD最远的时间 根据对称性可知，运动员腾空的时间 C错误； D．根据匀变速直线运动的规律可知，M、N两点的距离 D正确； 故选BD。 【变式6-4】（23-24高一下·湖南衡阳·月考）风洞试验主要采用人工的方式产生并且控制气流，在风洞中安置飞行器或其它物体模型，研究气体流动与模型的相互作用，从而了解实际物体的空气动力学特性。某次风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度方向的夹角为。求： （1）小球从O点运动到P点的时间t； （2）小球运动到P点时的速度大小v； （3）小球从O点运动到P点的位移大小L。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设小球运动到点时的速度大小为之间的距离。以点为坐标原点、初速度方向为轴正方向、风力方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示 沿方向有 沿风力方向 又有 联立解得 （2）小球运动到点时 小球运动到点时的速度大小 解得 （3）之间的距离 解得 题型7 斜抛运动 【例7】（24-25高三上·江西·月考）2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队勇夺网球女子单打首枚金牌。若某次训练中，她第一次在地面上方A点把网球以初速度水平击出，落在水平面上B点；第二次在地面上方C点把网球以一定初速度斜向上击出，初速度方向与水平方向的夹角为，网球运动的最高点恰好为A点，落在水平面上D点，如图为网球两次运动的轨迹，两轨迹在同一竖直平面内，A点在水平地面的投影点为，，A点到地面的距离是C点到地面的距离的，不计空气阻力，重力加速度大小为g，。下列说法错误的是（    ） A．网球两次在空中均做匀变速运动 B．网球第二次的初速度大小为 C．A、C两点间的水平距离为 D．网球在B点的速度大小为 【答案】D 【解析】A．网球在空中只受重力，网球两次在空中均做匀变速运动，故A正确； B．设、两点距离为，第二次网球过点后做平抛运动，根据 ， 解得水平方向的速度为 结合，可得第二次网球过A点的速度大小为 网球第二次的初速度大小为 故B正确； C．初速度竖直分量 网球从点到A点的时间 、两点间的水平距离为 故C正确； D．根据题意有 即 网球在点，竖直方向的速度为 又水平方向的速度为，故网球在B点的速度大小为 故D错误。 本题选错误的，故选D。 【变式7-1】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图所示，某同学在操场上练习投掷铅球，将铅球从某一水平面的A点以仰角斜向上抛出，铅球运动过程中经过同一水平面上与A点相距的B点，且最高点距AB水面5m。忽略空气阻力，则（　　） A．铅球从A到B的运动时间为4s B．铅球在最高点的速度大小为20m/s C．保持投掷的速度大小不变，增大仰角，铅球从抛出到经过同一水平面时运动的水平距离增大 D．保持投掷的速度大小不变，增大仰角，铅球从抛出到经过同一水平面时运动的时间增大 【答案】D 【解析】A．铅球在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得铅球从A到B的运动时间为 A错误； B．铅球在水平方向的速度为 在最高点竖直方向速度为零，则铅球在最高点的速度大小为，B错误； C．根据运动的分解可得 铅球运动的时间 可得水平距离 由数学知识可知 时，水平距离有最大值，C错误； D．根据 可知增大仰角θ，铅球的运动时间增大，D正确。 故选D。 【变式7-2】（23-24高一下·江西·期末）篮球运动中，“快攻”是一种很具有观赏性的进攻方式。发球者从底线将篮球大力发出，接球者迅速跑到前场接球，攻框得分。篮球的运动可视为忽略空气阻力的抛体运动，某时刻，接球者从距离发球者12.6m的位置向对方场地匀速奔跑，与此同时，发球者将球沿斜向上的方向抛出，速度与水平方向夹角为37°，发球与接球时篮球离地高度相同，重力加速度g取10m/s2。为使接球者奔跑9m后接到篮球，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（　　） A．发球者抛出篮球的速度为16m/s B．篮球在空中运动的时间为1.6s C．接球者奔跑的速度为5m/s D．篮球在空中运动的加速度先减小后增大 【答案】C 【解析】AB．将篮球在空中的运动分解为水平和竖直方向，篮球从抛出到最高点过程中在竖直方向有 水平方向匀速直线运动，有 联立解得 v＝15m/s，t1＝0.9s 篮球在空中运动的时间为1.8s，故AB错误； C．接球者做匀速直线运动，奔跑的速度为 故C正确； D．篮球在空中运动只受到重力作用，所以加速度恒为重力加速度，故D错误。 故选C。 【变式7-3】（多选）（23-24高一下·安徽·月考）如图为某炮兵部队在训练中以大小相同的初速度、不同的仰角从水平地面O点发射炮弹，不考虑空气阻力。关于炮弹在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．仰角越大，炮弹的加速度越大 B．仰角不同，也有可能落在地面同一位置 C．仰角时，炮弹的水平射程最远 D．当炮弹的水平射程最远时，炮弹在空中的时间最长 【答案】BC 【解析】A．炮弹在空中运动，只受重力，加速度为重力加速度，恒定不变，故A错误； BC．设炮弹的初速度为，炮弹在空中运动的时间 水平方向 可知当仰角时，炮弹的水平射程最大，炮弹的水平射程最远，当仰角不同时，可能相等，即有可能落在地面同一位置，故BC正确； D．根据可知仰角越大，即趋近，炮弹在空中的时间越长，故D错误。 故选BC。 题型8 平抛运动的相遇问题 【例8】（23-24高一下·福建南平·期末）如图所示，在竖直平面内位于等高的P、Q两点的两个小球相向做平抛动，二者恰好在M点相遇。已知P、Q、M三点组成边长为L的等边三角形，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相等 C．两个小球相遇时速度大小相等 D．两个小球相遇时速度方向间的夹角为60° 【答案】C 【解析】A．由公式 知两小球下落的竖直高度相同，则时间相同，即两个小球一定同时抛出，A错误； B．由公式 两个小球水平位移相同，时间相同，可知两球的初速度大小一定相同，但方向不同，B错误； C．两个小球相遇时，因水平速度和竖直速度大小均相同，可知合速度大小一定相等，C正确； D．两个小球相遇时速度方向与竖直方向的夹角为 代入得 则，则两个小球相遇时速度方向间的夹角不等于，D错误。 故选C。 【变式8-1】（23-24高一下·天津静海·月考）如图所示，从水平面上A点正上方处的点水平向右抛出一个小球的同时，位于A点右方远处的物块B正以的加速度从静止开始做匀加速运动，恰好在点被小球击中．重力加速度取，不计空气阻力，则（　　） A．物块B从开始运动到被击中的运动时间为 B．小球的初速度越大，它在空中飞行的时间越长 C．小球的水平射程为 D．小球击中物块B时的速度为10m/s 【答案】A 【解析】AB．小球在空中做平抛运动，竖直方向有 解得 可知小球在空中飞行的时间与小球的初速度无关，物块B从开始运动到被击中的运动时间为，故A正确，B错误； C．物块B的位移为 则小球的水平射程为 故C错误； D．小球的初速度为 小球击中物块B时的竖直分速度为 则小球击中物块B时的速度为 故D错误。 故选A。 【变式8-2】（23-24高一下·贵州·月考）乒乓球是我国的国球，是一项集健身、竞技和娱乐为一体的运动项目。我国乒乓健儿也多次在国际赛事上取得优异成绩。如图，两名运动员从乒乓球台两端的正上方不同高度处分别发出A、B两球（B球的高度大于A球的高度，两球到球网的水平距离相等），假设两球都做平抛运动，都恰好能越过球网，同时落到对方台面上，则下列说法正确的是（　　） A．A球比B球先出发 B．B球先到达球网上端 C．落到球台前瞬间，B球的速度一定较大 D．B球落到球台上时，距球网更近 【答案】D 【解析】A．B球下落的高度大于A球下落的高度，由竖直方向的位移关系 可知，B球下落的时间大于A球下落时间，由于两球同时落到对方台面上，故B球比A球先发出，A错误； B．由于B球的高度大于A球，故B球到达球网上端时的竖直方向的分速度大于A的竖直方向的分速度，故B球从网高落入台面所用的时间较少，两球同时落到对方台面上，故A球先到达球网上端，B错误； C．B球抛出点到网的高度大于A球抛出点到网的高度，故B球从抛出点到达球网的上端所用的时间大于A球，此过程中水平位移相同，故B球的水平初速度小于A球的水平初速度。