专题02 整式的乘除-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

专题02 整式的乘除 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：判断幂的运算、整式运算正确 3 考点二：幂的运算 5 考点三：运用平方差公式进行运算 6 考点四：求完全平方式中的字母系数 7 考点五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 考点六：整式的混合运算中先化简再求值 9 考点七：通过对完全平方公式变形求值 11 考点八：多项式乘多项式与图形面积 13 考点九：平方差公式与几何图形 16 考点十：完全平方式在几何图形的应用 19 考点十一：多项式乘积中的规律性问题 24 考点十二：整式乘法中的新定义型问题 27 考点十三：判断是否是因式分解 29 考点十四：找公因式 31 考点十五：综合提公因式法和公式法分解因式 32 考点十六：已知因式分解的结果求参数 33 考点十七：十字相乘法分解因式 35 考点十八：分组分解法分解因式 36 考点十九：因式分解的应用 39 【知识点01】幂的运算 1.幂的乘法运算 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 法则：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（m,n为正整数） 4.幂的除法运算 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【知识点02】科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d的指数 n=m+1． 【知识点03】整式的乘法 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【知识点04】公式法 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ； 【知识点05】整式的除法 1.单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【知识点06】因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【知识点07】公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； 【知识点08】提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【知识点09】公式法因式分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2 考点剖析 考点一：判断幂的运算、整式运算正确 例题：（24-25八年级上·全国·期末）下列运算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式乘单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，平方差公式，牢记运算性质与法则是解题的关键． 根据积的乘方，同底数幂的除法、单项式的乘法法则，以及平方差公式即可作出判断． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C． ，原式计算正确，故本选项符合题意； D． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘单项式、积的乘方运算、合并同类项 【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式及合并同类项；掌握运算法则是关键；根据合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式及单项式除以单项式的法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂相除、同底数幂相乘法则，单项式乘以多项式法则，平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算正确，符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 考点二：幂的运算 例题：（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．直接根据积的乘方法则进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法，根据积的乘方与同度数幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 考点三：运用平方差公式进行运算 例题：（23-24六年级下·山东烟台·期末）下列多项式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的特征，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式的特征是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，逐项分析即可， 【详解】根据平方差公式的特征，可知： A． ，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； B． ，符合平方差公式，故该选项符合题意； C． ，不是两个数的和与这两个数差的积，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； D． ，不符合平方差公式，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； C、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； D、，能用平方差公式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）下列可以运用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式的结构特性进行判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 考点四：求完全平方式中的字母系数 例题：（23-24七年级下·江苏常州·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是 ． 【答案】36 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵恰好是一个整式的平方， ∴． 故答案为：36． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，牢记完全平方式有两个——和，并熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的定义即可得出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故答案为：或． 2．（23-24六年级下·山东东营·期末）如果是一个完全平方式，那么k的值为 ． 【答案】或4 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】∵， ∴或4， 故答案为：或4． 考点五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据整式的混合运算顺序，先去括号，再合并同类项后，根据不含项，则该项的系数为0，即可求得a的值． 【详解】解： ， 关于x的多项式的乘积化简后不含项， ， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 【答案】3, 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、代入消元法 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，解方程组，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含和项， ∴， 解得． 故答案为：3, ． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则化简后，使一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵乘积不含一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 考点六：整式的混合运算中先化简再求值 例题：（24-25七年级下·重庆南岸·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式，平方差公式及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ①； ②． 【答案】（1），4；（2）①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算除法，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答; （2）①利用平方差公式，进行计算即可解答； ②利用乘法的交换律和结合律，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2）①原式 ； ② ． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)，3 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，化简求值，熟记运算法则与乘法公式是解本题的关键． （1）先利用乘法公式和多项式的乘法法则计算，根据零次幂和负整数指数幂计算求得和的值，再代入即可求解； （2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再整体代入数据计算即可． 