专题03 图形的初步认识-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

专题03 图形的初步认识 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：几何体的识别 4 考点二：点、线、面、体 6 考点三：三视图 7 考点四：正方体的展开图 11 考点五：直线、射线、线段的相关概念 13 考点六：线段和直线的基本性质问题 15 考点七：角的表示方法 16 考点八：方位角、钟面角问题 17 考点九：求一个角的余角、补角 20 考点十：尺规作线段或角 21 考点十一：与线段及线段中点有关的计算 23 考点十二：与余角、补角有关的计算 26 考点十三：与角平分线有关的计算问题 29 考点十四：几何图形中动角探究数量关系问题 32 【知识点01】立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【知识点02】点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【知识点03】三视图 ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 注意：①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线；②圆锥从上面看不要丢了圆心点. 【知识点04】正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 【知识点05】线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【知识点06】角与角的和差 1．角的定义与换算 （1）角的定义 1.角的定义：角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 2.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法 角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释：（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等. 【知识点07】余角、补角 1.余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 2.方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 考点剖析 考点一：几何体的识别 例题：（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·山西大同·期末）下列几何体中，属于棱锥的是（） A． B． C． D． 考点二：点、线、面、体 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 2.（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级上·云南文山·期末）已知长方形的长为a，宽为b，将其绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)用含a、b的代数式表示这个立体几何的体积；（结果保留π） (2)若，求这个几何体的体积．（取3） 考点三：三视图 例题：（23-24七年级上·四川遂宁·期末）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东济南·期中）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 2．（23-24七年级上·江苏常州·期末）把边长为厘米的个相同正方体如图摆放． (1)画出该几何体的主视图、俯视图； (2)该几何体的表面积为 ； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是 （包含底部）； (3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体． 考点四：正方体的展开图 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（   ） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图是正方体纸盒的展开图，若在三个正方形A，B，C内分别填入适当的有理数，使得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入三个正方形A，B，C内的三个有理数依次为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河南三门峡·期末）如图所示的正方体的展开图是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图是一个正方体的展开图．      (1)折成正方体后，A对面的字母是______，B对面的字母是______； (2)已知，，，，，．若字母A表示的数与它对面的字母表示的数互为相反数，求B，E的值． 考点五：直线、射线、线段的相关概念 例题：（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ） A．B．C．D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 2.（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 考点六：线段和直线的基本性质问题 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 2.（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第 路，用数学知识解释为： ．    考点七：角的表示方法 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）    A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 考点八：方位角、钟面角问题 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的 方向．      2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是 ． 考点九：求一个角的余角、补角 例题：（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为 ． 2.（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为 ，的补角为 ． 考点十：尺规作线段或角 例题：（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，平面上有四个点，读下列语句，并画出符合下列所有要求的图形． (1)画射线，连接，并与射线相交于点； (2)画直线． 【变式训练】 1.（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 2.（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 考点十一：与线段及线段中点有关的计算 例题：（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 2.（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，，求的长． 考点十二：与余角、补角有关的计算 例题：（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分． (1)求的度数； (2)判断与是否互余，并说明理由． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 2.（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图（1），若，则 ； (2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由． 考点十三：与角平分线有关的计算问题 例题：（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 2.