两球落到地面时，A球的水平方向的分速度较大，B球的竖直方向分速度较大，且AB球下落高度和网的高度以及水平位移没有具体数据，故无法判断落到球台前瞬间两球的速度大小关系，C错误； D．B球的水平初速度小于A球的水平初速度，又由于B球从网高落入台面所用的时间较少，根据水平方向的位移 B球落到球台上时，距球网更近，D正确。 故选D。 【变式8-3】（23-24高三下·云南·月考）如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1的初速度大小为，方向水平，谷粒2的初速度大小为，方向与水平方向之间的夹角为37°。忽略空气阻力，重力加速度为g，取。谷粒2从O点运动到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设谷粒1、谷粒2从点运动到点的时间分别为，根据运动的合成和分解，对谷粒1有 对谷粒2有 由以上各式解得 故选C。 【变式8-4】（多选）（23-24高一下·四川乐山·期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（　　） A．初速度、大小之比为3∶4 B．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D C．若大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则应增大到原来2倍 D．若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍 【答案】ACD 【解析】A．两小球竖直位移相同，则运动时间相同，初速度、大小之比为 故A正确； C．若让两球仍在OC竖直面相遇，则 其中 ， 若大小变为原来的两倍，则时间t变为原来的一半，要能相遇，则乙球的速度要增大为原来的2倍， 故C正确； B．甲球落在D、C两点时的竖直位移之比为 根据可知甲球落在D、C两点时的时间之比为 甲球落在D、C两点时的水平位移之比为 根据可知甲球落在D、C两点时的初速度大小之比为 故若大小变为，则甲球恰能落在斜面的中点D， 故B错误； D．若要甲球垂直击中圆环BC，则击中BC时的速度方向一定过O点，且根据平抛运动规律的推论可知O点为甲球水平位移的中点，故甲球落点到A点的水平距离为 竖直距离为 结合在C点相碰 ， 根据 解得 ， 所以若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍，故D正确。 故选ACD。 【变式8-5】（多选）（23-24高一下·福建泉州·月考）军事演习中，点的正上方离地高处的蓝军飞机以水平速度投掷一颗炸弹攻击地面目标，反应灵敏的红军的地面高炮系统同时在点右方地面上点以速度斜向左上方发射拦截炮弹，两弹恰在、连线的中点正上方相遇爆炸，不计空气阻力，则发射后至相遇过程（　　） A．两弹飞行的水平速度大小相等 B．初速度大小关系为 C．拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动 D．两弹相遇点一定在距离地面高度处 【答案】AC 【解析】AB．由于两弹恰在M、N连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度大小相等，设v2与水平方向夹角为，即 则 故A正确，B错误； C．两弹都只受到重力，都做匀变速运动，加速度相同，所以拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动，故C正确； D．根据题意可知两弹运动的时间相同，但不知道拦截炮弹竖直方向初速度的具体值，所以不能判断两弹相遇点距离地面的高度，故D错误。 故选AC。 题型9 与平抛运动相关的临界问题 【例9】（2024高三·全国·专题练习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】乒乓球水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发球点到球网，下降高度为，水平位移大小为，可得运动时间 对应的最小初速度 水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，可得落到球台上的时间 根据几何关系此时的位移大小为，所以平抛的最大初速度 因此速度的最大取值范围是 故选D。 【变式9-1】（23-24高一下·安徽六安·期末）小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.25m，已知墙壁的厚度d=0.35m。小明在离墙壁距离L=1.4m，距窗子上沿高h=0.2m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2，则v的取值范围约为（　　） A．v>2m/s B．v>2.5m/s C．2m/s<v<7m/s D．2.5m/s<v<7m/s 【答案】D 【解析】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时最大。此时有 ， 代入解得 ， 恰好擦着窗口下沿左侧时速度最小，则有 ， 解得 ， 故的取值范围是 故选D。 【变式9-2】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图所示，沙滩排球比赛中，球员将球在边界中点正上方水平击出，空气阻力忽略不计。 （1）若球刚好过网落在对方场地中间位置，求击球高度H与球网高度h之比； （2）若已知击球高度、球网高度、半个球场的长度为x，整个球场的宽度为2d，重力加速度为g，球既不出界又不触网，求其初速度大小的范围。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）球击出后做平抛运动，刚好落在对方场地中间，水平方向有 竖直方向有 刚好过网，其竖直方向有 水平方向有 解得 （2）恰好不触网，竖直方向有 水平方向有 不出界的临界状态，竖直方向有 水平方向有 若要球即不触网又不出界，则 【变式9-3】（22-23高一下·江西南昌·月考）如图为一娱乐节目中的某个通关环节示意图，参赛选手从高台上以一定的速度水平跳出，落在水中的平台上才能进入下一通关环节。图中高台离水面高，平台左端距离高台，平台宽度为。不计空气阻力，重力加速度取。求： （1）选手落到平台上的时间； （2）选手要落到平台上，水平跳出时速度的范围。 【答案】（1）0.8s；（2） 【解析】（1）平抛运动公式 代入数据得 （2）由 代入数据得 由 代入数据得 故跳出时速度的范围为 【变式9-4】（2024·山东·模拟预测）中国国家女子排球队是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一。为备战奥运，2024年4月3日下午，中国女排回漳州体育训练基地展开为期40天的集训。已知排球场长，宽，球网高，某队员在训练中，从底线中点正上方高处将球以的速度水平击出，若球能够进入对方场内（g取），不计一切阻力。 （1）求的大小范围； （2）若球恰好擦着球网进入对方场内，求发球的最大速度（不计排球擦网时的阻力）。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当排球的初速度沿垂直于底线方向且恰好擦网时有最小值，竖直方向有 水平方向有 解得 当排球落在对方底角时，初速度有最大值，竖直方向有 水平方向有 解得 所以能进入对方场内的速度范围。 （2）当排球落在侧边线上时，满足条件初速度沿着垂直于底线方向的分量 初速度沿着平行于底线方向的分量 则有 基础练 1．如图所示，从水平地面上的P点同时抛出两个小球A、B，两小球分别落在地面上的M、N两点，两小球上升的最大高度相同，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两小球同时着地 B．两小球在最高点时的速度相同 C．两小球着地时的速度大小相等 D．小球A着地时的速度比小球B着地时的速度大 【答案】A 【解析】A．两小球上升的最大高度相同，竖直方向根据可知两小球飞行的时间相等，故两小球同时着地，选项A正确； B．由于小球B的射程更大，因此小球B在最高点的速度比小球B在最高点的速度大，选项B错误； CD．两小球着地时在竖直方向的速度相等，而小球B在水平方向的速度更大，故小球B在着地时的速度更大，选项CD错误。 