【详解】（1）解： ， 又，， 所以，把，代入， 原式； （2）解： ， 又，得， 所以，原式． 考点七：通过对完全平方公式变形求值 例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知，．求下列各值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式变形求出结果即可； （2）根据完全平方公式变形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， 即， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知实数m，n满足，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式乘法的计算法则和完全平方公式及其变形的运用，熟练掌握法则及公式是解答的关键． （1）根据整式乘法运算法则，去括号之后整体代入求值即可得到答案； （2）根据完全平方公式的变式，即可解答． 【详解】（1）原式 ， （2）解：将两边平分得 ， 因为， 所以 2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）（1）已知，求； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）   （2）12 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，完全平方公式等知识，解题的关键是： （1）逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 考点八：多项式乘多项式与图形面积 例题：（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 【答案】(1)m2 (2)m2 (3)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了代数式运算的应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键； （1）利用长方形面积公式列式运算即可； （2）把，代入（1）中式子运算即可； （3）把费用代入运算即可； 【详解】（1）解：由题意得： 答：安装健身器材的区域面积为； （2）当，时， 安装健身器材的区域面积 ， 答：安装健身器材的区域面积为2780 m2； （3）根据题意，需要的总费用为： ， 当，时，总费用为：（元）； 答：建设该居民健身场所需181000元． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】(1) (2)完成硬化共需要28000元． 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）由图得，阴影面积为： ； （2）当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 2．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是． 设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)B区的长是___________，宽是___________ ； (2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________； (3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？ 【答案】(1)； (2)， (3)育苗区的边长为． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，区的长是：，宽为：； （2）根据题意，分别求出区和区的长与宽，再计算其种植面积即可； （3）根据题意，可列方程：，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，区的长是：，宽为：， 故答案为：；； （2）解：区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 故答案为：；； （3）解：根据题意，得： ， 解得：， 答：育苗区的边长为． 考点九：平方差公式与几何图形 例题：（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·广东佛山·期末）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1)D (2)2 (3)①1；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 考点十：完全平方式在几何图形的应用 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将进行变形为：，或等．请根据以上变形解决下列问题： (1)已知，则______． (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，掌握公式的形式及变形是解题关键. （1）根据即可求解； （2）设，可得，据此即可求解； （3）设，则图中阴影部分的面积，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）解：设． 由变形可得： 由题意可知： 即 （3）解：设， 则图中阴影部分的面积 由题意得： ∵ ∴图中阴影部分的面积， 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 【答案】(1)3；2；7 (2)①；②11 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）计算，再根据三个纸片的面积可求解； （2）①用两种方法表示出大正方形的面积即可；②利用完全平方公式的变形可得，再由阴影部分面积，结合完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴需要种卡片3张，B种卡片2张，C种卡片7张； 故答案为：3；2；7 （2）解：①小正方形可以是，也可以是， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， 阴影部分面积 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A．        B． C．        D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）依次为B，D，C，A；（2）①；②结论成立，理由见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、等腰三角形的性质和判定、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的计算， （1）根据图示，几何图形面积的计算方法即可求解； （2）①根据题意可得，四边形是正方形，设，则，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解；②设空白部分长方形的宽为a，长为b，可得，，，，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解． 【详解】解：（1）图1，，故选B； 图2，，故选D； 图3，，故选C； 图4，，故选A； 依次为B，D，C，A； （2）①已知，，，是等腰直角三角形，当是边的中点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ， ， ． 故答案为：； ②结论成立，理由如下， 设空白部分长方形的宽为a，长为b， ，，，是等腰直角三角形， ，，，， ． ． 考点十一：多项式乘积中的规律性问题 例题：（23-24七年级下·广东清远·期末）观察下列各式：； ； ； ； ； (1)根据上面各式的规律填空： ① ； ②＝ ； (2)利用②的结论求的值； (3)若，求 的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的混合运算的方法，要注意总结出规律，并能应用规律． （1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案； ②根据上面各式的规律，可直接得到答案； （2）根据（1）总结出的规律，可得：，据此即可求出算式的值； （3）根据（1）总结出的规律，可得：，又由已知，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得，； ②由题意可得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∴， （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）观察以下等式： ； ； ． (1)根据以上等式的规律，填空： ①__________；②__________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给的计算方法，即可解答； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：①，② 故答案为：；． （2）解： ． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，令，， ∴ ． 考点十二：整式乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)①56；②2 【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． 故答案为：． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． （3）解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 考点十三：判断是否是因式分解 例题：（23-24八年级下·全国·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的概念：把一个多项式表示成几个多项式的积的形式；根据因式分解的概念进行判断即可． 