（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 考点十四：几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【变式训练】 1.（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 真题感知 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A．B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为（   ）      A．   B．   C．   D．   3．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 4．（24-25七年级上·全国·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 5．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 二、填空题 7．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 8．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 10．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是 个． 11．（24-25七年级上·河北衡水·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为 ． 12．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，，平分，平分，将绕点O按逆时针方向旋转，当时，的度数为 ． 三、解答题 13．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 14．（22-23七年级上·河南信阳·期末）如图，点C在的边上．请按要求进行尺规作图并回答问题． (1)在的另一边上取一点D，使； (2)画直线； (3)数数看，此时图中线段共有 条，射线共有 条； (4)还可以记着 再写出两种）． 15．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要个立方块，最多要个立方块． (1)则_______，_______； (2)若有理数，满足，，且，求的值． (3)画出几何体最多时的左视图． 16．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． (1)在图②的横线．上填写出两种视图的名称； (2)根据两种视图中的数据（单位：），计算这个组合几何体的表面积． 17．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 18．（24-25七年级上·全国·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 图形的初步认识 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 目录 考点一：几何体的识别 4 考点二：点、线、面、体 6 考点三：三视图 7 考点四：正方体的展开图 11 考点五：直线、射线、线段的相关概念 13 考点六：线段和直线的基本性质问题 15 考点七：角的表示方法 16 考点八：方位角、钟面角问题 17 考点九：求一个角的余角、补角 20 考点十：尺规作线段或角 21 考点十一：与线段及线段中点有关的计算 23 考点十二：与余角、补角有关的计算 26 考点十三：与角平分线有关的计算问题 29 考点十四：几何图形中动角探究数量关系问题 32 【知识点01】立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【知识点02】点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【知识点03】三视图 ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 注意：①看的见得棱画实线，看不见的棱画虚线；②圆锥从上面看不要丢了圆心点. 【知识点04】正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 【知识点05】线段、射线、直线 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【知识点06】角与角的和差 1．角的定义与换算 （1）角的定义 1.角的定义：角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 2.角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法 角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释：（1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2．角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等. 【知识点07】余角、补角 1.余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 2.方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 考点剖析 考点一：几何体的识别 例题：（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查的是几何体的有关知识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据圆锥的定义即可求解． 【详解】A、该图形为圆锥，符合题意； B、该图形为球体，不符合题意； C、该图形为圆柱，不符合题意； D、该图形为长方体，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·浙江台州·期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查圆柱体的识别，根据常见几何体的特征逐项判断即可． 【详解】解：A，抽象出来是六棱柱，不合题意； B，抽象出来是球，不合题意； C，抽象出来是圆柱，符合题意； D，抽象出来是圆锥，不合题意； 故选：C． 2.（23-24七年级上·山西大同·期末）下列几何体中，属于棱锥的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查的是棱锥的识别，掌握棱锥的概念是解题的关键； 根据棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥，再逐一分析各选项即可得到答案； 【详解】解：A、是六棱柱，不符合棱锥的定义，故A不符合题意； B、是圆锥，不符合棱锥的定义，故B不符合题意； C、是长方体，不符合棱锥的定义，故C不符合题意； D、是四棱锥，符合棱锥的定义，故D符合题意； 故选：D． 考点二：点、线、面、体 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 （      ） A．点；直线；点动成线 B．点；线；点动成线 C．线；面；线动成面 D．线；面；面动成体 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点动成线，根据点动成线直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：B． 2.（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解． 【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D， 故选：D． 3.（23-24七年级上·云南文山·期末）已知长方形的长为a，宽为b，将其绕着它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)用含a、b的代数式表示这个立体几何的体积；（结果保留π） (2)若，求这个几何体的体积．