故选A。 2．如图，篮球从水平地面上方的某点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的点，不计空气阻力。抛出时篮球的速度大小为，方向与水平成角。若抛射点向远离篮板方向水平移动一小段距离，保持抛射点高度不变，要使抛出的篮球仍能垂直击中篮板上的点，则下列措施可行的是（　　） A．不变，增大 B．不变，减小 C．增大，减小 D．增大，不变 【答案】C 【解析】将篮球运动的逆过程看做是反向的平抛运动，则竖直高度不变，根据 则时间不变，当水平位移增加时，根据 可知水平速度增加，竖直速度vy=gt不变。 根据， 可知增大，减小。 故选C。 3．（22-23高一下·吉林延边·月考）如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 【答案】C 【解析】A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有 x=v0t 飞镖击中墙面的速度与竖直方向夹角的正切值为 联立，解得 α越大，v0越大，故有 vA0>vB0>vC0 故A错误； BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，可得飞镖击中墙面的速度 故 vA=vC＞vB 故B错误；C正确； D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点。故D错误。 故选C。 4．（24-25高一上·上海·期末）如图，在某次飞行演习中，以水平匀速飞行的飞机，某时释放一颗模拟弹，经时间t后炸弹垂直击中倾角为θ的山坡。则时间t为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】炸弹垂直击中倾角为θ的山坡，则有 又 联立可得 故选D。 5．（23-24高一下·浙江·期中）在一次紧急救灾行动中，一架飞机在空中沿水平方向向左做匀减速直线运动，过程中连续（相等时间间隔）释放沙袋。若不计空气阻力，则在一段时间后下列各图中能反映空中沙袋排列关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以某个沙袋抛出点为坐标原点O，初速度方向为x轴，竖直向下为y轴，设该沙袋抛出瞬间水平方向速度为，经时间t位置坐标为P（x，y）。根据平抛运动公式有 设此时飞机坐标为Q（x1，y1），飞机向左做匀减速直线运动，则 如图 则 不变，则说明沙袋相对飞机的运动方向不变。 故选A。 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量不相同 B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为 C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为 D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短 【答案】B 【解析】A．摩托车在空中做平抛运动，加速度不变，由 可知，相同时间内的速度变化量相同，故A错误； B．摩托车越过壕沟的过程，竖直方向有 可得 故B正确； C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度满足 求得 故C错误； D．摩托车在空中运动的时间由竖直方向下落的高度决定，若摩托车越不过壕沟，其落点如果在壕沟最深处的右侧，则初速度越小在空中运动的时间越长，落点如果在壕沟最深处的左侧，则初速度越小在空中运动的时间越短，故D错误。 故选B。 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）（多选）如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高处将排球以的速度水平击出，乙同学在离地高处将排球垫起。重力加速度g取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．排球被垫起前在空中运动的时间为 B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为 C．排球被垫起前瞬间的速度大小为 D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为 【答案】BC 【解析】AB．设排球在空中飞行的时间为t，则 解得 则排球在空中飞行的水平距离 故B正确、A错误； CD．竖直方向有 可得 则排球被垫起前瞬间的速度大小 代入数据可得 方向与水平方向夹角正切 代入数据可得 即瞬时速度方向与水平方向夹角不为，故C正确、D错误。 故选BC。 8．（24-25高三上·江西赣州·期中）跳台滑雪是一种雪上竞技类的运动项目，运动员在滑雪道上获得一定的速度后从跳台上飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得a、b间竖直的高度差，运动员着陆时的速度与水平方向成角，已知重力加速度，，，运动员在空中运动的空气阻力不计。求： （1）运动员在空中的飞行时间； （2）运动员离开跳台的速度大小； （3）斜坡与水平方向间的夹角。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）运动员在竖直方向做自由落体运动，有 解得运动员在空中运动时间为 （2）运动员着地时，竖直方向的速度为 根据速度的分解可得运动员水平方向的速度为 （3）运动员的水平位移为 设斜面与水平面的夹角为，则 即斜面夹角为 提升练 9．（2025·河南信阳·二模）标准篮球场的三分线为一个半径为6.25m的半圆弧线，圆心在球篮的中心垂直线与地面的交点处，球篮与地面的垂直高度为3.05m。一个篮球运动员从三分线上的两不同位置竖直跳起斜向上投出篮球，篮球都恰好进入篮筐，两次篮球投掷点与篮筐的高度都相同，不计篮球运动受到的空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．同一次投篮过程篮球入篮时的速度与抛出时的速度相同 B．篮球抛出时与水平方向夹角越大，则抛出时的速度越大 C．篮球抛出时与水平方向夹角越大，在篮球入篮前运动时间越长 D．篮球抛出速度大小相同时，抛出时与水平方向夹角可以不同 【答案】D 【解析】A．由题意，篮球做斜抛运动且篮球的起点和终点在同一高度上，则同一次投篮过程篮球入篮时的速度与抛出时的速度大小相等，但方向不同，故A错误； B．设篮球抛出点和球蓝的距离为，篮球抛出的初速度大小为，与水平方向夹角为θ，由斜抛运动可知运动时间为 ， 当不变时，在时，θ越大，越小，在时，θ越大，越大，故B错误； D．由可知，相同时，θ有两个值，故D正确； C．由可知与和θ都有关，故C错误。 故选D。 10．（24-25高一上·湖北恩施·期末）轰炸机是军用飞机之一，在某次演习中，轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹，初速度大小为v0，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为θ=37°，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。下列说法正确的是（　　） A．炸弹刚落到山坡时的速度大小是 B．炸弹从水平投出到落到斜坡上，所用的时间是 C．炸弹从投出到落到斜坡上的位移为 D．炸弹从水平投出到落在斜坡上位移偏转角为速度偏转角的一半 【答案】C 【解析】A．由题意，炸弹刚落到山坡时有 可得炸弹刚落到山坡时的速度大小 故A错误； B．炸弹刚落到山坡时 得炸弹从水平投出到落到斜坡上，所用的时间是 故B错误； C．炸弹从投出到落到斜坡上的水平及竖直位移大小为 ， 得 ， 由勾股定理可知位移大小 故C正确； D．根据平抛运动推论，可知炸弹从水平投出到落在斜坡上时速度偏转角与位移偏角与满足 二者不是2倍关系，故D错误。 故选C。 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）为了研究空气动力学问题，如图所示，某人将质量为的小球从距地面高处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，在竖直方向上阻力不计，且小球恰能无碰撞地通过细管，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．