专题03 轴对称图形、线段的垂直平分线、角平分线-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题03 轴对称图形、线段的垂直平分线、角平分线 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 2 题型三 利用线段的垂直平分线的性质求解 5 题型四 利用角平分线的性质求解 8 题型五 角平分线与线段垂直平分线的综合问题 12 题型六 角平分线与线段垂直平分线的判定和性质综合问题 17 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 轴对称图形的识别 ⭐技巧积累与运用 判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 例题：（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列图形中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·全国·期末）下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·全国·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首，又称白地青花瓷，简称青花，代表着中国人纯粹、淡泊、通透、富有水墨意味的东方审美．下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 ⭐技巧积累与运用 轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【变式训练】 1.（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2.（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 题型三 利用线段的垂直平分线的性质求解 ⭐技巧积累与运用 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D．连接．若，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 题型四 利用角平分线的性质求解 ⭐技巧积累与运用 1．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 例题：（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，点是平分线上一点，，垂足为，若，则点到边的距离是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是18，则 ． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线． (1)若，，，可得到结论：__________； (2)若，，，可得到结论：__________； (3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________． 题型五 角平分线与线段垂直平分线的综合问题 ⭐技巧积累与运用 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2.（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3.（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 题型六 角平分线与线段垂直平分线的判定和性质综合问题 ⭐技巧积累与运用 1．线段的垂直平分线的判定 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 2．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 2．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接的周长为，边的长为7，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 3．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 4．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，的角平分线和的角平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 二、填空题 6．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，平分，于点D．若，则点P到的距离为 ． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则 ． 9．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如下图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点和点，边的垂直平分线分别与边和边交于点和点，若的周长为，且，则的长为 ． 10．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点． ． (1)请说明：； (2)若的面积为4， 求的面积． 12．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)连结，若平分，，求的度数． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 15．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图①，在与中，，，，易证：（不需要证明） (1)如图②，在等边中，点、分别在边、上，且，与交于点，求证：； (2)如图③，在等腰三角形中，，点是边的垂直平分线与的交点，点、分别在、的延长线上．若，，，则的度数为______． 16．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称图形、线段的垂直平分线、角平分线 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 2 题型三 利用线段的垂直平分线的性质求解 5 题型四 利用角平分线的性质求解 8 题型五 角平分线与线段垂直平分线的综合问题 12 题型六 角平分线与线段垂直平分线的判定和性质综合问题 17 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 轴对称图形的识别 ⭐技巧积累与运用 判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 例题：（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列图形中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·全国·期末）下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 故选B． 2.（24-25七年级上·全国·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首，又称白地青花瓷，简称青花，代表着中国人纯粹、淡泊、通透、富有水墨意味的东方审美．下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 ⭐技巧积累与运用 轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 2.（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 题型三 利用线段的垂直平分线的性质求解 ⭐技巧积累与运用 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 例题：（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D．连接．若，则 ． 【答案】5 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】先求出，再由线段垂直平分线的性质推出，即可作答．本题考查线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∵D在的垂直平分线上， ∴ 故答案为：5． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【详解】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，由此得，据此可求出的长． 【解答】解：连接，如下图所示： 在中，，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：6． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根据直线m是中边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，此时的周长的最小值为，代入计算即可． 【详解】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线， 所以点B与点C关于直线m对称， 故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值， 所以的周长的最小值为， 因为， 所以的周长的最小值为． 故答案为：4． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 题型四 利用角平分线的性质求解 ⭐技巧积累与运用 1．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 例题：（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，点是平分线上一点，，垂足为，若，则点到边的距离是 ． 【答案】5 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质定理，作，再根据角平分线的性质得出即可得出答案． 【详解】解：过P作于点E， ∵点P是平分线上一点，， ∴， ∵， ∴， ∴点P到边的距离是5． 故答案为：5． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，的面积是18，则 ． 