（取3） 【答案】(1)当以长为旋转轴时，当以宽为旋转轴时 (2)当以长为旋转轴时，；当以宽为旋转轴时， 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】（1）由题意可得这个几何体是圆柱体；根据当以长为旋转轴时，当以宽为旋转轴时，分别求得体积即可求解； （2）将字母的值代入（1）的结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得这个几何体是圆柱体； ∴当以长为旋转轴时：； 当以宽为旋转轴时：； （2）解：当时， 当以长为旋转轴时：； 当以宽为旋转轴时：． 【点睛】本题考查了平面图形旋转后得到的立体图形，列代数式，代数式求值，分类讨论是解题的关键． 考点三：三视图 例题：（23-24七年级上·四川遂宁·期末）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数是 ． 【答案】6 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数、从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据三个方向看到的图形确定每个位置的小立方体数即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知，在俯视图中每个位置的小正方体数如下所示： ∴一共需要小正方体的个数是， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东济南·期中）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、求小立方块堆砌图形的表面积、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题考查了画三视图、求几何体的表面积、根据三视图求添加小正方体个数，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）要保持主视图和左视图不变，可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加块小正方体； （3）将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘2即可得出这堆几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：∵要保持主视图和左视图不变， ∴可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加1块小正方体，即最多可以再添加2块小正方体， 故答案为：2． （3）解：∵小正方体的棱长都为， ∴块小正方形的面积， ∴这堆几何体的表面积； 答：添加最多的小正方体后该几何体的表面积为． 2．（23-24七年级上·江苏常州·期末）把边长为厘米的个相同正方体如图摆放． (1)画出该几何体的主视图、俯视图； (2)该几何体的表面积为 ； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)． 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、画简单组合体的三视图 【分析】（）根据几何体三视图的画法解答； （）将各个不同方向的正方形面积相加即可得到答案； （）为不影响主视图和俯视图，可不改变底部的个数，增加高度即可，据此分析解答； 此题考查了画几何体的三视图，求几何体的表面积，添加小正方体，熟记几何体三视图的画法是解题的关键． 【详解】（1）如图， （2）该几何体的表面积（）， 故答案为：； （3）解：再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可使第一列的高度均为， ∴最多可添加个小正方体， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是 （包含底部）； (3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2)36 (3)4 (4)1 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求侧面积或表面积、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题主要考查简单几何题的三视图的画法，熟练掌握主视图、左视图、俯视图的画法是解题的关键． （1）根据三视图的概念求解即可； （2）直接利用三视图分别乘以2求解即可； （3）根据俯视图和左视图求解即可； （4）根据主视图，俯视图和左视图求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵小正方体的棱长是， ∴ 这个几何体的表面积是； （3）解：要使俯视图和左视图不变， 即在主视图的上面加放小立方体， 故最多可加4个； （4）解：要使主视图，俯视图和左视图不变， 只能最下面一层的中间小正方体上增加1个小正方体 故最多可加1个． 考点四：正方体的展开图 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（   ） A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】A 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱柱，圆柱． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图是正方体纸盒的展开图，若在三个正方形A，B，C内分别填入适当的有理数，使得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入三个正方形A，B，C内的三个有理数依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字、相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了正方体的展开图，相反数，由图可知，A与是相对面，B与是相对面，C与0是相对面，根据相反数的定义可得由图可知，A对应，B对应，C对应0，即可得． 【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A与是相对面，B与是相对面，C与0是相对面， ∵折成正方体后相对面上的两个数互为相反数， ∴A，B，C内的三个有理数依次为， ，0． 故选：B． 2．（22-23七年级上·河南三门峡·期末）如图所示的正方体的展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含图案的正方体的展开图 【分析】本题考查了正方形的展开图，通过观察和动手操作即可做出选择． 【详解】A.无图案，不符合题意； B、C折成正方形后，两个有斜线的面相对，不符合题意；. D. 折成正方形后，两个有斜线的面相邻，符合题意， 故选：D． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图是一个正方体的展开图．      (1)折成正方体后，A对面的字母是______，B对面的字母是______； (2)已知，，，，，．若字母A表示的数与它对面的字母表示的数互为相反数，求B，E的值． 【答案】(1)D，E (2)B的值为，E的值为 【知识点】相反数的定义、正方体相对两面上的字、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）依据A对面的字母是D；B对面的字母是E； （2）依据字母A表示的数与它对面的字母D表示的数互为相反数，即可得到x的值，进而得出B，E的值． 【详解】（1）解：由图可得，A与B、C、E、F都相邻，故A对面的字母是D； E与A、C、D、F都相邻，故B对面的字母是E； 故答案为：D，E； （2）解：因为字母A表示的数与它对面的字母：D表示的数互为相反数， 所以，解得． 所以B表示的数为； E表示的数为． 所以B的值为，E的值为． 考点五：直线、射线、线段的相关概念 例题：（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段．熟练掌握直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长是解题的关键． 