小球在管外运动的时间为 B．小球的初速度大小为 C．风力的大小为 D．小球落地时的速度大小为 【答案】C 【解析】AB．小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运动过程中，有 解得小球在管外运动的时间为 小球在水平方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通过管子，故小球到管口时水平速度刚好减为零，设小球的初速度为，则有 解得小球的初速度大小为 故AB错误； C．设风力大小为F，水平方向根据牛顿第二定律有 由匀变速直线运动规律可得 联立可得 故C正确； D．小球到达上管口时，水平速度减为零，进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地全程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有 解得小球落地时的速度大小为 故D错误。 故选C。 12．（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示，光滑斜面ABCD为边长a=2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的时间为0.5s B．小球在B点的速度大小为2.5m/s C．小球在D点的速度大小为5m/s D．小球的速度变化量大小为10m/s 【答案】B 【解析】AB．对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得 解得 m/s2 方向沿斜面向下； 小球从B到D做类平抛运动，水平方向有 沿斜面向下方向有 联立方程解得 s，m/s 故A错误，B正确； C．沿斜面向下方向有 m/s 在D点的速度为 m/s 故C错误； D．速度的变化量为 m/s 故D错误。 故选B。 13．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）如图所示，半球面的半径为，球面上点与球心等高，小球先后两次从点以不同的速度沿方向抛出，下落相同高度，分别撞击到球面上点。设上述两过程中小球运动时间分别为，速度的变化量分别为。则（　　） A． B． C．，式中为重力加速度 D．撞击点时的速度方向与球面垂直 【答案】C 【解析】A．小球做平抛运动，根据 可知，运动时间相同，A错误； B．根据 由于运动时间相同，所以速度变化量也相同，B错误； C．设两小球的水平位移分别为和，由几何关系可知 根据平抛运动规律，可知 联立可得 C正确； D．若撞击点时的速度方向与球面垂直，则点速度方向的反向延长线过圆心O，根据平抛运动的推论，速度的反向延长线一定过水平位移的中点，而O点不是水平位移的中点，与假设相矛盾，所以撞击点时的速度方向与球面不垂直，D错误。 故选C。 14．（23-24高一下·浙江·月考）如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现将两个小球在两点，分别以的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点，已知，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．两球抛出的速度大小之比为 B．若仅增大，则两球将在落入碗中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上同一点，两球抛出的速率之和就不变 D．若仅从点水平抛出小球，无论如何改变小球抛出的速度，都不可能垂直打在碗上 【答案】C 【解析】A．由几何知识可知，M的水平位移 N的水平位移 由于二者在空中运动时间相等，所以二者的水平速度之比就等于其水平位移之比，即 A正确； B．若仅增大，水平运动看相遇时间变短，竖直方向上的位移会变小，故还没落在圆弧上，两小球可能在空中相遇，B正确； C．要使两小球落在圆弧的同一点上，则有 即 落点不同，竖直方向上的位移不同，故运动时间不同，所以不是定值，C错误； D．如果能够垂直落入坑中，速度反向延长线应过圆心，水平位移应为，应打到点，但由平抛运动知识可知，小球不可能打到点，D正确。 本题选择不正确的，故选C。 15．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在水平桌面左边缘静止放置质量为1kg的物块（视为质点），当对物块施加大小为5N的力，与水平方向夹角，物块开始加速向右运动，运动到右边缘时，立刻撤去外力，物块从右边缘飞出。桌长为1m，物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面距离地面高度为0.2m，，，，求： （1）物块在水平桌面上运动时的加速度大小； （2）物块从脱离桌面到落地的水平距离。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）对物块受力分析，正交分解，根据牛顿第二定律 水平 竖直 而摩擦力 联立解得 （2）设物块离开桌面时的水平方向速度大小为，则匀变速直线运动 物块离开桌面做平抛运动，水平 竖直 联立解得 16．（24-25高一上·河北邯郸·期末）一质量的物块从距地面高为H的平台边缘以某一速度水平抛出，恰好落在倾角的光滑斜面顶端，且速度方向平行于斜面，物块运动至斜面底端后立即滑上停靠在斜面底端的长木板。若以物块从平台抛出的位置为坐标原点建立如图所示的坐标系，则物块由抛出至落到斜面顶端的运动轨迹满足抛物线方程。已知斜面长度，物块通过斜面底端与长木板连接处时速度大小不变；长木板的质量，长木板足够长且厚度不计，物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数。重力加速度g取，。求： （1）平台距地面的高度H； （2）物块从平台抛出至静止所用的时间。 【答案】（1）1.122m （2）3.6s 【解析】（1）物块做平抛运动，根据平抛运动公式 联立可得 根据题意有 解得 落到斜面上时速度沿斜面方向，则有 平抛运动的时间为 下落的高度为 平台距地面的高度 （2）物块在斜面上时，根据牛顿第二定律，有 解得 根据位移-时间公式 解得 物块运动到木板上时的速度为 在木板上滑动时，对物块，有 解得 对木板，有 解得 令共速时间为t3，则有 解得 此时物块和木板共速 接下来物块和木板一起做匀减速，有 解得加速度为 速度减为零所以时间为 物块从平台抛出至静止所用的时间为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4 抛体运动的规律 01导图速览 02必备知识 ►知识点1 平抛运动的速度 ►知识点2 平抛运动的位移与轨迹 ►知识点3 一般的抛体运动 ►知识点4 平抛运动的两个重要推论 03方法技巧 ►方法技巧1 平抛运动模型分析 04经典题型 题型1 平抛运动规律的理解与应用 题型2 斜面上的平抛运动问题 题型3 平抛运动与曲面的结合 题型4 平抛运动的两个推论 题型5 平抛运动的实际应用 题型6 类平抛运动问题 题型7 斜抛运动 题型8 平抛运动的相遇问题 题型9 与平抛运动相关的临界问题 05分层训练 基础练 提升练 知识点1 平抛运动的速度 1、平抛运动的研究方法 平抛运动是匀变速曲线运动，不能直接应用匀变速直线运动的公式，常常采用运动的分解的方法，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，即分别在水平方向和竖直方向上运用两个分运动的规律求分速度和分位移，再用平行四边形定则求解平抛运动的速度和位移。 2、速度规律 （1）分速度：水平分速度： 竖直分速度： （2）合速度：大小： 方向： 3、速度的变化量 做平抛运动的物体，水平方向分速度保持不变，竖直方向加速度恒为g，竖直方向分速度。从抛出时刻起，每隔∆t时间，速度的矢量关系如图所示。可以得出两个结论： （1）任意时刻速度的水平分量均等于初速度。 （2）任意两个相等的时间间隔内∆t速度变化量相同，，方向竖直向下。 知识点2 平抛运动的位移与轨迹 1、平抛运动的位移 以抛出点为原点，以初速度的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立平面直角坐标系。