专题01 一元二次方程-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题01 一元二次方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 一元二次方程的相关概念辨析 1 题型二 一元二次方程的解的估算 2 题型三 配方法的应用 4 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 7 题型六 一元二次方程的一般解法 8 题型七 换元法解一元二次方程 11 题型八 根的判别式与根与系数的关系综合 12 题型九 一元二次方程的实际应用 13 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 一元二次方程的相关概念辨析 ⭐技巧积累与运用 （1） 一元二次方程的定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （3）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）方程化为一般形式为 ． 题型二 一元二次方程的解的估算 ⭐技巧积累与运用 夹逼法确定一元二次方程的解 例题：（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 题型三 配方法的应用 ⭐技巧积累与运用 将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，或利用（x+m）2≥0确定最值 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 2．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最值； (2)关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ⭐技巧积累与运用 b2﹣4ac>0方程有两个不相等的实数根，b2﹣4ac=0方程有两个相等的实数根，b2﹣4ac<0方程没有实数根 例题：（22-23八年级上·上海浦东新·期末）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）一元二次方程的根的判别式 0（填“”“”或“”） 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 ⭐技巧积累与运用 b2﹣4ac>0方程有两个不相等的实数根，b2﹣4ac=0方程有两个相等的实数根，b2﹣4ac<0方程没有实数根 例题：（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ． 2．（22-23九年级上·广东东莞·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)k有没有可能是该方程的一个根，如果是，请求出k的值；如果不是，请说明理由． 题型六 一元二次方程的一般解法 ⭐技巧积累与运用 配方法，公式法，因式分解法 例题：（24-25九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程 (1) (2) 2．（24-25九年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 题型七 换元法解一元二次方程 ⭐技巧积累与运用 对于复杂的方程采用换元的方法求解 例题：（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 巩固训练 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）若，则的值为 ． 2．（22-23九年级上·山东青岛·期末）已知，求的值． 题型八 根的判别式与根与系数的关系综合 ⭐技巧积累与运用 若是一元二次方程的两个根，则 例题：（24-25九年级上·全国·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根是（     ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川雅安·期末）已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为 ． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型九 一元二次方程的实际应用 ⭐技巧积累与运用 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 例题：（24-25九年级上·全国·期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若设增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________． 2．（24-25九年级上·全国·期末）某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克． (1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售 千克梭子蟹； (2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？ 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程用配方法解方程，配方的结果是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（  ） A．23 B．34 C．23或34 D．或 4．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程的一个根．则代数式的值是（　　） A． B．1 C．5 D． 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值为 ． 8．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 9．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 10．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·期末）计算题： (1)解方程：； (2)解方程：． 12．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知a、b、c满足，求： (1)a、b、c的值； (2)试求的解． 13．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元盒． 销售单价（元/盒） 日销售量（盒） (1)直接写出乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元盒）的函数表达式； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； 14．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实根， (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的函数，，（k，b为常数，且），则下列说法正确的是（    ） ①函数与，图象的总交点数至少有两个；②当时，函数和的图象有两个交点；③当时，函数和的图象只有一个交点；④无论k，b取何值，和始终有两个交点． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 2．（22-23八年级下·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．关于的方程：的解是 B．关于的方程：的解是 C．关于的二项方程：（是正整数）总有实数解 D．方程：的解只有两个 二、填空题 3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是 ．    4．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 三、解答题 5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 一元二次方程的相关概念辨析 1 题型二 一元二次方程的解的估算 2 题型三 配方法的应用 4 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 7 题型六 一元二次方程的一般解法 8 题型七 换元法解一元二次方程 11 题型八 根的判别式与根与系数的关系综合 12 题型九 一元二次方程的实际应用 13 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 一元二次方程的相关概念辨析 ⭐技巧积累与运用 （1） 一元二次方程的定义:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （3）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 例题：（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A，，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； B，是一元二次方程，符合题意； C，，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； D，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选B． 