根据直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，A中直线与直线能相交，故符合要求； B中射线与直线不能相交，故不符合要求； C中射线与线段不能相交，故不符合要求； D中线段与线段不能相交，故不符合要求； 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查的是直线的表述方法，直线与直线的交点的含义，根据直线的表示方法逐一判断即可． 【详解】解：图中有直线，直线，直线，直线， 直线与直线交于点O，直线与直线m交于点O， ∴A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 2.（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查射线、直线和线段定义与作图，根据射线、直线和线段定义与作图逐项判断即可得到答案，熟记射线、直线和线段定义与作图是解决问题的关键． 【详解】解：A、根据射线定义，射线一端无限延长，不可能得到射线，该选项表述错误，不符合题意； B、根据直线定义，射线两端无限延长，不可能得到直线，该选项表述错误，不符合题意； C、画线段，在线段上任取一点说法正确，符合题意； D、根据射线定义，射线从固定端点出发，向另一端无限延长，以点为端点画射线，而不是以点为端点画射线，该选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 考点六：线段和直线的基本性质问题 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，理解两点之间线段最短的性质是正确判断的前提．根据线段的性质进行判断即可． 【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短， 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质：两点确定一条直线即可得． 【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 2.（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第 路，用数学知识解释为： ．    【答案】 ③ 两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接、的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可．此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短． 【详解】解：依题意， 从地到地共有五条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短． 故答案为：③，两点之间，线段最短 考点七：角的表示方法 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法； 角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示，据此进行分析即可． 【详解】解：A.可以用表示，符合题意； B.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； C.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； D.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 故选：A． 2.（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）    A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、点P不在直线m上，原说法错误，不符合题意； B、直线m和n相交于点O，原说法正确，符合题意； C、∠1可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意； D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 考点八：方位角、钟面角问题 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 【答案】/150度 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出，得出，根据代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上， ∴，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的 方向．      【答案】北偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了方位角，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系．根据角度之间的和差关系，计算的度数，即可解答． 【详解】解：，， ， 实践基地在学校的北偏西方向， 故答案为：北偏西．    2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 【答案】135 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，整个圆分为12个大格，每个大格30度，下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，由此可解． 【详解】解：下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，每个大格30度， 因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为：（度）， 故答案为：135． 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是 ． 【答案】120 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟表里的旋转角的问题，根据钟表表盘被分成12大格，每一大格为，由8时整，即分针和时针之间有4大格，即可求解． 【详解】解：钟表表盘被分成12大格， 每一大格为， 8时整，即分针和时针之间有4大格， 8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是， 故答案为：120． 考点九：求一个角的余角、补角 例题：（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角和补角．熟练掌握概念是解题的关键．计算时要注意度、分、秒是60进制．余角定义：如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个角互为余角；补角定义：如果两个角的和等于180度（平角），就说两个角互为补角． 根据互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°，分别列式计算即可得解． 【详解】的余角是：； 的补角是：． 故答案为：，． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】本题考查了对余角的理解和运用，如果两个角互余，那么这两个角的和为．根据余角的意义：的余角为，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 2.（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为 ，的补角为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查余角和补角的性质定理，根据余角和补角的定义解题即可．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴的余角等于； 的补角等于， 故答案为；． 考点十：尺规作线段或角 例题：（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，平面上有四个点，读下列语句，并画出符合下列所有要求的图形． (1)画射线，连接，并与射线相交于点； (2)画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查直线和射线的画法，属于基础题，根据题意准确作图是解题的关键． （1）连接并延长，连接，并与射线相交于点即为所求； （2）连接并向两端延长即为所求． 