【详解】解：A、这是整式的乘法运算，故不是因式分解，选项不符合题意； B、不是几个多项式的积的形式，故不是因式分解，选项不符合题意； C、是几个多项式的积的形式，故是因式分解，选项符合题意； D、虽然是积的形式，但不是多项式，故不是因式分解，选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：．，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，是用完全平方公式进行的因式分解，故该选项符合题意； 故选：D. 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）下列从右到左变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的知识，看清题意是从右到左变形是解题的关键． 因式分解就是把整式分解成几个整式积的形式，根据定义依次进行判断即可． 【详解】解：A、从右到左变形不是把整式分解成几个整式积的形式，不是因式分解，故错误； B、从右到左变形不是把整式分解成几个整式积的形式，不是因式分解，故错误； C、从右到左变形是把整式分解成几个整式积的形式，是因式分解，故正确； D、从右到左变形不是把整式分解成几个整式积的形式，不是因式分解，故错误． 故选C． 考点十四：找公因式 例题：（23-24八年级下·山东菏泽·期末）多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【详解】解：， ∴各项的公因式是， 故选B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）整式和的公因式为 . 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查确定公因式，先对进行因式分解，再根据确定公因式的方法：“①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式；③定指数，即各项相同字母因式的指数的最低次幂”，求解即可． 【详解】解：∵， ∴和的公因式为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 考点十五：综合提公因式法和公式法分解因式 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）因式分解 (1) ． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，掌握各类分解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）综合利用公式法和提公因式法即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（23-24八年级上·全国·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，多项式若有公因式先提公因式，再考虑运用公式法分解． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解； （2）运用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 考点十六：已知因式分解的结果求参数 例题：（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查因式分解的应用，利用多项式乘多项式的法则，将展开，求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值也为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 考点十七：十字相乘法分解因式 例题：（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法、完全平方公式分解因式 【分析】该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法． （1）设，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可； （2）设，将原式变形再运用十字相乘法求解即可； 【详解】（1）解：设 原式 （2）解：设， 原式 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 考点十八：分组分解法分解因式 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期末）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；（只填序号）①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解． 问题2．请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2） 问题3．若a，b，c是的三边，当时，判断的形等腰三角的形状． 【答案】问题1：③；问题2：（1）；（2）；问题3：等腰三角形 【知识点】等腰三角形的定义、分组分解法 【分析】本题主要考查的是因式分解，提公因式法、平方差公式和完全平方公式是常用的因式分解法． 问题1：确定分组分解的关键步骤； 问题2：利用分组分解法进行因式分解； 问题3：利用分组分解法进行因式分解，再判定三角形的形状． 【详解】解：问题1：分组分解的目的是分组以后，继续因式分解，最后组与组之间还要因式分解， 故选③； 问题2：（1） ； （2） ； 问题3：， ， ， ， ，，是的三边， 不可能是0， ， ， ∴是等腰三角形． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 又，， 原式． （3）解： ． 2．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲∶ (分成两组) (直接运用公式) ． 乙∶ (分成两组) (提公因式) ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题． (1)因式分解∶； (2)已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形． 【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义； （1）把原式化为，再进一步分解因式即可； （2）由可得，结合等腰三角形的定义可得答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴， ∴， ∵是的三条边长， ∴， ， ， 是等腰三角形． 考点十九：因式分解的应用 例题：（23-24八年级上·江西赣州·期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形，证明见解析． 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）（1）已知a，b，c是的三边，且满足，判定的形状； （2）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1）是等边三角形；（2）见详解 【知识点】等边三角形的判定、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题考查等边三角形的判定，完全平方公式，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，整体思想、换元的思想是解题的关键． （1）将变形得出，即可求解； （2）先将所求的式子变形为，设，则原式，根据为正整数，可知也为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【详解】（1）∵ ∴， 故， 解得：， 故是等边三角形； （2）证明： ， 设， ， ∵为正整数， ∴也为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 真题感知 一、单选题 1．（23-24八年级上·江西新余·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘、运用完全平方公式进行运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握有关运算法则以及公式．运用相关运算法则逐项判断即可得解； 【详解】解：A、，此选项错误；不符合题意， B、，此选项错误；不符合题意， C、，此选项正确；符合题意， D、，此选项错误．不符合题意， 故选：C 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列因式分解中正确的个数为（  ） ①；②；③． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤，逐个进行因式分解，再判断即可． 【详解】解：①，原分解错误；②，原分解正确；③，原分解正确； 共2个正确， 故选：B． 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的运算以及平方差公式．根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案． 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 5．（23-24八年级上·江西赣州·期末）乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：城，爱，我，石，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．美丽 B．美丽石城 C．我爱石城 D．