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得，解一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵1为关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）方程化为一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，多项式乘多项式，合并同类项等知识点，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 利用多项式乘多项式把方程展开，再移项，合并同类项，即可得出答案． 【详解】解：， 可化为：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 故答案为：． 题型二 一元二次方程的解的估算 ⭐技巧积累与运用 夹逼法确定一元二次方程的解 例题：（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，，而，，则可判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 【详解】解：，， ，， 时，存在某个x的值，使得， 即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握方法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 题型三 配方法的应用 ⭐技巧积累与运用 将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，或利用（x+m）2≥0确定最值 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程的问题，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可． 【详解】解： 故选D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：3． 2．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最值； (2)关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)代数式取得最大值是5 (2)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的判别式． （1）根据非负数得性质得，所以当时，式子有最大值5； （2）由题意得，整理得，即可判断，进而得证结论． 【详解】（1）解： 当时，代数式取得最大值是5； （2）证明： 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ⭐技巧积累与运用 b2﹣4ac>0方程有两个不相等的实数根，b2﹣4ac=0方程有两个相等的实数根，b2﹣4ac<0方程没有实数根 例题：（22-23八年级上·上海浦东新·期末）方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方程的根的判别式判断即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， 且， ∴， ∴方程没有实数根， 故选A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A.，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意； B. ，方程没有实数根，故选项B不符合题意； C. ，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意； D. ，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意； 故选：A 2．（23-24九年级上·吉林·期末）一元二次方程的根的判别式 0（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式为是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得答案． 【详解】解：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， 故答案为： 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 ⭐技巧积累与运用 b2﹣4ac>0方程有两个不相等的实数根，b2﹣4ac=0方程有两个相等的实数根，b2﹣4ac<0方程没有实数根 例题：（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， 则，，， ∴， 解得 故选：C． 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键． 由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（22-23九年级上·广东东莞·期末）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)k有没有可能是该方程的一个根，如果是，请求出k的值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)k有可能是该方程的一个根，， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和解一元二次方程． （1）由有实数根列出关于k的不等式，即可解得答案； （2）把代入方程，可解得k的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得； ∴k的取值范围是； （2）解：k有可能是该方程的一个根，理由如下： 当时，，即， ∴， ∴或， 解得，， ∴k有可能是该方程的一个根，k的值为，． 题型六 一元二次方程的一般解法 ⭐技巧积累与运用 配方法，公式法，因式分解法 例题：（24-25九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法解答即可求解； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 巩固训练 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答； （2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）把常数项移动等号的右边，利用配方法进行求解即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴，； （2） ∴． 题型七 换元法解一元二次方程 ⭐技巧积累与运用 对于复杂的方程采用换元的方法求解 例题：（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案． 【详解】解：设， 根据题意可得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出整体将原式进行适当变形，转化为解一元二次方程是解题的关键，并注意根据已知条件判断的值．可用换元法将原式化为，解此方程可求出的值，即可得出结果． 【详解】解：设， 则原式可化为：， 即， 解得：或， ， 故， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·山东青岛·期末）已知，求的值． 【答案】3 【分析】把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可 ． 【详解】解：设， 据题意，得． 解得． ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知换元法解一元二次方程是解题的关键． 