【详解】（1）如图所示；就是所求作的射线，就是连接的线段，点就是交点； （2）如图所示，就是求作的直线． 【变式训练】 1.（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【答案】见解析 【知识点】尺规作角的和、差 【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则． 【详解】如图所示，即为所求．    【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 2.（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识． （1）过点A、B作直线，要向两方延伸； （2）过B、D作射线，向D点方向延伸，B点方向不延伸∶ （3）就是作线段； （4）连接、交点标注为O； 【详解】（1）解：直线如下图所示： （2）解：射线如下图所示： （3）解：线段如下图所示： （4）解：线段和线段相交于点O如下图所示： 考点十一：与线段及线段中点有关的计算 例题：（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2.（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，，求的长． 【答案】(1)； (2)或12 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差以及中点的有关运算． （1）现根据中点的意义得到，，再由线段的和关系，即可作答； （2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）∵线段，是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 当点在点左侧时：； 当点在点右侧时：． 综上：或12． 考点十二：与余角、补角有关的计算 例题：（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分． (1)求的度数； (2)判断与是否互余，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）角平分线求出，平角求出即可； （2）求出与的度数，根据余角的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）是，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与互余． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 【答案】(1)①，理由见解析；②； (2)． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】题目主要考查角度的计算，一元一次方程的应用，角平分线的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据等角的补角相等即可得出结果；②设，则，根据题意列出方程求解即可； （2）根据角平分线得出，结合图形进行等量代换求解即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴； ②设，则， ∴， ∴，， ∴； （2）∵分别平分与， ∴， ∴． 2.（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图（1），若，则 ； (2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查的是余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：结论：， 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点十三：与角平分线有关的计算问题 例题：（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 2.（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 考点十四：几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 【变式训练】 1.（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 真题感知 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）下列四个几何体中，是圆柱的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了几何图形的认识，根据圆柱体的特征逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是四棱锥，故不符合题意； B、是圆柱，故符合题意； C、是四棱柱，故不符合题意； D、是三棱柱，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图是由完全相同的6个小立方体组成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图为（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看物体，一定的空间想象力是解题的关键；从左面看，有两层，左边有上下丙个，右边有一个，即可得到从左面看到的形状图． 【详解】解：从左面看到的形状图为：   ； 故选：D． 3．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方位角，根据图形逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、射线表示北偏东，故此选项正确，不符合题意； B、射线表示西北方向，故此选项正确，不符合题意； C、射线表示南偏西，故此选项错误，符合题意； D、射线表示南偏东，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，明确两点之间线段最短是解题关键，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：把弯曲的路径改直，就能缩短路程，用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C 5．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式的判断、正方体相对两面上的字、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，先根据正方体的展开图的相对面一定隔着一个小正方形，确定相对面，进而根据相反数的定义，求出的值，进而求出单项式的值即可． 【详解】解：由图可知，与4是相对面，和1是相对面， ∴， ∴， 故选A． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分． 【详解】A：∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴A错误，不符合题意； B：当C为中点时，， ∴， ∴， ∴B错误，不符合题意； C：∵， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意； D：∵， ∴， ∴， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据互余的两个角的和为，计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是 ． 【答案】点动成线 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题主要考查了点线面体之间的关系，根据点动成线，线动成面，面动成体解答即可． 【详解】根据题意可知数学原理：点动成线． 故答案为：点动成线． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）在我国古代，人们用“铜壶滴漏”的方法计时，把一昼夜分为十二时辰，对应于今天的二十四小时，又划为九十六刻，一刻对应于今天的十五分钟．已知寅时为凌晨三点到五点．则寅时二刻所对应钟表时间的时针和分针之间所夹的角度为 ． 