经过时间t物体水平位移为x，竖直位移为y，位移为s，与水平方向夹角为α。 （1）水平分位移： （2）竖直分位移： （3）合位移：大小： 方向： （4）任意时刻物体的位置坐标：（，） 2、平抛运动的轨迹 由，，消去t，得，该式具有 （a为常量）的形式，根据数学知识可知，它的图像是一条抛物线。 知识点3 一般的抛体运动 1、斜抛运动的定义 如果物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，这种抛体运动叫斜抛运动。 2、斜抛运动的基本规律 （1）速度：水平速度： 竖直速度： （2）位移：水平位移： 竖直位移： （3）轨迹方程：，是一条开口向下的抛物线。 （4）最大高度和射程 ①到达最大高度时，物体在竖直方向的分速度为零，故，则最大高度。 ②当物体在竖直方向上的位移为零时,物体到达最远点，此时有，解得。 由此得射程。由上式可知当时，射程最大。 知识点4 平抛运动的两个重要推论 1、速度偏向角与位移偏向角的关系 做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则。 2、平抛物体速度反向延长线的特点 做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 方法技巧1 平抛运动模型分析 图示 物理量分析 方法 ， 联立得 分解速度，构建速度三角形，确定时间，进一步分析位移 ， 联立得 分解位移，构建位移三角形 P点处速度方向与斜面平行，分解速度，求离斜面最远时运动的时间 （不同，与竖直墙壁的碰点不同） 已知高度情况，根据， 可判断大小 也可利用推论（2），利用几何关系求解 抓住水平位移相同的条件，根据不同的已知条件，选取不同方法，注意推论（2）的灵活运用，速度反向延长线均交于Q点 题型1 平抛运动规律的理解与应用 【例1】（24-25高三上·江苏宿迁·期中）如图所示。摩托车后轮离开地面后可以视为平抛运动。摩托车以某一速度飞出，后轮落到壕沟对面水平路面。忽略运动中空气阻力，若摩托车冲出的速度增大，则（　　） A．在空中运动时间不变 B．在空中运动时间变短 C．落地速度与水平面夹角不变 D．落地速度与水平面夹角变大 【变式1-1】（2025高三·全国·专题练习）小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出的速度大小为，水射出后落到水平地面上。已知枪口离地高度为1.25m，，忽略空气阻力，则射出的水（    ） A．在空中的运动时间为0.25s B．水平射程为6m C．落地时的速度大小为 D．落地时竖直方向的速度大小为 【变式1-2】（24-25高三上·福建·期中）一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高，水落地的位置到管口的距离为。不计空气阻力及摩擦力，取重力加速度大小，则水从管口喷出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·江苏淮安·月考）小球从A点以水平初速度做平抛运动落到水平地面上，当小球运动过程中水平位移和竖直位移相等时，小球的瞬时速度大小为 。 【变式1-4】（24-25高二上·湖南·期中）如图，水平飞行的轰炸机释放一枚炸弹，正好击中一艘静止的船舰，水平距离，炸弹在空中的运动时间。不计空气阻力，重力加速度。求： （1）飞机释放炸弹时在空中飞行的高度； （2）炸弹击中船舰时的速度大小和方向。 【变式1-5】（23-24高一下·广东肇庆·月考）从某高度处以10m/s的初速度水平抛出一物体，经2s落地，g取10m/s2，求： （1）物体做平抛运动的位移； （2）物体的末速度和速度的变化量。 题型2 斜面上的平抛运动问题 【例2】（23-24高一下·湖南娄底·期末）如图所示，一束平行光垂直斜面照射，小球从斜面上的点以初速度沿水平方向抛出，落在斜面上的点，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球在空中飞行时间与无关 B．小球速度最大时距离斜面最远 C．小球在斜面上的投影匀速移动 D．小球在斜面上的投影加速移动 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·福建泉州·期末）如图所示，从倾角为的斜面上的点水平抛出一个小球，小球的初速度为，最后小球落在斜面上的点，则重力加速度为 （　　） A．可求、之间的距离 B．可求小球到达点时的速度方向但不能求出大小 C．可求小球到达点时的速度大小但不能求出方向 D．可以断定，当小球速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大 【变式2-2】（多选）（23-24高一下·广东揭阳·期末）在第二十四届北京冬奥会上，中国运动员在自由式滑雪比赛中取得优异成绩，某滑雪赛道示意图如图所示，运动员从较高的坡面滑到A处时，沿水平方向以速度飞离坡面，落到倾角为θ的斜坡B处，若不计空气阻力，运动员可视为质点，重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　） A．运动员在空中飞行时处于失重状态 B．运动员在空中经历的时间为 C．运动员落到斜坡上时，速度方向与坡面平行 D．运动员落到斜坡时的速度大小为 【变式2-3】（多选）（24-25高三上·陕西西安·期中）如图所示，挡板OA与竖直方向的夹角为，小球（视为质点）从O点的正上方高度为H的P点以大小为的初速度水平抛出，落到斜面上时，小球的位移与斜面垂直，重力加速度大小为g，不讨论小球落到斜面后的情况，下列说法正确的是（    ） A．小球落到斜面上的速度大小为 B．小球在空中运动的时间为 C． D．若小球抛出时的初速度大小为，则挡板OA与竖直方向的夹角为45° 【变式2-4】（23-24高一下·广东·期末）捶丸起源于唐代的步打球，是一种以杖击球的体育活动，类似今天的高尔夫。如图所示，某次捶丸游戏中游戏者将可视为质点的小球从斜面顶端A点以水平初速度m/s击出，小球落到斜面上某点。已知斜面AB的长度m，倾角，不计空气阻力，取重力加速度大小m/s2。 （1）求小球在空中运动的时间t； （2）求小球落到斜面前瞬间的速度大小； 【变式2-5】（23-24高一下·安徽·月考）如图所示是位于同一竖直平面内的游戏装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角的固定斜面，A是斜面上距离O点水平距离的点。游戏时让小球从距离O点某高度处自由落下，在O点与三棱柱碰撞（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同。若小球恰好垂直斜面打在A点为游戏取胜，重力加速度g取，，，不计空气阻力。求游戏取胜时： （1）小球落在A点的速度大小v； （2）小球自由下落时距离O点的高度H； （3）小球在空中运动的总时间t。 题型3 平抛运动与曲面的结合 【例3】（23-24高一下·河南·期中）如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度，，平抛出三个小球，分别经过，，的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　） A．三个小球平抛运动时间的大小关系为 B．三个小球平抛初速度的大小关系为 C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直 D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60° 【变式3-1】（23-24高一下·广东深圳·月考）如图所示，一个倾角为的面与圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度不同，则运动时间一定不同 B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定相等 C．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同 D．