专题01 全等三角形的性质和判定-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题01 全等三角形的性质和判定 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 全等三角形的性质 1 题型二 添加一个条件使两三角形全等 4 题型三 利用尺规作图——三角形 6 题型四 用HL证明两直角三角形全等 8 题型五 三角形全等的性质与判定 11 题型六 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 14 题型七 与全等三角形有关的多结论问题 17 题型八 全等三角形中的动点综合问题 21 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 全等三角形的性质 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 例题：（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，已知，那么 ．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是 ． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为 ； (2)已知，，求的度数． 题型二 添加一个条件使两三角形全等 ⭐技巧积累与运用 三角形全等判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）    2.（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 题型三 利用尺规作图——三角形 ⭐技巧积累与运用 运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。 例题：（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【变式训练】 1.（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 2.（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 题型四 用HL证明两直角三角形全等 ⭐技巧积累与运用 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1.（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 2.（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 题型五 三角形全等的性质与判定 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，在和中，相交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 题型六 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 例题：（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 题型七 与全等三角形有关的多结论问题 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 题型八 全等三角形中的动点综合问题 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 2.（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 一、单选题 1．（23-24八年级上·青海海东·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）已知，，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，然后在M处立了标杆，使，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 二、填空题 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，为的中点，，则 ．    8．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，D是边上的中点，若，，的取值范围 ． 9．（23-24八年级上·湖北荆门·期末） 如图，在中，，，，，平分交于D，于E，则的周长为 ． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1） ． （2）的面积为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，点，，在同一直线上，请添加一个条件___________，运用“HL”判定定理，使得，并写出证明过程． 12．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 13．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 14．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，与相交于点，，，cm，点从点出发，沿→→方向以的速度运动，点同时从点出发，沿→方向以的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在→运动时，＝_______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)当，，三点共线时，求t的值． 16．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 17．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 18．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形的性质和判定 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 全等三角形的性质 1 题型二 添加一个条件使两三角形全等 4 题型三 利用尺规作图——三角形 6 题型四 用HL证明两直角三角形全等 8 题型五 三角形全等的性质与判定 11 题型六 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 14 题型七 与全等三角形有关的多结论问题 17 题型八 全等三角形中的动点综合问题 21 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 全等三角形的性质 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 例题：（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，已知，那么 ．    【答案】95 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，直接利用全等三角形的性质得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵， ， ． 故答案为：95． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是 ． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， 故答案为：3． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 【答案】(1) (2)31 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、、、，根据三角形的周长公式计算即可． 本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 【详解】（1）解： ，， ． ∵， ， ， 即， ． （2）解：∵， ，， ∴与的周长之和， ． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为 ； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】（）由，可得，，从而可得答案； （）由，，，可得，，再利用三角形的内角和求出，再根据角度和差即可求解； 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴，， ∵， ∴． 题型二 添加一个条件使两三角形全等 ⭐技巧积累与运用 三角形全等判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定． 【详解】解：∵B是中点， ∴， ∵， ∴当时，依据可得，， 故答案为：（答案不唯一） 2.（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 题型三 利用尺规作图——三角形 ⭐技巧积累与运用 运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。 例题：（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】尺规作一个角等于已知角、尺规作图——作三角形、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作； （2）由作图即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，和即为所作， ； （2）解：由图可得：这样的三角形能作个． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形； 2.（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】因为 所以 如图所示，即为所求． 题型四 用HL证明两直角三角形全等 ⭐技巧积累与运用 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1.（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 2.（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型五 三角形全等的性质与判定 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，在和中，相交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识． （1）利用全等三角形的判定来证明． （2）由平行线的性质得，再由（1）可知，，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∴在中， ， ∴； （2）解：， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，证出，进而证明是解题的关键． （1）由为中点，得，而， ，即可根据“”证明； （2）由， ，得，由全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ∴． （2）∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数是． 