【答案】/75度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角问题，读懂题意，准确计算是正确解决本题的关键． 用分针转动的角度：减去时针与分针所成角度为，时针转动的角度：，即即可求解． 【详解】解：寅时二刻是指， ∵时，时针与分针所成角度为， 再过15分钟，分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）在一个仓库里堆积若干个大小相同的小正方体货箱，由此搭成的一个几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的货箱个数是 个． 【答案】8 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数 【分析】本题意在考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：综合三视图可知长方体的个数为： ∴这个几何体的底层应该有个小正方体，第二层应该有个小正方体，共有（个）， ∴搭成这个几何体的货箱个数是8个． 故答案为：8． 11．（24-25七年级上·河北衡水·期中）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么的值为 ． 【答案】7 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查正方体的特征，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；根据题意易得6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴1的对面数字是5，3的对面数字是6，2的对面的数字是4，即， ∴； 故答案为7． 12．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，，平分，平分，将绕点O按逆时针方向旋转，当时，的度数为 ． 【答案】/70度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度的计算，分类讨论：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，根据角平分线的定义和角度间的数量关系进行求解即可． 【详解】解：当在内部时，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 当在外部时，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上可得：． 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点有关的计算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 14．（22-23七年级上·河南信阳·期末）如图，点C在的边上．请按要求进行尺规作图并回答问题． (1)在的另一边上取一点D，使； (2)画直线； (3)数数看，此时图中线段共有 条，射线共有 条； (4)还可以记着 再写出两种）． 【答案】(1)见详见 (2)见解析 (3)3 ，8 (4)， 【知识点】画出直线、射线、线段、直线、线段、射线的数量问题、角的表示方法 【分析】本题考查了作线段，画直线，线段，射线的数量问题，角的表示方法，掌握以上知识是解题的关键． （1）以O点为圆心，长为半径，交与点D， 点D即为所求． （2）画出直线即可， （3）根据线段和射线的定义即可求解． （4）根据角的表示方法用1个字母或3个字母表示即可求解； 【详解】（1）解：如下图所示，D点即为所求． （2）如下图所示：直线即为所求． （3）图中线段有，，， 共有3条线段， 有射线，，D的端点的和另一个方向，C为端点的和另一方向，，，共8条射线， 故答案为：3，8． （4）还可以记着，（不唯一，必须是两个不同的表示方法）． 15．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）用小立方块搭一几何体，它的主视图和俯视图如图所示，这个几何体最少要个立方块，最多要个立方块． (1)则_______，_______； (2)若有理数，满足，，且，求的值． (3)画出几何体最多时的左视图． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知字母的值 ，求代数式的值、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】题主要考查三视图和有理数的运算： （1）由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图左起第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个立方块，最少一个正方体所在位置有2个立方块，其余2个所在位置各有1个立方块；主视图左起第二列1个正方形所在位置只能有2个立方块；主视图左起第三列每个正方形所在位置最多均可有3个立方块，最少一个正方体所在位置有3个立方块，另外一个所在位置有1个立方块． （2）根据题意可知，，结合，可得，异号． （3）根据左视图的定义可知，左视图左起第一列共个正方形，左起第二列共个正方形，左起第三列共个正方形． 【详解】（1）由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的主视图左起第一列3个正方形中每个正方形所在位置最多均可有2个立方块，最少一个正方体所在位置有2个立方块，其余2个所在位置各有1个立方块；主视图左起第二列1个正方形所在位置只能有2个立方块；主视图左起第三列每个正方形所在位置最多均可有3个立方块，最少一个正方体所在位置有3个立方块，另外一个所在位置有1个立方块． 这样的几何体最少需要：(个)． 这样的几何体最多需要：（个）． 所以，． 故答案为：，． （2）∵，，，， ∴，． ∵， ∴，． ∴． （3）根据左视图的定义可知，左视图左起第一列共个正方形，左起第二列共个正方形，左起第三列共个正方形． 16．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． (1)在图②的横线．上填写出两种视图的名称； (2)根据两种视图中的数据（单位：），计算这个组合几何体的表面积． 【答案】(1)主，俯 (2)（） 【知识点】判断简单组合体的三视图、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义判断即可； （2）根据图中数据，该几何体的表面积由一个长方体和一个圆柱组成，根据表面积计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据三视图的定义，第一个为主视图，第二个为俯视图； （2）解： （）． 17．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先由平角的定义求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可； （2）由角平分线的定义得到，再用分别表示出和，据此可得结论； （3）先由平角的定义和角平分线的定义得到，，再由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 18．（24-25七年级上·全国·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，，仍然是，的平分线．试求的度数； （3）将三角板从图1位置开始绕点A顺时针旋转，，仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算； （1）由角平分线得、，再相加即可； （2）用已知来分别表示、，再根据计算即可； （3）根据旋转的不同位置，分情况讨论，通过画图根据（2）的思路解答即可． 【详解】解：（1）∵，仍然是，的平分线，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴，， ，仍然是，的平分线， ∴，， ∴ ； （3）不变，如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 如图，即为第（2）小问，此时， ； 如图，， 此时，， ∴； 如图，， 此时，， ∴； 综上所述，当在旋转的过程中，的度数保持不变． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$