石城美 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【详解】解：∵ ， 又∵，，，，分别对应下列四个个字：我，爱，石，城， ∴结果呈现的密码信息是：我爱石城． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握 是本题的解题关键． 利用同底数幂的除法法则，幂的乘方法则进行变形，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： ． 7．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．根据完全平方公式的定义，得出符合题意的形式，对应得出答案即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）多项式分解因式后有一个因式是，则 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查因式分解和多项式乘多项式，由多项式分解因式后有一个因式是得出当时，多项式的值为，由此得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式进行因式分解后有一个因式是， ∴当时，多项式的值为0， 即， 解得：． 故答案为： 9．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）分解因式：，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解结果是，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解的关系，明确分解因式的结果可还原为多项式是解题的关键． 甲把看错，则所得的分解结果转化为多项式的形式时正确，由此将展开后确定的值；接下来按照同样的方法将展开后可得的值． 【详解】解：当分解的结果是时，， 甲看错了a的值， ， 当分解的结果是时，， 乙看错了b的值， ， ． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．根据图1、图2的面积相等可得答案． 【详解】解：图1的面积为：， 拼成的图2的面积为：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算或因式分解： (1)计算：； (2)计算：； (3)因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式的混合运算、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，多项式除以单项式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据乘法公式展开，再合并求解即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则求解即可； （3）利用完全平方公式分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（23-24七年级下·全国·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）用提公因式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 13．（23-24八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要是考查了整式的化简求值．先利用乘法公式以及单项式乘多项式去括号，然后合并同类项，最后利用整式除法，求出化简结果，将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 14．（24-25八年级上·全国·期末）化简求值 (1)已知，求的值； (2)先化简后求值：，其中． 【答案】(1)4 (2)， 【知识点】绝对值非负性、整式的混合运算 【分析】此题考查整式的混合运算－化简求值，解题关键在于对原式进行化简再代入已知值． （1）将所求式子化简，结果为，再将已知条件整体代入该式即可． （2）先利用乘法公式对括号内的式子化简，再利用多项式除以单项式的计算方法化简，然后利用非负数的性质求得，的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 15．（24-25八年级上·全国·期末）下面是小华同学分解因式的过程： 解：原式…………………………① ……………………………② ………………………………③ 请认真阅读，并回答下列问题： (1)以上解答过程从第 步出现错误；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据提公因式及平方差公式可进行分解因式 【详解】（1）解：由题意可知：解答过程是从第①步出现错误； 故答案为①； （2）解：原式 16．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 17．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 18．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 20．（23-24八年级上·江西新余·期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“” 看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 问题： (1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______； (2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设…，则原式…，再将y代入即可求解． 【详解】（1）解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ， 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设…， 原式…… ……… … … …… 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘除 考点聚焦：核心考点+期末考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：判断幂的运算、整式运算正确 3 考点二：幂的运算 5 考点三：运用平方差公式进行运算 6 考点四：求完全平方式中的字母系数 7 考点五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 8 考点六：整式的混合运算中先化简再求值 9 考点七：通过对完全平方公式变形求值 11 考点八：多项式乘多项式与图形面积 13 考点九：平方差公式与几何图形 16 考点十：完全平方式在几何图形的应用 19 考点十一：多项式乘积中的规律性问题 24 考点十二：整式乘法中的新定义型问题 27 考点十三：判断是否是因式分解 29 考点十四：找公因式 31 考点十五：综合提公因式法和公式法分解因式 32 考点十六：已知因式分解的结果求参数 33 考点十七：十字相乘法分解因式 35 考点十八：分组分解法分解因式 36 考点十九：因式分解的应用 39 【知识点01】幂的运算 1.幂的乘法运算 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 法则：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（m,n为正整数） 4.幂的除法运算 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【知识点02】科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d的指数 n=m+1． 【知识点03】整式的乘法 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【知识点04】公式法 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ； 【知识点05】整式的除法 1.单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【知识点06】因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【知识点07】公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； 【知识点08】提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【知识点09】公式法因式分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2 考点剖析 考点一：判断幂的运算、整式运算正确 例题：（24-25八年级上·全国·期末）下列运算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：幂的运算 例题：（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算： ． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 考点三：运用平方差公式进行运算 例题：（23-24六年级下·山东烟台·期末）下列多项式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）下列可以运用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 考点四：求完全平方式中的字母系数 例题：（23-24七年级下·江苏常州·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 2．（23-24六年级下·山东东营·期末）如果是一个完全平方式，那么k的值为 ． 