题型八 根的判别式与根与系数的关系综合 ⭐技巧积累与运用 若是一元二次方程的两个根，则 例题：（24-25九年级上·全国·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为， 是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， 故选：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·四川雅安·期末）已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式变形为，整体代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：13 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题． （1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． （2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得， ； （2）解：． 题型九 一元二次方程的实际应用 ⭐技巧积累与运用 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 例题：（24-25九年级上·全国·期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若设增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设增长率为，根据第一天的票房收入及第三天的票房收入，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设增长率为， 依题意，得． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某小区规划在一个长为、宽为的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，若设通道的宽为．请补全关于 的方程：_________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的应用，如果设通道的宽度为,那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据每一块草坪的面积都为，可得出方程 【详解】解：设通道的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为； 根据题意即可得出方程为：， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·期末）某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克． (1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售 千克梭子蟹； (2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低7元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）利用养殖户每天的销量每千克降低的价格，即可得出y关于x的函数关系式，代入可求出y值即可； （2）利用养殖户每天的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可确定x的值，再将其代入中即可求出定价． 【详解】（1）解：设养殖户每天的销量y千克，降价x元，依题意得函数关系为， 当时，， ∴当售价降低2元时，养殖户每天可销售480千克梭子蟹； 故答案为：480； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让利顾客， ∴， 答：售价应降低7元． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程用配方法解方程，配方的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的配方．方程整理后，两边都加上9，利用完全平方公式即可将原方程配方． 【详解】解：， 整理得， 配方得， 即， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且． 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（  ） A．23 B．34 C．23或34 D．或 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，设十位数字为，个位数字为，根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为，依题意得： ， 整理得：， ∴ 解得：（舍去），， ∴， ∴， ∴这个两位数是， 故选：A． 4．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程的一个根．则代数式的值是（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义解答即可． 根据一元二次方程的解的定义可得，然后对变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故选：D． 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2013年投入=2015年投入，列出方程求解即可． 【详解】解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x， ， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即， ， ， 解得，． 检验：当时，原方程可化为， ， 方程有实数根，符合题意； 当时，原方程可化为， ， 方程无实数根，不符合题意． 故答案为： 7．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】或9 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵方程 ，即有两个相等的实数根， ∴， 解得或9， 故答案为：或9． 8．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，以a，b为边长的矩形面积为，以c为边长的正方形面积为，已知． （1）当时，则c的值是 ； （2）若c为整数，，则矩形和正方形的周长之和的值是 ． 【答案】 2 28或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形与正方形的面积公式可得，，代入，得出． （1）将代入，解方程即可求出的值； （2）由可得．代入，变形得出，根据为整数，求出可能为2或1．再求出的值，进而得到矩形和正方形的周长之和． 【详解】解：由题意可得，， ， ． （1）当时， ， 解得（负值舍去）， 即． 故答案为：2； （2）， ． ， ， ， 为整数， 可能取值有：4或1， 可能为2或1． 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，解得（负值舍去）， 矩形和正方形的周长之和为： ． 当，时，； 当，时，． 故答案为：28或． 9．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，完全平方公式，多项式乘以多项式，新定义问题，根据题意正确得到方程是解题的关键． 根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的一元二方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵ ∴， 整理得，， ， 解得或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·期末）计算题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 12．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知a、b、c满足，求： (1)a、b、c的值； (2)试求的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负性，因式分解法解方程： （1）根据非负性求出a、b、c的值即可； （2）把的值代入方程，利用十字相乘法因式分解，解方程即可； 【详解】（1）解：∵a、b、c满足，， ∴， ∴． （2）∵， ∴化为：， 则， 解得：． 13．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元盒． 销售单价（元/盒） 日销售量（盒） (1)直接写出乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元盒）的函数表达式； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； 【答案】(1) (2)当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出关系式是解此题的关键． （1）设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价利润损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可； 【详解】（1）解：设乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为， 由题意得：， 解得：， 乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得： ， 解得：，， 顾客获得最大实惠， ， 当乌馒头每盒定价元时，商店日销售纯利润为1480元． 