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直 【变式3-2】（23-24高一下·贵州遵义·开学考试）挂完窗帘，小明的初中同学在寝室一楼叫他，原来是让小明把几本书拿给她，小明寝室在五楼，小明不想下楼，则从窗户O点抛出的三本书（视为理想平抛运动），做平抛运动的轨迹如图所示，则三本书做平拖运动的初速度、、的关系和三个物体做平抛运动的时间、、的关系分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期中）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（    ） A．小球有可能垂直打到圆弧面上 B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短 C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长 D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同 【变式3-4】（多选）（22-23高一上·浙江台州·期末）如图，一半径为R的圆环固定于竖直平面内，圆心为O。现从圆环上距离圆心О竖直高度为0.5R的A点以水平初速度v0向右抛出一个小球，一段时间后，小球落在圆环上的B点（图中未画出）；当v0大小不同时，小球的落点B也不同。重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点。以下说法正确的是（　　） A．当时，小球可以经过О点 B．当时，A、B两点位于一条直径上 C．当v0取不同值时，小球从A点运动到B点的时间不可能相同 D．若B点在О点的正下方，小球从A到B的运动过程中速度变化量最大 题型4 平抛运动的两个推论 【例4】（24-25高三上·山西太原·期中）跳台滑雪运动中，运动员从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，着陆瞬间速度方向竖直向下。、间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为，重力加速度取。下列说法正确的是（    ） A．运动员在处的速度大小一定为 B．运动员在空中飞行的时间一定为3s C．运动员在空中离坡面的最大距离一定为9m D．运动员以不同速度水平飞出，到达斜面的速度可能相同 【变式4-1】（23-24高一下·陕西渭南·期中）从地面上方某点，将一小球以5m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经过1s落地，不计空气阻力，取，则可求出（　　） A．小球落地时的速度大小是10m/s B．小球从抛出点到落地点的位移大小是5m C．小球抛出时离地面的高度是5m D．小球落地时速度方向与水平地面的夹角为30° 【变式4-2】（23-24高一下·福建莆田·月考）如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【变式4-3】（多选）（23-24高一下·广东汕头·月考）如图为湖边一倾角为的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。一人站在A点处以速度沿水平方向扔小石块，已知，重力加速度，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）。 A．若，则石块一定落入水中 B．若，则石块不可以落入水中 C．若石块能落入水中，则越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大 D．若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与无关 【变式4-4】（多选）（23-24高三上·广东深圳·月考）如图，某人从同一位置O以不同的垂直墙面方向的水平速度投出两枚飞镖A、B，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为30°、60°，图中飞镖的取向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力。则下列说法正确的有（    ） A．两只飞镖的抛出速度满足 B．两只飞镖击中墙面的速度满足 C．两只飞镖的运动时间一定相等 D．插在墙上的两只飞镖的反向延长线与一定交于同一点 题型5 平抛运动的实际应用 【例5】（23-24高一下·甘肃天水·期末）如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为s，不计空气阻力。若拦截成功，则v1，v2的关系应满足（　　） A．v1=v2 B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·全国·课后作业）飞行员驾驶飞机进行投掷炸弹训练，日的是营造实战环境，提高飞行员战术水平，熟悉武器装备性能，实现人与装备的最佳融合。某次训练飞机在高空中水平匀速飞行时投下炸弹，如图所示，忽略空气阻力对炸弹的影响。关于炸弹在离开飞机后的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．地面上的观察员看到炸弹做自由落体运动 B．地面上的观察员看到炸弹沿斜下方做匀速直线运动 C．地面上的观察员看到炸弹做平抛运动 D．飞机上的观察员看到炸弹做平抛运动 【变式5-2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的水平距离为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 【变式5-3】（多选）（23-24高一下·内蒙古兴安盟·月考）如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。是竖直墙上三点，与出射点处于同一水平线上，两点分别为两次试验时击中的点，，，出射点到点的距离为，当地重力加速度为，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是（　　） A．出射速度足够大，网球也不可能击中点 B．发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇 C．击中A点的网球的初速度大小为L D．网球击中B点时速度大小为 【变式5-4】（24-25高三上·河北衡水·期中）如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴的端距桌面的高度为h，发射器部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度水平发射出去，其中，g为重力加速度。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，求 （1）乒乓球能打到的最小水平位移和最大水平位移； （2）乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S。 题型6 类平抛运动问题 【例6】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 【变式6-1】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 【变式6-2】（多选）（24-25高三上·河北邯郸·期中）如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 【变式6-3】（多选）（23-24高一下·辽宁大连·月考）2022年2月18日，我国运动员夺得北京冬奥会自由式滑雪女子U形场地技巧赛冠军。比赛场地可简化为如图甲所示的模型：滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为。某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为v的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘AD的夹角为，腾空后沿轨道边缘AD上的N点进入轨道，腾空过程（从M点运动到N点的过程）的左视图如图乙所示。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员腾空过程中处于超重状态 B．运动员腾空过程中离开AD的最大距离为 C．运动员腾空的时间为 D．