考点五：已知多项式乘积不含某项求字母的值 例题：（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 考点六：整式的混合运算中先化简再求值 例题：（24-25七年级下·重庆南岸·期末）化简求值：，其中，． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ①； ②． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 考点七：通过对完全平方公式变形求值 例题：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知，．求下列各值． (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知实数m，n满足，． (1)求的值； (2)求的值． 2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）（1）已知，求； （2）已知，，求的值． 考点八：多项式乘多项式与图形面积 例题：（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 2．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是． 设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)B区的长是___________，宽是___________ ； (2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________； (3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？ 考点九：平方差公式与几何图形 例题：（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·广东佛山·期末）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 考点十：完全平方式在几何图形的应用 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将进行变形为：，或等．请根据以上变形解决下列问题： (1)已知，则______． (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A．        B． C．        D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 考点十一：多项式乘积中的规律性问题 例题：（23-24七年级下·广东清远·期末）观察下列各式：； ； ； ； ； (1)根据上面各式的规律填空： ① ； ②＝ ； (2)利用②的结论求的值； (3)若，求 的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）观察以下等式： ； ； ． (1)根据以上等式的规律，填空： ①__________；②__________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 考点十二：整式乘法中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 考点十三：判断是否是因式分解 例题：（23-24八年级下·全国·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）下列从右到左变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 考点十四：找公因式 例题：（23-24八年级下·山东菏泽·期末）多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）整式和的公因式为 . 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 考点十五：综合提公因式法和公式法分解因式 例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）因式分解 (1) ． (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·期末）因式分解： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·全国·期末）因式分解： (1) (2) 考点十六：已知因式分解的结果求参数 例题：（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 考点十七：十字相乘法分解因式 例题：（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 考点十八：分组分解法分解因式 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期末）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；（只填序号）①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解． 问题2．请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2） 问题3．若a，b，c是的三边，当时，判断的形等腰三角的形状． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 2．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲∶ (分成两组) (直接运用公式) ． 乙∶ (分成两组) (提公因式) ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题． (1)因式分解∶； (2)已知是的三条边长，且满足，请判断的形状，并说明理由． 考点十九：因式分解的应用 例题：（23-24八年级上·江西赣州·期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）（1）已知a，b，c是的三边，且满足，判定的形状； （2）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 真题感知 一、单选题 1．（23-24八年级上·江西新余·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列因式分解中正确的个数为（  ） ①；②；③． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 5．（23-24八年级上·江西赣州·期末）乐乐是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：城，爱，我，石，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．美丽 B．美丽石城 C．我爱石城 D．石城美 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 7．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若多项式是一个完全平方式，则 ． 8．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）多项式分解因式后有一个因式是，则 ． 9．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）分解因式：，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解结果是，那么的值是 ． 10．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释一个等式是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算或因式分解： (1)计算：； (2)计算：； (3)因式分解：； (4)因式分解：． 12．（23-24七年级下·全国·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（23-24八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 14．（24-25八年级上·全国·期末）化简求值 (1)已知，求的值； (2)先化简后求值：，其中． 15．（24-25八年级上·全国·期末）下面是小华同学分解因式的过程： 解：原式…………………………① ……………………………② ………………………………③ 请认真阅读，并回答下列问题： (1)以上解答过程从第 步出现错误；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程． 16．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 17．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 18．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 19．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 20．（23-24八年级上·江西新余·期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“” 看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 问题： (1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______； (2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$