14．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实根， (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可求解； （2）根据题意可得，将原式变形得，由此解一元二次方程，最后根据（1）中的取值方法确定值即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两实根， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可得：， ∴， 即， 解得：． ∵， ∴舍去， ∴的值为． 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 一、单选题 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的函数，，（k，b为常数，且），则下列说法正确的是（    ） ①函数与，图象的总交点数至少有两个；②当时，函数和的图象有两个交点；③当时，函数和的图象只有一个交点；④无论k，b取何值，和始终有两个交点． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，根的判别式，把函数问题转化为一元二次方程的问题利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：令，整理得， ， 且， ， 无论k，b取何值，和始终有两个交点，故④正确； 令，整理得， ， 的符号无法确定， 的符号无法确定， ∴函数与，图象的总交点数至少有两个，故①正确； 当则，当时，， ∴此时，函数和的图象无交点，故②错误； 当时，， ∴函数和的图象只有一个交点，故③正确． 综上所述正确的结论有：①③④， 故选：D． 2．（22-23八年级下·上海·期末）下列命题正确的是（    ） A．关于的方程：的解是 B．关于的方程：的解是 C．关于的二项方程：（是正整数）总有实数解 D．方程：的解只有两个 【答案】D 【分析】本题考查一元方程，根据一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式逐个判断即可． 【详解】解：A. 关于的方程：当时，的解是，故原命题不正确； B. 关于的方程：的解是，故原命题不正确； C. 关于的二项方程：当，为偶数时，（是正整数）没有实数解，故原命题不正确； D. 由于方程：的解为，只有两个，故命题正确； 故选D． 二、填空题 3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系．可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助下图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用p，q表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合下图，x的表达式中所表示的几何量是 ．    【答案】小正方形的边长 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及一元二次方程的相关概念，结合图形可知小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，问题随之得解． 【详解】结合图形可知大正方形的面积为， ∵长方形的面积为， ∴四个长方形的面积总和为， 结合图形可知：小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：， 故答案为：小正方形的边长． 4．（23-24九年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】由直线：可知是等腰直角三角形，则，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，则，，则是等腰直角三角形，先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可． 【详解】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点， 对于直线：，当时，，当时，， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，则， 设点为图形到直线的“距点”，作交于，则， 作轴交于，则，， 则是等腰直角三角形， ∴，则， 即：， 先找图形到直线的“距点”只有1个时， 即：只有1个解， 亦即：或只有1个解， ∵，则， ∴， 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 若，即， 则，解得：， 此时，，解得，即为图形到直线的“距点” 作出当，时的草图，如下： 通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为， ∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个， 则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键． 三、解答题 5．（23-24九年级下·山东烟台·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 6．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程中，我们定义方程的判别式为，当时，方程有两不同的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为，两根之积为． 已知关于x的方程： (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围． (2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值． (3)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2)，或， (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键： （1）根据判别式大于等于零列不等式求解； （2）将代入方程得，，求出m，再根据两根和列方程求出n； （3）由根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形即可求出m的值． 【详解】（1）解：因为方程有两个实数根， 所以， 解得， 所以m的取值范围是； （2）将代入方程得，， 解得． 当时，方程为 因为， 所以． 当时，方程为 因为， 所以． 综上所述，或． （3）因为方程的两个实数根为， 所以． 因为， 所以， 即， 解得． 因为， 所以， 即m的值为． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． (1)下列方程是“明一方程”的有； ①；②；③． (2)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，，且当时，关于x的方程为“明一方程”，求该直线解析式； (3)已知为“明一方程”（a，b，c为常数，且）的两个根，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)所求直线解析式为或或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根与系数的关系及方程的解，理解“明一方程”的定义是解决本题的关键． （1）将分别代入各个方程，按“明一方程”的定义进行判断即可； （2）由题意可得直线过点，可得，即，得出函数关系式为，再求出点A、B的坐标，再根据列出方程求解即可； （3）由为“明一方程”，可得，又，从而得出，且有，解不等式组得：．再由为的两根，且为其一个解，可得另一个解为，再求解即可． 【详解】（1）解：①将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； ②将代入方程得，， 不是方程的解， 不是“明一方程”； ③将代入方程得，， 是方程的解， 为“明一方程”； 故答案为：①③； （2）解：当时，关于x的方程为“明一方程”， 直线过点， ，即， 函数关系式为， 令，得，即， 令，得，解得：，即， ， ， 解得：或， 直线解析式为或或； （3）解：已知为“明一方程”， 所以，又， 所以，且有， 解不等式组得：． 为的两根，且为其一个解， 所以另一个解为， 所以，令， 则是关于的一次函数，由一次函数的增减性可得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$