M、N两点的距离为 【变式6-4】（23-24高一下·湖南衡阳·月考）风洞试验主要采用人工的方式产生并且控制气流，在风洞中安置飞行器或其它物体模型，研究气体流动与模型的相互作用，从而了解实际物体的空气动力学特性。某次风洞实验室中可以产生沿水平方向、大小可调节的风力。如图所示，将一个质量为m的小球放入风洞实验室的光滑水平地面上的O点，小球以初速度水平向右抛出，此时调节水平风力的大小为恒定值F，F的方向始终与初速度的方向垂直，最后小球运动到水平地面上的P点。已知O、P两点连线与初速度方向的夹角为。求： （1）小球从O点运动到P点的时间t； （2）小球运动到P点时的速度大小v； （3）小球从O点运动到P点的位移大小L。 题型7 斜抛运动 【例7】（24-25高三上·江西·月考）2024年巴黎奥运会上，郑钦文为中国队勇夺网球女子单打首枚金牌。若某次训练中，她第一次在地面上方A点把网球以初速度水平击出，落在水平面上B点；第二次在地面上方C点把网球以一定初速度斜向上击出，初速度方向与水平方向的夹角为，网球运动的最高点恰好为A点，落在水平面上D点，如图为网球两次运动的轨迹，两轨迹在同一竖直平面内，A点在水平地面的投影点为，，A点到地面的距离是C点到地面的距离的，不计空气阻力，重力加速度大小为g，。下列说法错误的是（    ） A．网球两次在空中均做匀变速运动 B．网球第二次的初速度大小为 C．A、C两点间的水平距离为 D．网球在B点的速度大小为 【变式7-1】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图所示，某同学在操场上练习投掷铅球，将铅球从某一水平面的A点以仰角斜向上抛出，铅球运动过程中经过同一水平面上与A点相距的B点，且最高点距AB水面5m。忽略空气阻力，则（　　） A．铅球从A到B的运动时间为4s B．铅球在最高点的速度大小为20m/s C．保持投掷的速度大小不变，增大仰角，铅球从抛出到经过同一水平面时运动的水平距离增大 D．保持投掷的速度大小不变，增大仰角，铅球从抛出到经过同一水平面时运动的时间增大 【变式7-2】（23-24高一下·江西·期末）篮球运动中，“快攻”是一种很具有观赏性的进攻方式。发球者从底线将篮球大力发出，接球者迅速跑到前场接球，攻框得分。篮球的运动可视为忽略空气阻力的抛体运动，某时刻，接球者从距离发球者12.6m的位置向对方场地匀速奔跑，与此同时，发球者将球沿斜向上的方向抛出，速度与水平方向夹角为37°，发球与接球时篮球离地高度相同，重力加速度g取10m/s2。为使接球者奔跑9m后接到篮球，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（　　） A．发球者抛出篮球的速度为16m/s B．篮球在空中运动的时间为1.6s C．接球者奔跑的速度为5m/s D．篮球在空中运动的加速度先减小后增大 【变式7-3】（多选）（23-24高一下·安徽·月考）如图为某炮兵部队在训练中以大小相同的初速度、不同的仰角从水平地面O点发射炮弹，不考虑空气阻力。关于炮弹在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．仰角越大，炮弹的加速度越大 B．仰角不同，也有可能落在地面同一位置 C．仰角时，炮弹的水平射程最远 D．当炮弹的水平射程最远时，炮弹在空中的时间最长 题型8 平抛运动的相遇问题 【例8】（23-24高一下·福建南平·期末）如图所示，在竖直平面内位于等高的P、Q两点的两个小球相向做平抛动，二者恰好在M点相遇。已知P、Q、M三点组成边长为L的等边三角形，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相等 C．两个小球相遇时速度大小相等 D．两个小球相遇时速度方向间的夹角为60° 【变式8-1】（23-24高一下·天津静海·月考）如图所示，从水平面上A点正上方处的点水平向右抛出一个小球的同时，位于A点右方远处的物块B正以的加速度从静止开始做匀加速运动，恰好在点被小球击中．重力加速度取，不计空气阻力，则（　　） A．物块B从开始运动到被击中的运动时间为 B．小球的初速度越大，它在空中飞行的时间越长 C．小球的水平射程为 D．小球击中物块B时的速度为10m/s 【变式8-2】（23-24高一下·贵州·月考）乒乓球是我国的国球，是一项集健身、竞技和娱乐为一体的运动项目。我国乒乓健儿也多次在国际赛事上取得优异成绩。如图，两名运动员从乒乓球台两端的正上方不同高度处分别发出A、B两球（B球的高度大于A球的高度，两球到球网的水平距离相等），假设两球都做平抛运动，都恰好能越过球网，同时落到对方台面上，则下列说法正确的是（　　） A．A球比B球先出发 B．B球先到达球网上端 C．落到球台前瞬间，B球的速度一定较大 D．B球落到球台上时，距球网更近 【变式8-3】（23-24高三下·云南·月考）如图甲所示，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1的初速度大小为，方向水平，谷粒2的初速度大小为，方向与水平方向之间的夹角为37°。忽略空气阻力，重力加速度为g，取。谷粒2从O点运动到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】（多选）（23-24高一下·四川乐山·期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（　　） A．初速度、大小之比为3∶4 B．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D C．若大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则应增大到原来2倍 D．若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍 【变式8-5】（多选）（23-24高一下·福建泉州·月考）军事演习中，点的正上方离地高处的蓝军飞机以水平速度投掷一颗炸弹攻击地面目标，反应灵敏的红军的地面高炮系统同时在点右方地面上点以速度斜向左上方发射拦截炮弹，两弹恰在、连线的中点正上方相遇爆炸，不计空气阻力，则发射后至相遇过程（　　） A．两弹飞行的水平速度大小相等 B．初速度大小关系为 C．拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动 D．两弹相遇点一定在距离地面高度处 题型9 与平抛运动相关的临界问题 【例9】（2024高三·全国·专题练习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·安徽六安·期末）小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.25m，已知墙壁的厚度d=0.35m。小明在离墙壁距离L=1.4m，距窗子上沿高h=0.2m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2，则v的取值范围约为（　　） A．v>2m/s B．v>2.5m/s C．2m/s<v<7m/s D．2.5m/s<v<7m/s 【变式9-2】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图所示，沙滩排球比赛中，球员将球在边界中点正上方水平击出，空气阻力忽略不计。 （1）若球刚好过网落在对方场地中间位置，求击球高度H与球网高度h之比； （2）若已知击球高度、球网高度、半个球场的长度为x，整个球场的宽度为2d，重力加速度为g，球既不出界又不触网，求其初速度大小的范围。 【变式9-3】（22-23高一下·江西南昌·月考）如图为一娱乐节目中的某个通关环节示意图，参赛选手从高台上以一定的速度水平跳出，落在水中的平台上才能进入下一通关环节。图中高台离水面高，平台左端距离高台，平台宽度为。不计空气阻力，重力加速度取。求： （1）选手落到平台上的时间； （2）选手要落到平台上，水平跳出时速度的范围。 【变式9-4】（2024·山东·模拟预测）中国国家女子排球队是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一。为备战奥运，2024年4月3日下午，中国女排回漳州体育训练基地展开为期40天的集训。已知排球场长，宽，球网高，某队员在训练中，从底线中点正上方高处将球以的速度水平击出，若球能够进入对方场内（g取），不计一切阻力。 （1）求的大小范围； （2）若球恰好擦着球网进入对方场内，求发球的最大速度（不计排球擦网时的阻力）。 