2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）先求得，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型六 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 例题：（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ， ，， 解得，； ②当时 ，， 解得，， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，，，，分别为线段和射线上的一点，若点从点出发，以的速度向点运动，同时点以的速度从点出发沿射线的方向运动，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质；利用分类讨论思想是解答此题的关键． 设运动时间为设，，，因为，使与全等，可分两种情况，情况一：当时，列方程解得t，可求出，情况二：当时，列方程解得t，可求出． 【详解】解：设运动时间为设，，， 因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当时， 有：， 解得：， ， 情况二：当时， 有， 解得：， ， 综上所述，或； 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上，进行讨论求解即可． 【详解】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 题型七 与全等三角形有关的多结论问题 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用定理证明出，进而判断①；利用证明出进而可判断②；得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】， ， 平分， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∴ 又∵ ∴，故③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用可证明，即可得，，，进而可判断①②正确，再利用可证明，即可判断④正确，再证明，，可知，根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，进而可知③不正确，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确， ， 即，故①正确， ，，， ，故④正确， ，，， ， ， 又， ，即， ，，， ， ， 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误， 综上，正确的有①②④； 答案：B． 2.（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确， ∵若． ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 题型八 全等三角形中的动点综合问题 ⭐技巧积累与运用 1.全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 2.全等三角形的判定 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 例题：（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由得，利用即可得出结论； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得； （3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，当时， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2.（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 一、单选题 1．（23-24八年级上·青海海东·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）已知，，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，和不一定相等， 和不一定全等， 故A不符合题意； B、，， ， ，， ，， ， ， 故B符合题意； C、和不一定全等， 和不一定相等， 故C不符合题意； D、，， ， ，， ，， 和不一定相等， 和不一定全等， 和不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，然后在M处立了标杆，使，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（    ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， 米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：∵，是的高线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别点在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一．根据，然后根据“”的判定方法添加条件即可． 【详解】解：可添加．理由如下： 在和中， ， ∴（）， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，为的中点，，则 ．    【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，可得，由点是的中点可得，由对顶角相等得，可证，得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 8．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，D是边上的中点，若，，的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围，即可得出的取值范围即可． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖北荆门·期末） 如图，在中，，，，，平分交于D，于E，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，可得，，求出，根据的周长等于可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：12． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得： （1） ． （2）的面积为 ． 【答案】 64 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在上截取，连接，根据“”证明即可； （2）由，求出的长，再由面积公式求得即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；64． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，点，，在同一直线上，请添加一个条件___________，运用“HL”判定定理，使得，并写出证明过程． 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”判定判断即可；熟知三角形全等的条件是关键． 【详解】解：添加条件： 在与中， 故答案为：或 12．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ． 13．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质 【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键． （1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论； （2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴ ． 14．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线有关的计算．解题的关键是证明三角形全等． （1）先证明，得到，即可得证； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义，求出的度数，再根据角平分线定义，即可得解． 【详解】（1）证明：为中点， ， ． ， 在和中， ； （2）解：平分 ， ． 平分， ， ． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，与相交于点，，，cm，点从点出发，沿→→方向以的速度运动，点同时从点出发，沿→方向以的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当点在→运动时，＝_______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)当，，三点共线时，求t的值． 【答案】(1) (2)证明见解析． (3)8或． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、代数式和解一元一次方程的知识，掌握以上知识并会用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，则； （3）根据题意得：，，，结合（2）可得和，由三点共线得，即可证明，得到，利用分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：点从点出发，沿→→方向以的速度运动，点同时从点出发，沿→方向以的速度运动，设点的运动时间为． 根据题意得： ，则， 故答案为：． （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． （3）解：根据题意得： ，， 则， ∵， ∴，， ∵，，三点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，， 解得： ， 当时， ∴， 解得：， ∴综上所述，当、、三点共线时，t的值为8或． 16．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，延长交于F，在上取，连接，根据角平分线定义、平行线的性质推出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解； 本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：，即， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：延长交于F，在上取，连接， ，， ， 则， ， 平分， ， ，， ， ，则， ， ，即， ， 则． 即：． 17．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)米． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得； （）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形, ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$