【答案】12 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D作于点E，由作图可知为的平分线，由角平分线的性质定理得，由三角形面积即可求解；掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ， ， 的面积=， 解得：． 故答案：． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的知识，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据，即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵射线是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线． (1)若，，，可得到结论：__________； (2)若，，，可得到结论：__________； (3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】（1）本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，从而求得，再利用求解即可； （2）由（1）可得，，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：由（1）可得，， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：过点E分别作于点H，交的延长线于点G，则，过点C作于点N， ∴， 即， 故答案为：． 题型五 角平分线与线段垂直平分线的综合问题 ⭐技巧积累与运用 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 2．角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得，再由互余关系即可求得结果； （2）由角平分线的性质定理得，在中，由含角直角三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ， 是垂直平分线， ， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，， ， 平分，，， ， ， ． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2.（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 3.（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)的面积； (3)见解析图． 【知识点】线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（）根据角平分线的定义得出和，进而利用三角形内角和定理解答即可； （）根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可； （）连接，交于点即可； 此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵，是角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴, ∵是高， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，连接，交于点，连接，    由（）得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则， ∴点即为所求． 题型六 角平分线与线段垂直平分线的判定和性质综合问题 ⭐技巧积累与运用 1．线段的垂直平分线的判定 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 2．角的平分线的判定 （1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定： （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接的周长为，边的长为7，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出的周长，即可． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理、全等三角形综合问题 【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 4．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 5．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，的角平分线和的角平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，过点D作于K，于J，利用面积构建关系式求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点D作于K，于J． ∵的角平分线和的角平分线相交于点D， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，平分，于点D．若，则点P到的距离为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 如图，作于，则点P到的距离即为，然后利用角平分线的性质定理求解作答即可． 【详解】解：如图，作于，则点P到的距离即为， ∵平分，，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某工件的绘制草图如图所示， 中， 边上的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，则 的周长是 【答案】37 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵边上的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为：37． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式，由平行线的性质得出，由折叠的性质可得：，，，，求出，结合计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）如下图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点和点，边的垂直平分线分别与边和边交于点和点，若的周长为，且，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，是线段的中垂线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故故答案为;． 10．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点． ． (1)请说明：； (2)若的面积为4， 求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)8 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用证明，再利用证明，从而可得，即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为4， 的面积的面积， 的面积为8． 12．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)连结，若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了长方形与折叠性质，平行线的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由折叠性质可得，再由两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）根据角平分线定义以及平行线性质可得，结合即可求出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 14．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、用HL证全等（HL）、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据，，得到得到即可证明． （2）根据平分，且，继而得证． （3）先证明，再判定线段垂直平分线，利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵平分，且，， ∴． （3）解：∵ ∴． ∴． ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图①，在与中，，，，易证：（不需要证明） (1)如图②，在等边中，点、分别在边、上，且，与交于点，求证：； (2)如图③，在等腰三角形中，，点是边的垂直平分线与的交点，点、分别在、的延长线上．若，，，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形得，再结合已知条件用证明即可； （2）先用用证明得，再根据即可． 【详解】（1）证明：在等边中，，， 在与中， ， ； （2）解：点在的垂直平分线上， ， ， 在与中， ， ， ， ． 16．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）（1）【问题解决】 如图①， ， 平分， 点 F在上， 的两边分别与， 交于点 D， E． 当， 时，则 与的数量关系为 ； （2）【问题探究】 如图②，在（1）的条件下，过点 F作两条相互垂直的射线，，分别交，于点 M， N， 判断 与的数量关系， 说明理由； （3）【迁移应用】 某学校有一块四边形的空地，如图③所示，，是的平分线，，，直接写出该空地的面积． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）先根据四边形内角和等于可得，由可得，再根据证明，则可得； （3）过C点作于E点，的延长线于F点．由（2）得，则可得，，进而可得．证明，则可得，由、可求得的长，进而可得、的长，由此可得的值，即可得的值． 【详解】（1）解：∵平分， 点 F在上，且， ， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图，过C点作于E点，的延长线于F点， 由（2）得， ，， ， ∵是的平分线， ， 又，， ， ， 又， ， ， 解得， ， ， ， 答：该空地的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$