专题02 三角形全等之六大基本模型-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题02 三角形全等之六大基本模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 三角形全等之一线三等角模型 1 题型二 三角形全等之半角模型 5 题型三 三角形全等之倍长中线模型 12 题型四 三角形全等之截长补短模型 16 题型五 三角形全等之手拉手模型 20 题型六 三角形全等之角平分线模型 24 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 三角形全等之一线三等角模型 ⭐技巧积累与运用 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【常见模型及证法】异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 例题：（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 题型二 三角形全等之半角模型 ⭐技巧积累与运用 模型1.半角模型之90°-45°型 【模型展示】 （1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 （2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型之60°-30°型或120°-60°型 （1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 （2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 例题：（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【变式训练】 1.问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 题型三 三角形全等之倍长中线模型 ⭐技巧积累与运用 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，C为AB的中点. 证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则; 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点. 例题：（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 题型四 三角形全等之截长补短模型 ⭐技巧积累与运用 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例题：（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 题型五 三角形全等之手拉手模型 ⭐技巧积累与运用 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 等边三角形手拉手模型： 等腰直角三角形手拉手模型： 等腰三角形手拉手模型： 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 【变式训练】 1.如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 题型六 三角形全等之角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 图1 图2 图3 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 例题：（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 一、解答题 1．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 5．（24-25八年级上·福建福州·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 7．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    8．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形全等之六大基本模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 三角形全等之一线三等角模型 1 题型二 三角形全等之半角模型 5 题型三 三角形全等之倍长中线模型 12 题型四 三角形全等之截长补短模型 16 题型五 三角形全等之手拉手模型 20 题型六 三角形全等之角平分线模型 24 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 三角形全等之一线三等角模型 ⭐技巧积累与运用 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【常见模型及证法】异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 例题：（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，证明，即可作答． （2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出，证明，即可作答． （3）这运用等高算面积，则底的比就是它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答． 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图： 易得， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：如图： ∵的面积为24，，且分别以为底来运算面积 ∴此时它们的高是相等的，即的面积是：， 由（2）可知，， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是8， 答案为：8． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为6． 题型二 三角形全等之半角模型 ⭐技巧积累与运用 模型1.半角模型之90°-45°型 【模型展示】 （1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 （2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 模型2.半角模型之60°-30°型或120°-60°型 （1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 （2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 例题：（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式训练】 1.问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 题型三 三角形全等之倍长中线模型 ⭐技巧积累与运用 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，C为AB的中点. 证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则; 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点. 例题：（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. (1)如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； (2)如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，解答本题的关键作出辅助线，构造出全等三角形． （1）①根据题意补全图形即可； ②由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； ③由，，根据三角形的三边关系有，即，因此； （2）延长，使得，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 题型四 三角形全等之截长补短模型 ⭐技巧积累与运用 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例题：（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【答案】(1)B (2)C (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【详解】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 题型五 三角形全等之手拉手模型 ⭐技巧积累与运用 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 等边三角形手拉手模型： 等腰直角三角形手拉手模型： 等腰三角形手拉手模型： 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 【变式训练】 1.如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 题型六 三角形全等之角平分线模型 ⭐技巧积累与运用 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 图1 图2 图3 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 例题：（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质， [问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过O作与E，于F，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴()， ∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过O作与E，于F， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴ ， ∵的面积为18，且， ∴， 即， 故答案为：3． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，得，再根据，利用三角形内角和定理可证明结论； （2）延长，交于点，利用证明，得，再根据证明，得，则，从而解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，延长，交于点， 在与中， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 一、解答题 1．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2)不成立，，理由见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）①由题意易得，，然后问题可求证；②由①可进行求证； （2）由题意易证，然后问题可求证． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论②不成立，，理由如下： 同理（1）可证， ∴， ∴． 2．（21-22八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的性质 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，， E、F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论．他的结论应是______________________． （2）如图2，在四边形中，分别是边，上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）（2）仍然成立，过程见详解（3）或或； 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使．连接， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， ∴ 即， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）①． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ， ，． ． ． ， 易证， ， ， ． ②． 证明：在上截取， 同第一种情况方法，证明， 证明， ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点在延长线上，点在延长线，此时线段，，之间并无直接数量关系． 综上，或或； 故答案为：或或； 5．（24-25八年级上·福建福州·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 【答案】[方法探究]（1）；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了倍长中线，三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线，构造三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． [方法探究]（1）延长到点，使，连接，运用“边角边”证明得到，由三角形三边数量关系即可求解； [问题解决]（2）根据题意可得点是中点，如图所示，延长到点，使得，可证，得到，再证，得到，由此即可求解； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点，可证，，，得到，即点是的中点，再证，得到，证明，得到，由此即可求证． 【详解】解：[方法探究]（1）延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [问题解决]（2）∵， ∴， ∵， ∴，即点是中点， 如图所示，延长到点，使得， ∵点是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点， ∵，，，点共线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 7．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)不成立，见解析 【知识点】全等三角形综合问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 8．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$