基础练 1．如图所示，从水平地面上的P点同时抛出两个小球A、B，两小球分别落在地面上的M、N两点，两小球上升的最大高度相同，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．两小球同时着地 B．两小球在最高点时的速度相同 C．两小球着地时的速度大小相等 D．小球A着地时的速度比小球B着地时的速度大 2．如图，篮球从水平地面上方的某点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上的点，不计空气阻力。抛出时篮球的速度大小为，方向与水平成角。若抛射点向远离篮板方向水平移动一小段距离，保持抛射点高度不变，要使抛出的篮球仍能垂直击中篮板上的点，则下列措施可行的是（　　） A．不变，增大 B．不变，减小 C．增大，减小 D．增大，不变 3．（22-23高一下·吉林延边·月考）如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 4．（24-25高一上·上海·期末）如图，在某次飞行演习中，以水平匀速飞行的飞机，某时释放一颗模拟弹，经时间t后炸弹垂直击中倾角为θ的山坡。则时间t为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江·期中）在一次紧急救灾行动中，一架飞机在空中沿水平方向向左做匀减速直线运动，过程中连续（相等时间间隔）释放沙袋。若不计空气阻力，则在一段时间后下列各图中能反映空中沙袋排列关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量不相同 B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为 C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为 D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短 7．（24-25高一上·云南昆明·期末）（多选）如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高处将排球以的速度水平击出，乙同学在离地高处将排球垫起。重力加速度g取，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．排球被垫起前在空中运动的时间为 B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为 C．排球被垫起前瞬间的速度大小为 D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为 8．（24-25高三上·江西赣州·期中）跳台滑雪是一种雪上竞技类的运动项目，运动员在滑雪道上获得一定的速度后从跳台上飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得a、b间竖直的高度差，运动员着陆时的速度与水平方向成角，已知重力加速度，，，运动员在空中运动的空气阻力不计。求： （1）运动员在空中的飞行时间； （2）运动员离开跳台的速度大小； （3）斜坡与水平方向间的夹角。 提升练 9．（2025·河南信阳·二模）标准篮球场的三分线为一个半径为6.25m的半圆弧线，圆心在球篮的中心垂直线与地面的交点处，球篮与地面的垂直高度为3.05m。一个篮球运动员从三分线上的两不同位置竖直跳起斜向上投出篮球，篮球都恰好进入篮筐，两次篮球投掷点与篮筐的高度都相同，不计篮球运动受到的空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．同一次投篮过程篮球入篮时的速度与抛出时的速度相同 B．篮球抛出时与水平方向夹角越大，则抛出时的速度越大 C．篮球抛出时与水平方向夹角越大，在篮球入篮前运动时间越长 D．篮球抛出速度大小相同时，抛出时与水平方向夹角可以不同 10．（24-25高一上·湖北恩施·期末）轰炸机是军用飞机之一，在某次演习中，轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹，初速度大小为v0，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为θ=37°，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。下列说法正确的是（　　） A．炸弹刚落到山坡时的速度大小是 B．炸弹从水平投出到落到斜坡上，所用的时间是 C．炸弹从投出到落到斜坡上的位移为 D．炸弹从水平投出到落在斜坡上位移偏转角为速度偏转角的一半 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）为了研究空气动力学问题，如图所示，某人将质量为的小球从距地面高处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，在竖直方向上阻力不计，且小球恰能无碰撞地通过细管，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．小球在管外运动的时间为 B．小球的初速度大小为 C．风力的大小为 D．小球落地时的速度大小为 12．（23-24高一下·山东菏泽·期中）如图所示，光滑斜面ABCD为边长a=2.5m的正方形，斜面与水平面的倾角为30°。现将一小球从B处水平向左射出，小球沿斜面恰好到达底端D点。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．小球在斜面上运动的时间为0.5s B．小球在B点的速度大小为2.5m/s C．小球在D点的速度大小为5m/s D．小球的速度变化量大小为10m/s 13．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）如图所示，半球面的半径为，球面上点与球心等高，小球先后两次从点以不同的速度沿方向抛出，下落相同高度，分别撞击到球面上点。设上述两过程中小球运动时间分别为，速度的变化量分别为。则（　　） A． B． C．，式中为重力加速度 D．撞击点时的速度方向与球面垂直 14．（23-24高一下·浙江·月考）如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现将两个小球在两点，分别以的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点，已知，不计空气阻力。下列说法不正确的是（　　） A．两球抛出的速度大小之比为 B．若仅增大，则两球将在落入碗中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上同一点，两球抛出的速率之和就不变 D．若仅从点水平抛出小球，无论如何改变小球抛出的速度，都不可能垂直打在碗上 15．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）在水平桌面左边缘静止放置质量为1kg的物块（视为质点），当对物块施加大小为5N的力，与水平方向夹角，物块开始加速向右运动，运动到右边缘时，立刻撤去外力，物块从右边缘飞出。桌长为1m，物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面距离地面高度为0.2m，，，，求： （1）物块在水平桌面上运动时的加速度大小； （2）物块从脱离桌面到落地的水平距离。 16．（24-25高一上·河北邯郸·期末）一质量的物块从距地面高为H的平台边缘以某一速度水平抛出，恰好落在倾角的光滑斜面顶端，且速度方向平行于斜面，物块运动至斜面底端后立即滑上停靠在斜面底端的长木板。若以物块从平台抛出的位置为坐标原点建立如图所示的坐标系，则物块由抛出至落到斜面顶端的运动轨迹满足抛物线方程。已知斜面长度，物块通过斜面底端与长木板连接处时速度大小不变；长木板的质量，长木板足够长且厚度不计，物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数。重力加速度g取，。求： （1）平台距地面的高度H； （2）物块从平台抛出至静止所用的时间。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$